2026年辽宁中考数学二轮复习 专题03 函数(复习讲义)

这是一份2026年辽宁中考数学二轮复习 专题03 函数(复习讲义)，共4页。学案主要包含了点坐标的平移，一次函数的图像与性质，一次函数的综合，反比例函数的应用，二次函数的应用，二次函数的综合等内容，欢迎下载使用。
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
TOC \ "1-1" \n \h \z \u


题型一 点坐标的平移
（2024•辽宁中考•12题）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ．
【解答】解：因为点坐标为，且平移后对应点的坐标为，
所以，，
所以，，
所以点的对应点的坐标为．
故答案为：．
（2025•辽宁中考•8题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，
点向上平移5个单位得到点，
点向上平移5个单位得到点，
点的坐标为，即；
故选：．
题型二 一次函数的图像与性质
（2024•辽宁中考•10题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：当时，，
点的坐标为，
．
四边形是菱形，且在轴上，
，且轴，
点的坐标为，即．
故选：．
题型三 一次函数的综合
（2025•辽宁中考•20题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接．
（1）求证：；
（2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值．
【解答】（1）证明：由条件可知，，
，，
，
；
（2）解：点的坐标为，
，，
由条件可知，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形面积
，
当，四边形面积有最大值，最大值为．
题型四 反比例函数的应用
（2025•辽宁中考•12题）在电压不变的情况下，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为 ．
【解答】解：设电流与电阻之间的函数表达式为，
由条件可得，
，
，
故答案为：．
题型五 二次函数的应用
（2025•辽宁中考•19题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算．判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）．
【解答】解：（1）由条件可得，，
，
由条件可得：，
，
；
（2），
，关于轴对称，
，
当时，，
，
，
故这根材料的长度够用．
题型六 二次函数的综合
（2024•辽宁中考•23题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点 “关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上．
例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点 “关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上．
（1）求函数的“升幂函数” 的函数表达式．
（2）如图1，点在函数的图象上，点 “关于的升幂点” 在点上方，当时，求点的坐标．
（3）点在函数的图象上，点 “关于的升幂点”为点，设点的横坐标为．
①若点与点重合，求的值；
②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数” 的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式；
③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值．
【解答】（1），图象如图2所示．
（2）如图3，
，
设，．
因为点在点的上方，
当时，
解得．
所以．
（3）①因为，
所以，．
如果点与点重合，那么．
整理，得．
解得，或．
②由①可知，直线与抛物线有两个交点和，
如图4所示，函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线．
因为轴，所以、两点关于直线对称．
如图4，当点在点右侧时，，，
如图5，当点在点左侧时，，，
由点在点的上方，得，
当时，，
当时，．
综上，．
③情形一：如图7，如果和平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于、两点间的竖直高度．
当时，，所以．
当时，，所以．
所以．
情形2，如图7（局部，变形处理），点是抛物线的顶点．
由，得，
所以，
所以点的横坐标，
于是可得，
所以．
综上，或．
（2025•辽宁中考•23题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．
（1）求点的坐标及，的值．
（2）直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时，
①求证：；
②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值．
（3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
【解答】解：（1）令，
解得，，
，
将代入，得，
，
将，分别代入，得
，
解得．
答：点的坐标为，，的值分别为．
（2）①证明：如图，
设直线的解析式为，由条件可得：
，解得，
，
设点的坐标为，
，
，
将代入得，
将代入，得，
，
，
；
②如图：
当时，△△，
，
，
即，解得．
当时，△△，
，
，
即，解得，
或．
（3）由条件可知，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大．且当时，取得最小值．
当时，函数的最小值为，最大值为，
当时，取得最小值为，即，
解得．
时，函数的最大值为，
当时，函数的最大值为，即，
解得；
当时，，
解得，或（舍去），
，
，
，化简得，
解得，．
知识1 平面直角坐标系
1．点的坐标：
如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．
2．象限和坐标轴：
（1）第一象限内的点的坐标满足：，；
（2）第二象限内的点的坐标满足：，；
（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；
（4）第四象限内的点的坐标满足：，.
