（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第10章 第03讲 二项式定理 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（2）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
知识点3、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
题型一：求二项展开式中的参数
【例题1-1】的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】的展开式中的常数项为，展开式中的常数项,所以,即,故选：D.
【例题1-2】已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【解析】二项式的展开式的通项为，令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为.故选：C
【变式1-1】已知的展开式中的常数项为，则实数（ ）
A．2B．-2C．8D．-8
【答案】B
【解析】展开式的通项为：，取得到常数项为，解得.故选：B
【变式1-2】已知的展开式中第3项是常数项，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【解析】的展开式的通项，当时，
则，解得．故选：A
【解题方法总结】
在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．
题型二：求二项展开式中的常数项
【例题2-1】已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．36B．30C．15D．10
【答案】C
【解析】令，则可得所有项的系数和为且，解得，∵的展开式中的通项，∴当时，展开式中的常数项为.故选：C
【例题2-2】二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．1792B．－1792C．1120D．－1120
【答案】C
【解析】因为，令，得，所以二项式展开式中的常数项为．故选：C.
【变式2-1】的展开式中的常数项为（ ）
A．20B．20C．－10D．10
【答案】D
【解析】因为，的展开式的通项公式为，令,得，令,得，
所以的展开式中的常数项为：.故选：D
【变式2-2】若展开式中含有常数项，则n的最小值是（ ）
A．2B．3C．12D．10
【答案】A
【解析】，令，得，则时，取最小值.
故选：A
【解题方法总结】
写出通项，令指数为零，确定，代入．
题型三：求二项展开式中的有理项
【例题3-1】在的展开式中，有理项的系数为（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】A
【解析】的通项为 ，.当为有理项时，r既是奇数又能被3整除，所以，故展开式中有理项的系数为；故选：A.
【例题3-2】二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项B．7项C．8项D．9项
【答案】D
【解析】二项式的通项，若要系数为有理数，则，，，且，即，，易知满足条件的，故系数为有理数的项共有9项.故选：D
【变式3-1】二项式展开式中，有理项共有（ ）项．
A．3B．4C．5D．7
【答案】D
【解析】二项式展开式中，通项为，其中，
的取值只需满足，则，即有理项共有7项，故选：D.
【变式3-2】若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】B
【解析】首先写出二项展开式的通项公式，由条件可知为整数，然后观察选项，通过列举的方法，求得正整数的值.的通项公式是
设其有理项为第项，则的乘方指数为，依题意为整数，
注意到，对照选择项知、、，逐一检验：时，，不满足条件；
时，、、，成立；时，、5、8，成立，故选：B.
【解题方法总结】
先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．
题型四：求二项展开式中的特定项系数
【例题4-1】已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（ ）
A．―4B．84C．―280D．560
【答案】B
【解析】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以．则又因为的展开式的通项公式为，令，所以展开式中的项的系数为．
故选：B.
【例题4-2】展开式中的系数为（ ）
A．270B．240C．210D．180
【答案】A
【解析】展开式的通项公式为，则原展开式中的系数为.故选：A
【变式4-1】在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（ ）
A．28B．56C．70D．112
【答案】A
【解析】∵二项式的展开式中，通项公式为，令，求得，可得含的项的二项式系数为，故选：A.
【变式4-2】在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A．5B．C．10D．
【答案】A
【解析】由题设，，∴当时，.∴含项的二项式系数.故选：A.
【解题方法总结】
写出通项，确定r，代入．
题型五：求三项展开式中的指定项
【例题5-1】展开式中含项的系数为 ．
【答案】-160
【解析】变形为，故通项公式得，其中的通项公式为，故通项公式为，其中，，令，解得，故.故答案为：-160
【例题5-2】的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】
【解析】因为，设其展开式的通项公式为：，令，
得的通项公式为，令，
所以的展开式中，的系数为，故答案为：
【变式5-1】展开式中常数项是 .（答案用数字作答）
【答案】
【解析】的展开式的通项为 ， ,
令,则 或，或 ，
所以常数项为，故答案为：
【变式5-2】展开式中的系数是 .
【答案】
【解析】因为是7个相乘，的展开式中项可以由4个项、3个项和0个常数项，或3个项、1个项和3个常数项相乘，所以展开式中的系数是.故答案为：.
