【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题04 一元二次方程及根的判别式（原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第二篇 必考的重点专题 

专题04 一元二次方程及根的判别式

1.（2022重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可．

第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．

2.（2022广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为(   )

A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50

C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50

【答案】A

【解析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．

由题意可得，

．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．

3.（2022新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得．

【详解】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，

∴

故选C．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．

4.（2022湖南怀化）下列一元二次方程有实数解的是（　　）

A. 2x2﹣x+1＝0 B. x2﹣2x+2＝0 C. x2+3x﹣2＝0 D. x2+2＝0

【答案】C

【解析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．

A选项中，，故方程无实数根；

B选项中，，故方程无实数根；

C选项中，，故方程有两个不相等的实数根；

D选项中，，故方程无实数根；故选C．

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．

5.（2022江苏宿迁）若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____．

【答案】

【解析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案．

关于的一元二次方程有实数根，

∴， 即

解得： ．

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

6.（2022黑龙江齐齐哈尔）解方程：

【答案】，

【解析】直接开方可得或，然后计算求解即可．

∵

∴或

解得，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．

7.方程化为一般形式后，的值分别是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由原方程移项，得

，

所以．

故选：C．

8.一元二次方程的根与的根（    ）

A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定

【答案】C

【解析】，，∴；

，，∴，；

∴两个方程有一个相等的根.故选C.

9.用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上4的是(　　)

A．x2－2x＝5     B．x2－8x＝5     C．x2＋4x＝5      D．x2＋2x＝5

【答案】C

【解析】 A项，因为本方程的一次项系数是－2，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方1.故本选项错误．

B项，因为本方程的一次项系数是－8，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方16.故本选项错误．

C项，因为本方程的一次项系数是4，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方4.故本选项正确．

D项，因为本方程的一次项系数是2，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方1.故本选项错误．

故选C.

10.一元二次方程2x2﹣3x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　）

A.  B.

C.  D. 以上都不对

【答案】C

【解析】移项得2x²-3x=-1，

二次项系数化为1得，

配方得，

即，故选：C．

11.利用求根公式求的根时，a，b，c 的值分别是（    ）

A．5， ，6 B．5，6， C．5，﹣6， D．5，﹣6，﹣

【答案】C

【解析】由原方程，得5x2﹣6x+ =0，

根据一元二次方程的定义，知

二次项系数 a=5，一次项系数 b=﹣6，常数项 c=； 故选C．

12.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（　　）

A．x1、2= B．x1、2=

C．x1、2= D．x1、2=

【答案】D

【解析】∵3x2+4=12x，∴3x2-12x+4=0，

∴a=3，b=-12，c=4，∴，故选D.

13.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A．方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意;

B．方程判别式 方程没有实数根，不符合题意;

C．方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意;

D．方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意．

故答案为D．

14.若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是(   )

A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】关于x的方程有两个不相等的实数根，

则

解得：

满足条件的最小整数的值为2.

故选D.

15.一元二次方程的解是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，移项，得，

分解因式，得，则或，

解得：．故选：C．

16.如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为(　　)