（5）x轴上的点的坐标满足：；
（6）y轴上的点的坐标满足：；
注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
3．坐标系中的特殊直线：
（1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为；
（2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为．
（3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为；
（4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为．
4．点到特殊直线的距离：
（1）点到x轴的距离为；到直线（m为常数）的距离为；
（2）点到y轴的距离为；到直线（n为常数）的距离为．
5．坐标系中的平移：
（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．
（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．
总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
6．坐标系中的对称：
（1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点关于点的对称点是．
（5）点关于的对称点是．
（6）点关于的对称点是．
（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．
（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．
知识2 一次函数的相关知识
1．正比例函数
（1）定义：一般地，形如（k为常数，）的函数，叫正比例函数，k叫比例系数．
（2）图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数也叫直线.
（3）性质：
2．一次函数
（1）定义：一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫做一次函数．
当时，即为，所以正比例函数是特殊的一次函数．
（2）图象：一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线，它可以看作直线平移个单位长度而得到（当时，向上平移；当时，向下平移）．
（3）图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点，与x轴交于点．
（4）性质：
知识3 反比例函数的相关知识
一、反比例函数的定义、图象和性质
注意：（1）图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
（2）叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”．
例如：当时，在每一个象限内，y随着x的增大而减小．
（3）反比例函数与()的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．
二、k的几何意义和常用的面积模型
知识4 二次函数的相关知识
一、二次函数的图象和性质
1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．
2．二次函数的性质：
（1）函数的图象与a的符号关系．
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；
= 3 \* GB3 ③决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．
（2）抛物线的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是（y轴）．
3．二次函数的性质：
4．二次函数()的性质：
5．二次函数的性质：
配方：二次函数
注意：二次函数与坐标轴的交点：
（1）与y轴的交点：；
（2）与x轴的交点：使方程成立的x值．
二、二次函数的解析式
1．一般式：
已知图象上三点、、，可用一般式求解二次函数解析式．
2．顶点式：
已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式．
3．交点式：
已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．
命题预测1：平面直角坐标系中点的坐标特征［两年必考，考点、题型均相同］
（2025•浑南区校级一模）点在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：，，
点所在的象限是第四象限．
故选：．
（2025•大连模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是（ ）
A．4B．C．D．5
【解答】解：过点、作轴，轴于点、，如图：
，
点的坐标是，点的坐标是
，，
四边形是矩形，
，（矩形的性质），
（两直线平行，内错角相等），
在△和△中
，
△△，
（全等三角形对应边相等），
，
点的横坐标是5，
故选：．
（2025•调兵山市三模）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，且综合楼和食堂的坐标分别是和，则教学楼的坐标是 ．
【解答】解：综合楼和食堂的坐标分别是和，
确定原点为点的位置．
教学楼的坐标是，
故答案为：．
（2025•沙河口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，点．点是的中点，于点，交于点，点的横坐标是 ．
【解答】解：由题知，
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
所以直线的函数解析式为．
因为点为的中点，
所以点的坐标为．
同理可得，直线的函数解析式为．
因为，
所以直线的函数解析式为．
由得，
，
所以点的横坐标为．
故答案为：．
命题预测2：函数基础知识［常在函数综合题中涉及］
（2025•辽宁模拟）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度与注水时间之间的函数关系图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以、不正确，
此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．
故选：．
（2025•沈阳校级三模）在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论：
①当时，；
②当时，随的增大而增大；
③若点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个；
④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．②④C．②③④D．③④
【解答】解：当时，或，故①错误；
当时，随的增大而增大；故②正确；
，
点在一次函数的图象上，
