2026年安徽中考数学二轮复习 专题03 函数及其性质(复习讲义)

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01析·考情目标
02筑·专题框架
03攻·重难考点
题型01平面直角坐标系
1．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可．
【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、，
∴建立直角坐标系如下：
，
∴“强”的坐标为，
故选：B
2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键．
根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解．
【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标是，
故选：C．
3．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（ ）
A．位置是B种瓷砖B．位置是B种瓷砖
C．位置是A种瓷砖D．位置是B种瓷砖
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键；
根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可.
【详解】解：A种瓷砖的位置：，
，
B种瓷砖的位置：，
，
由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）；
∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意；
位置是B种瓷砖，故B选项符合题意；
位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意；
位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意；
故选：B.
4．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可．
【详解】解：点在第一象限，
，
解得，
故答案为：
题型02函数的基础知识
1．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（）
A．越来越慢B．越来越快C．保持不变D．快慢交替变化
【答案】B
【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果．
【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽，
∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快；
故选B．
2．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解．
【详解】解：依题意，与的函数表达式是．
故选：C．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得，即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
4．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为________．
【答案】/
【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可．
【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：；
设点运动到时，，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得，
∴；
故答案为：．
题型03正比例函数的图象与性质
1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
根据题意可知，即可得出随的增大而增大．
【详解】解：，，
随的增大而增大，
，
∴经过一，三象限
∴B符合条件，C，D不符合条件
∵直线，
∴直线经过原点
点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合，
故选：．
2．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得，
∴，
根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故选：A．
3．（2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点、在同一正比例函数的图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴正比例函数的图象经过二、四象限，当时，当时，
∵，
∴，，
∴选项正确，选项错误，
故选：．
题型04一次函数的图像与性质
1．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键．
【详解】∵一次函数过，
把代入得，即．
又随的增大而增大，
．
选项A：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，不满足，舍去．
选项B：点，代入得，
把代入得，
化简得，不满足，舍去．
选项C：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，不满足，舍去．
选项D：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，满足．
综上，只有选项D符合条件，
故选：．
2．（2025·四川·中考真题）函数的图象为()
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案．
先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项．
【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．
令，则，解得，即函数与x轴的交点为；
令，则，即函数与y轴的交点为；
观察图像，只有A选项与计算结果匹配．
故选：A．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案．
【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，
∴向右平移3个单位得，
∴函数与轴的交点坐标为，
∵，
∴结合图象可得：，
故选：C．
4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（）
A．
B．为的中点
C．方程的解是
D．当时，
【答案】BD
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：、根据图象可知，，，
∴，原选项不符合题意；
、∵一次函数经过点，点，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴为的中点，原选项符合题意；
、方程的解是，原选项不符合题意；
、当时，，原选项符合题意；
故选：．
题型05二次函数的图象与性质
1．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键．
【详解】解：二次函数图象中，开口向上，
．
对称轴，又，
，即．
抛物线与轴交点在负半轴，
．
选项A：，，，
两负一正相乘得正，
，该选项错误．