【解题方法总结】
三项式的展开式：
若令，便得到三项式展开式通项公式：
，其中叫三项式系数．
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
【例题6-1】的展开式中的系数为 ．
【答案】90
【解析】的通项，令，则；令，则，
故的展开式中的系数为.故答案为：90．
【例题6-2】在的展开式中含项的系数是 .
【答案】
【解析】二项式展开式的通项公式为，令，解得；令，解得.所以的展开式中含的项为，所以展开式中含项的系数是.故答案为：
【变式6-1】的展开式常数项是 .（用数字作答）
【答案】7
【解析】展开式第项，所以展开式中常数项是：，所以的展开式常数项是7.故答案为：7
【变式6-2】设展开式中的常数项为，则实数的值为 .
【答案】
【解析】的展开式通项为，
，在的展开式中，令，可得，不合乎题意；在的展开式中，，令，可得，
所以，展开式中的常数项为，解得.故答案为：.
【解题方法总结】
分配系数法
题型七：求二项式系数最值
【例题7-1】若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答）
【答案】28
【解析】因为展开式的所有项的二项式系数和为，解得，则展开式为，可得第项的系数为，
令，即，解得，所以展开式中第项系数最大，其二项式系数为.
故答案为：28.
【例题7-2】二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是 ．
【答案】
【解析】因为二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式中共有项，，
故展开式的通项为，令，解得，故展开式中含的项是.故答案为：．
【变式7-1】二项式的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则 ，展开式中含的项的系数为 ．
【答案】 6
【解析】第4项的二项式系数为且最大，根据组合数的性质得，，令，所以，则展开式中含的项的系数为.故答案为：6；.
【变式7-2】在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于 ．
【答案】252
【解析】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，通项公式为，令，求得，可得二项展开式常数项等于，
故答案为：252．
【解题方法总结】
利用二项式系数性质中的最大值求解即可．
题型八：求项的系数最值
【例题8-1】在的展开式中，系数最大的项为 .
【答案】
【解析】因为的通项为，的通项为，∵展开式系数最大的项为，展开式系数最大的项为，∴在的展开式中，系数最大的项为.故答案为：.
【例题8-2】的二项式展开中，系数最大的项为 ．
【答案】
【解析】由题意知：的二项式展开中，各项的系数和二项式系数相等，因为展开式的通项为，所以时，系数最大，该项为，故答案为：.
【变式8-1】已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为 ．
【答案】
【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则；
由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，设二项展开式中第项的系数最大，则，化简可得：经验证可得，
则该展开式中系数最大的项为.故答案为: .
【变式8-2】展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为 .
【答案】210
【解析】由已知展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，所以，即，又展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.故答案为：210.
【解题方法总结】
有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小．
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
【例题9-1】（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为
B．展开式中所有奇次项的系数的和为
C．展开式中所有偶次项的系数的和为
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，的展开式中所有项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B，令，则，，
所以展开式中所有奇次项的系数的和为，展开式中所有偶次项的系数的和为，故B错误，C正确；对于D，，，故D正确.故选：ACD.
【例题9-2】（多选题）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，得到，故A正确；
对于B，的通项公式为，令，得到，
令，得到，所以，故B错误；
对于C，令，得到，故C正确；
对于D，令，则，又因为，两式相减得，则，故D正确.故选：ACD
【变式9-1】（多选题）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由，令得，故A正确；
由的展开式的通项公式，得，故B错误；
令，得①，再由，得，故错误；
令，得②，①-②再除以2得，故D正确.
故选：AD
【变式9-2】（多选题）设，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，可得，故A正确；
对于B，令得，故B错误；
对于C，令得①，令 得，②，
由①+②再除以2可得，故C正确；
对于D，令得①，令 得，②，
①-②再除以2可得，故D正确．故选：ACD．
【解题方法总结】
二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：．
系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：．
题型十：求奇数项或偶数项系数和
【例题10-1】设，则 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】因为，令，则①，
令，则②，∴①－②得，所以，
故答案为：
【例题10-2】设多项式， 则 .
【答案】
【解析】依题意，令，得到：，令，得到：
，两式相加可得：，故.故答案为：
【变式10-1】已知，若，则 ．
【答案】1
【解析】令，可得，所以．令，得；
令，得，两式相减求得．故答案为：1.
【变式10-2】已知，则的值为 .
