2026年北京中考数学二轮复习 热点02 一元二次方程根的判别式(5大题型)(热点专练)

这是一份2026年北京中考数学二轮复习 热点02 一元二次方程根的判别式(5大题型)(热点专练)，共37页。
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情
第二部分 题型引领·讲方法
题型01 判断根的情况
题型02 有两个相等的实根
题型03 有两个不相等的实根
题型04 有实根
题型05 无实根
第三部分 能力突破·限时练

题型01 判断根的情况
例1（2025·北京第十三中学分校·三模）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．不能判定
【答案】B
【详解】解：一元二次方程，，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【变式1】（2025年北京市大兴区九年级中考二模）方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无实数根
【答案】B
【来源】2025年北京市大兴区九年级中考二模数学试卷
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．先求出的值，再判断，即可解题．
【详解】解：在一元二次方程中，
∵，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【变式2】（2025·北京门头沟·二模）一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】B
【详解】解：，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
故选：B．
【变式3】（2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定
【答案】A
【来源】2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模数学试题
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
故选：A
【变式4】．（2024·北京燕山·二模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A
【详解】解：整理得，
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A
【变式5】（2025·北京清华大学附属中学·二模）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【答案】A
【详解】解：，
，即，
，，，
，
一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
题型02 有两个相等的实根
例1(24-25九下·北京海淀区人大附中·一模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．B．36C．D．9
【答案】D
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
故选：D ．
【变式1】（2024·北京平谷·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【答案】D
【详解】有两个相等的实数根，
，
一元二次方程，即，
，
使用方程没有实数根．
故选：D．
【变式2】（2025·北京昌平·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
【变式3】（2025年北京市第十三中学分校中考三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为
A．4B．C．2D．
【答案】D
【来源】2025年北京市第十三中学分校中考三模数学试题
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴判别式，
解得：
故选：D．
【变式4】（2025年北京市丰台区九年级中考二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．36B．9或C．D．9
【答案】D
【来源】2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，
根据一元二次方程根的判别式可知，求出解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选：D．
【变式5】．（2025年北京市石景山区九年级一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】A
【来源】2025年北京市石景山区九年级一模数学试题
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故选：A．
题型03 有两个不相等的实根
例1（2025·北京西城·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根，
∴，
∴ ，即，
∴ 实数的取值范围为．
故选：A．
【变式1】(24-25九下·北京东城区·一模)当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】C
【来源】北京市东城区2024-2025学年下学期九年级一模数学试卷
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
故选：C．
【变式2】（2024年北京市大兴区九年级中考一模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【来源】2024年北京市大兴区九年级中考一模数学试题
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得．
故选：D．
【变式3】(24-25九下·北京三帆中学·零模)若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．且
【答案】B
【来源】北京市三帆中学2024—2025学年下学期九年级中考数学零模试卷
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．
根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 且，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
故选：B．
【变式4】（2025年北京市石景山区中考二模）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【来源】2025年北京市石景山区中考二模数学试题
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．
由于方程有两不相等的实数根，则根的判别式，由此建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．
【详解】∵方程有两个不相等实数根，
∴，
∴．
解得：．
故选：D．
【变式5】(24-25九下·北京第五十中学二模·)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．0B．1C．D．3
【答案】A
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∵，
∴，
∴m的值可以是0．
故选：A．
题型04 有实根
例1（2025·北京房山·二模）关于一元二次方程有实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【来源】重庆市忠县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
【分析】根据题意得：根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【变式1】（2025年北京市朝阳区中考数学考前模拟）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）．
A．B．C． 且 D． 且
【答案】C
【来源】2025年北京市朝阳区中考数学考前模拟练习卷
【分析】本题考查一元二次方程，根据根的情况掌握根的判别式，列出不等式是解题关键．
由方程有实数根的情况可以得到关于m的不等式，从而求解．
【详解】∵ 关于的一元二次方程有实数根，
∴ 且，即且，
解得且，
故选：C．
【变式2】．（北京市第二十中学2025年中考数学模拟）关于的方程有实数根，那么的可能值是（ ）
A．4B．2C．0或2D．0或1
【答案】D
【来源】 北京市第二十中学2025年中考数学模拟试题
【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．分当，时分别讨论，即可求解．
【详解】解：当时，关于的方程是有实数根，
当时，∵关于的方程是一元二次方程，有两个实数根，
∴，且，
解得：且，
综上所述：整数的值可能是或．
故选：D．
【变式3】．（2025·北京海淀·二模）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
故选：D．
【变式4】．（2023·北京延庆·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】C
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴且
故选：C
【变式5】．（2025·北京密云·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
故选∶B．
题型05 无实根
例1（2023·北京延庆·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能为（ ）
A．B．C．0D．-1
【答案】A
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得．
故选：A．
【变式1】（2025·北京燕山·一模）若关于x的方程没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．2B．0C．4D．
【答案】B
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴m的值可以为0，
故选B．
【点睛】本题考查根的判别式．熟练掌握时，方程没有实数根，是解题的关键．
【变式2】（2025·北京三帆中学·三模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0没有实数根，则a的取值范围是( )
A．a＞B．a＜C．a≥D．a＝
【答案】A
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0没有实数根，
∴△＝(﹣1)2﹣4a＜0，
解得：a＞．
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，根据方程根的情况知根的判别式△＜0，得出关于a的一元一次不等式是解题的关键．
【变式3】．（2025·北京丰台·二模）若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）．
A．B．C．0D．1
【答案】A
【详解】解：∵关于的方程没有实数根，
∴△=＜0，
解得：，
故选项中只有A选项满足，
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零.
【变式4】．（2024·北京师大附实验中学·零模）若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＜－1C．k≥1D．k＞1
【答案】D
【详解】解：∵（x+1）2=1-k没有实根，
∴1-k＜0，
∴k＞1．
故选D．
【变式5】（2024·北京东城·二模）若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，
解得：．
故选：C．