选项B：对称轴，由图象知对称轴，即，
又，两边乘得，，该选项错误．
选项C：当时，，即；当时，，
，该选项正确．
选项D：当时，，由图象知对应的函数值，
，该选项错误．
故选．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式的顶点坐标为是解题关键．
根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，直接读取函数中的和值．
【详解】∵抛物线为，与顶点式对比，
得,，
∴顶点坐标为，
故选：A．
3．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线D．当时，y随x的增大而增大
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，
∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意；
因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意．
故选：B．
4．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可．
【详解】解：抛物线)的对称轴为直线，
当三点在抛物线上，
，
关于对称轴对称，
将代入得，
解得，
当时，得，，
点E在抛物线上，
故抛物线同时经过三点；
当三点在抛物线上
把代入得，
解得，
当时，，
在抛物线上，
故抛物线同时过三点；
当三点在抛物线上，
把代入得，
解得，
把点代入，
在抛物线上，
抛物线同时过三点；
综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是．
的值不可能为Ｃ．
故选：C．
题型06反比例函数的图象与性质
1．（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是_________．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，即反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则，反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则，据此作答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，
∴即可，
∴，
故答案为：1（答案不唯一）．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）若点与在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据，反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时，进行判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时，
∵，
∴，
即，
故选：．
3．（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（）
A．B．
C．当时，D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可．
【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值，
∵，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
综上，只有选项D正确，
故选：D．
4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（）
A．B．与的面积相等
C．的面积是D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．
先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，解得，
∴，
∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得，
故A选项正确；
∴一次函数的解析式为．
∵对于一次函数，令，则；
令，则，
解得，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
∴，故B选项正确；
，故C选项错误；
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴由图象可得当时，，故D选项正确．
故选：C．
知识1平面直角坐标系
1.定义与构成
平面直角坐标系由两条互相垂直、原点重合的数轴构成。水平的数轴称为x轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴（纵轴），取向上为正方向。两轴的交点O称为坐标原点。坐标系所在的平面被分为四个象限，从右上角开始逆时针方向依次为第一、第二、第三、第四象限。
2.核心概念与表示
点的坐标：平面内任意一点P的位置可以用一对有序实数（x,y）来表示，记为P(x,y)。其中x是点P到y轴的有向距离，称为横坐标；y是点P到x轴的有向距离，称为纵坐标。
象限内点的坐标符号特征：
第一象限：(+,+)
第二象限：(-,+)
第三象限：(-,-)
第四象限：(+,-)
坐标轴上的点：x轴上的点纵坐标为0，记为(x,0)；y轴上的点横坐标为0，记为(0,y)；原点坐标为(0,0)。
3.核心应用与距离公式
定位与几何图形表示：坐标系是连接代数与几何的桥梁，任何几何图形（如直线、曲线）都可以用满足特定代数关系的点集来表示。
两点间距离公式：对于点A(x₁,y₁)和点B(x₂,y₂)，它们之间的距离AB=（x2-x1)2+(y2-y1)2
中点坐标公式：线段AB的中点M的坐标为((x₁ + x₂)/2,(y₁+y₂)/2)。
知识2一次函数图像与性质
1.定义与一般形式
形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数称为一次函数。其中k称为斜率，b称为y轴截距。当b=0时，函数退化为正比例函数y=kx。
2.图像特征
图像形状：一条直线。
作图方法：“两点确定一条直线”。常选取与坐标轴的交点：与y轴交点(0,b)，与x轴交点(-b/k,0)（当k≠0时）。
参数影响：
斜率k：决定直线的倾斜方向和陡峭程度。
k>0：直线从左向右上升。
k0交于正半轴，b0时，函数在定义域R上单调递增。
k0，开口向上；a0时，顶点为最小值点；a0有两个交点，Δ=0有一个交点（相切），Δ0有最小值ymin；a0时：在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。
a0：双曲线的两支分别位于第一、第三象限。
k0时，在每一象限内，y随x的增大而减小。
k0，时间≥0等）
函数值：给定自变量的值，代入解析式求出的对应值。
函数图像：一般用描点法（列表、描点、连线），注意连线要平滑，根据定义域确定图像范围。
对函数定义理解不深：误以为一个x对应多个y也是函数，需强调“唯一确定”。
自变量取值范围考虑不全：只考虑分式或根式，忽略实际问题中的隐含条件（如人数为正整数）。
实际问题忽略自变量的实际意义：如表示时间则不能为负数。
画图像时描点不准确或连线不当：如描点太少导致图像失真，或把不该连的点连起来（如分段函数）。
混淆函数与函数值：函数是变量之间的关系，函数值是具体数值。
定义：形如y=kx（k≠0）的函数叫做正比例函数。其中k为比例系数。
图像：是一条经过原点(0,0)的直线。
性质：
k>0k>0：图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大。
k