【答案】313
【解析】令求得，再令求得，两者结合可得结论．令得，令得，∴．
故答案为：313．
【解题方法总结】
，令得系数和： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
令得奇数项系数和减去偶数项系数和： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，联立 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．
题型十一：整数和余数问题
【例题11-1】除以1000的余数是 ．
【答案】24
【解析】因为
，所以除以1000的余数是：.
故答案为：24
【例题11-2】若，则被5除所得的余数为 ．
【答案】1
【解析】由题知时，，故
所以被5除得的余数是1.故答案为：1.
【变式11-1】若，则被5除的余数是 ．
【答案】4
【解析】由题知，时，①，时，②，
由①＋②得，，故，所以被5除的余数是4.
故答案为：4.
【变式11-2】已知能够被15整除，其中，则 .
【答案】14
【解析】
，
所以，
因为是的整数倍，
所以能够被15整除，要使能够被15整除，
只需要能够被15整除即可，因为，所以.故答案为：14.
题型十二：二项式定理与数列求和
【例题12-1】（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，两边求导得，
，两边乘以后得，，两边求导得，，
取得.故选：A
【变式12-1】已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，，当时，，
于是得
.故选：B
【变式12-1】已知，展开式中的系数为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，展开式中的系数为，
∴则
，故选：B．
题型十三：杨辉三角
【例题13-1】（多选题）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．
D．存在，使得为等差数列
【答案】BCD
【解析】对于A，在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是，A错；
对于B，由二项式系数的性质知，B对；
对于C，由于故C正确；
对于D，取，则，因为，所以数列为公差为的等差数列，D对.故选：BCD.
【变式13-1】（多选题）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）

A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为
【答案】BC
【解析】对于A：第行是二项式的展开式的系数，所以第行中第个数最大，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：第行是二项式的展开式的系数，又展开式的通项为，
所以第个数为，第个数为，所以第个数与第个数之比为，故C正确；
对于D：第行是二项式的展开式的系数，故第行的所有数字之和为，故D错误；故选：BC
第03讲 二项式定理
1．已知多项式，则（ ）
A．0B．4C．8D．32
【答案】A
【解析】依题意，令，得.故选：A
2．展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：C
3．设，则等于（ ）
A．45B．84C．120D．165
【答案】D
【解析】依题意，
.故选：D
4．已知展开式中的系数为48，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【解析】二项式的通项公式为：的展开式中，的系数为，解得．故选：A
5．如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知：第行数字之和构成的数列的通项为，，；
则数列的整数项为：，数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列；偶数项是以为首项，为公差的等差数列，，，.故选：B.
6．的展开式的常数项是（ ）
A．40B．-40C．20D．-20
【答案】D
【解析】二项式的通项公式为，
令，所以的展开式的常数项是，故选：D
7．已知的展开式中常数项为20，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】，其通项公式为：，
当时，，解得：.故选：A.
8．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，故，A错误；
由，
令，可得，B错误；
令，则，故，C错误；
令，则，故，D正确，
故选：D
9．（多选题）已知多项式，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因为，
的展开式的通项公式为，
，得，，所以，故A正确；
令得，令，得，
所以，故B不正确；
，故C不正确；
由两边对求导得，
，
令，得，
所以，故D正确.故选：AD
10．二项式的展开式中，所有项的系数和为1，则的展开式中常数项为 .
【答案】
【解析】令，得的展开式中所有项的系数和为，解得，
则，其中展开式的通项为（且），令，解得，展开式中的项的系数为，
展开式中常数项为.故答案为：
11．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为 .
【答案】240
【解析】的展开式中，二项式系数和为，令，得的展开式中，各项系数和为，
由题意可得，即，解得，所以的展开式的通项为，令，解得，故展开式的常数项为，故答案为：240
12．若，则 ．
【答案】
【解析】由题意，中含的项为；
含的项为；
含的项为；
含的项为；
含的项为；
故.故答案为：
13．若的二项展开式中的系数是，则实数的值是 ．
【答案】2
【解析】题设二项式展开式通项为，，
所以，即，故，则.故答案为：2
14．展开式中的常数项为 .（用数字做答）
【答案】49
【解析】
展开式中得到常数项的方法分类如下：
（1）4个因式中都不取，则不取，全取，相乘得到常数项.常数项为；
（2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为；
（3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项.常数项为.
合并同类项，所以展开式中常数项为.故答案为：.
15．的展开式中的常数项为 .
【答案】
【解析】，其中的展开式中的项为:.
故答案为：.