A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225

C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225

【答案】C

【解析】最大数为x，则只需要将最小数用x表示出来即可列出方程．

∵最大数为x，∴最小数用x表示为：x-16，

∴列方程为：x(x﹣16)=225，

故选：C

17．已知 ，则m2+n2的值为（　　）

A．-4或2 B．-2或4 C．-4 D．2

【答案】D

【解析】先设y=m2+n2，则原方程变形为y2+2y-8=0，运用因式分解法解得y1=-4，y2=2，即可求得m2+n2的值

设y=m2+n2，

原方程变形为y（y+2）-8=0，

整理得，y2+2y-8=0，

（y+4）（y-2）=0，

解得y1=-4，y2=2，

∵m2+n2≥0，

所以m2+n2的值为2。

18.某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的

是（　　）

A．2500（1+x）2＝9100 

B．2500（1+x%）2＝9100 

C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 

D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100

【答案】D

【解析】设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：

2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．

19.将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式为　           ．

【答案】3x2﹣5x﹣4＝0　

【解析】3x（x﹣1）＝2（x+2），

3x2﹣3x＝2x+4，

3x2﹣3x﹣2x﹣4＝0，

3x2﹣5x﹣4＝0．

20. 已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是       　．

【答案】a＞且a≠0

【解析】由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根

得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，

解得a＞

则a＞且a≠0

故答案为a＞且a≠0

21.已知方程是一元二次方程，求的值．

【答案】4

【解析】由题意，得

解|m|-2=2得m=±4，

当m=4时，m+4=8≠0，

当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去，

∴m的值为4．

22.阅读理解阅读下面求y2＋4y＋8的最小值的解答过程．

解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4.

∵(y＋2)2≥0，∴(y＋2)2＋4≥4，

∴y2＋4y＋8的最小值为4.

仿照上面的解答过程，求x2－2x＋3的最小值．

【答案】2

【解析】x2－2x＋3＝x2－2x＋1＋2＝(x－1)2＋2.

∵(x－1)2≥0，即(x－1)2的最小值为0，

∴(x－1)2＋2≥2，

∴x2－2x＋3的最小值为2.

23.解方程：

（1）x2+2x﹣9999=0（用配方法求解）；

（2）3x2﹣6x﹣1=0（用公式法求解）

【答案】（1）x1=99，x2=﹣101；（2）x1=，x2=．

【解析】（1）方程整理得：x2+2x=9999，

配方得：x2+2x+1=10000，即(x+1)2=10000，

开方得：x+1=100或x+1=﹣100，

解得：x1=99，x2=﹣101；

（2）这里a=3，b=﹣6，c=﹣1，

∵△=36+12=48，

∴x==，

解得：x1=，x2=．

24.当取何值时，方程 是关于的一元二次方程？并求出此方程的解．

【答案】

【解析】由题意得且，解得，

∴原方程是，解得.

故答案为：.

25.阅读下面的文字，并回答问题．

解方程：x4－5x2＋4＝0.

解：令x2＝y，则原方程可变形为y2－5y＋4＝0，①即(y－1)(y－4)＝0.

解得y1＝1，y2＝4.

当y＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝－1；

当y＝4时，x2＝4，∴x3＝2，x4＝－2.

问题：(1)上述解题过程中，将原方程化成①的形式用到的数学思想是(　　)

A．数形结合思想    B．整体思想     C．分类讨论思想

(2)上述解一元二次方程的过程中，用到了什么方法？

(3)上述解题过程是否完整？若不完整，请补充．

(4)用上面的解法解方程：(2x＋1)2－4(2x＋1)＋3＝0.

【答案】(1)B　 (2)换元法；（3)见解析  (4)见解析。

【解析】(1)B　 (2)换元法

(3)不完整．补充：∴原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.

(4)设2x＋1＝y，则原方程可变形为y2－4y＋3＝0，即(y－1)(y－3)＝0.

解得y1＝1，y2＝3.

当y＝1时，2x＋1＝1，∴x＝0；

当y＝3时，2x＋1＝3，∴x＝1.

∴原方程的解为x1＝0，x2＝1.

26．阅读理解：

解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神奇”的方法叫换元法．

例如：解方程

解：设

原方程化为：

    ∴

∴或    ∴，

当时，即

∴或

，

当时，即

    ∴或

∴，

∴原方程的解是：，，，

请你利用换元法解方程：

【答案】x=或x=或x=3或x=-3

【解析】设，然后解关于y的方程；再根据y值解关于x的方程．

，

设，则原方程化为，

∴，

∴解得：y=-1或y=2，

当y=-1时，即，

解得：x=或；

当y=2时，即，

解得：x=3或-3，

综上：原方程的解为x=或x=或x=3或x=-3．

【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题．