（30分钟限时练）
1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程有两个不相等的实数根，那么判别式大于0，即，再由一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，即，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
故选：D．
2．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用方程解的情况得到，然后解m的不等式即可．
根据一元二次方程根的判别式，当判别式非负时，方程有两个实数根．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
3．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．3B．4C．2D．-1
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式．根据，方程有两个相等的实根，即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
解得，，
故选：B．
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式是解题的关键．
根据题意以及根的判别式列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
故选A．
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程无实数根，直接列式求解即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，解得，
故选：C．
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，解得k的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，，
∴，
∴．
故选：C．
7．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．B．4C．D．1
【答案】D
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个相等的实数根，得到判别式等于0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选D．
8．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的值是（ ）
A．16B．4C．D．1
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程（为常数，），当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据一元二次方程有两个相等的实数根得出，求解即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故选：D．
9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．4C．4或D．16
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根是关键．
根据题意得到，由此即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
∴实数的值为或，
故选：C ．
10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式．
根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得．
【详解】解：
解得，
故选：C．
近三年:根的判别式是中考数学的常考考点，一般出现在北京中考的第4题，第5题。第6题，第10题等。选择题和填空题均有出现。以简单题为主，针对性的计算训练可提高解题速度和正确率，选择题用排除法也可提高解题速度。 给出方程有两个相等实数根的条件，求参数的值, 偶尔考查方程有两个不相等实数根或无实数根的情况.
2026年预测：已知关于x的一元二次方程（含参数）有两个相等的实数根，求参数的值等。当二次项系数含有参数时，需要分情况讨论。拓展考点：判别式与根系关系结合，将判别式与韦达定理结合，考查综合应用能力。
解题策略
主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握b2−4ac与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．即当b2−4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当b2−4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根．
解题策略
考查一元二次方程的判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握判别式等于0，方程有两个相等的实数根，是解题的关键．
解题策略
考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式的关系是解的关键．根据Δ>0时，方程ax2+bx+c=0a≠0有两个不相等的实数根，建立不等式求解即可．
解题策略
考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程a x2 +bx+c=0（a≠0），则有b2−4ac≥0⇔方程有两实根，b2−4ac>0⇔方程有两不等实根，b2−4ac=0⇔方程有两相等实根，b2−4ac