如图：
由图象可得，有3个交点，
点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③错误；
由条件可知将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确．
综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④．
故选：．
（2025•新抚区四模）小澎从家里出发骑自行车去上学，出发了一段时间后，想起今天考试需要带铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校，以下是他离家的距离（米与所用的时间（分钟）之间的关系的图，根据前图中的信息，则下列说法正确的个数（ ）
①小澎家到学校的距离是1800米；
②小澎在文具店停留了4分钟；
③本次上学途中，小澎一共行了3400米；
④若骑单车的速度大于320米分就有安全隐患，在整个上学的途中，小澎骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①根据图象，学校的纵坐标为1800，小澎家的纵坐标为0，
故小澎家到学校的距离是1800米；故①说法正确；
②根据题意，小澎在文具店停留的时间为从8分到12分，
故小澎在书店停留了4分钟；故②说法正确；
③一共行驶的总路程（米；故③说法正确；
④由图象可知：分钟时，平均速度（米分），
分钟时，平均速度（米分），
分钟时，平均速度（米分），
所以，若骑单车的速度大于300米分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有2分钟的超速骑行，存在安全隐患，原说法错误；
所以说法正确的个数有3个．
故选：．
命题预测3：一次函数的图象与性质［两年必考］
（2025•丹东校级模拟）如图，△中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意得，，
当点与点重合时，，此时，
当时，△△，
，
，
，
，此抛物线开口方向向上；
当时，△△，
，
，
，
，此抛物线开口方向向下；
故符合题意的图象是选项．
故选：．
（2025•朝阳县校级一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据函数图象，可以得到，，，然后即可判断各个选项中的说法如下：
、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项正确，符合题意．
故选：．
10．（2025•皇姑区模拟）已知一次函数函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：一次函数，
函数值随自变量的增大而减小，
，
函数图象过第二、四象限．
，
，
函数图象与轴的交点在轴上方，即图象经过第一、二、四象限．
故选：．
（2025•海州区校级一模）已知一次函数，函数值随的值增大而减小，那么的取值范围是 ．
【解答】解：一次函数，函数值随的值增大而减小，
，解得，
故答案为：．
命题预测4：一次函数图象的平移
（2025•铁岭模拟）一次函数向左平移2个单位后的图象不经过（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【解答】解：一次函数向左平移2个单位后所得一次函数解析式为，
，，
直线经过一、二、三象限，
不经过第四象限，
故选：．
（2025•银州区模拟）在平面直角坐标系中，直线沿轴向左平移2个单位后，则所得直线的解析式为 ．
【解答】解：将直线向左平移2个单位后，
得到直线，
，
即，
故答案为：．
（2025•锦州一模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是 ．
【解答】解：将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，得到的新的一次函数解析式为，
在中，令得，
得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是，
故答案为：．
（2025•大连模拟）把直线向下平移个单位后，与直线的交点在第四象限，则的取值范围是 ．
【解答】解：直线向下平移个单位后可得：，
联立两直线解析式得，
解得，
即交点坐标为，，
交点在第四象限，
，
解得：．
故答案为：．
命题预测5：一次函数图象与几何图形结合［两年必考，2025年与二次函数最值问题结合］
（2025•新宾县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，已知轴上的点的坐标为，以，为邻边构造平行四边形，过点作，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：当时，，
点的坐标为，
；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
，
．
点的坐标为，
，．
四边形是平行四边形，
，．
连接，则，
△为等腰三角形，
又，
．
故选：．
（2025•本溪一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行．直线与轴、轴分别交于点、．将菱形沿轴向左平移个单位，当点落在△的内部时（不包括三角形的边），的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：菱形的顶点，，且对角线与轴平行，
．
当时，，
．
点向左移动时，点在上，
点落在△的内部时（不包括三角形的边），
．
故选：．
（2025•辽阳一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，分别在轴正半轴和负半轴上，顶点在轴正半轴上，直线的表达式为，连接，则△的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：当时，，
点的坐标为，
；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
，
．
四边形是菱形，
，
，
．
故选：．
（2025•清原县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，以为边作菱形，轴，则菱形的周长是 ．
【解答】解：当时，，
点的坐标为
；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
．
在中，，，，
．
又四边形为菱形，
菱形的周长．
故答案为：20．
命题预测6：一次函数的实际应用
（2025•兴隆台区一模）现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店4400米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离（单位：米）与骑手甲行驶的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均速度大于乙的平均速度
B．乙出发后用了8分钟追上甲
C．当乙追上甲时，乙距离小区2400米
D．当乙到达小区时，甲距离小区500米
【解答】解：根据题意和函数图象中的数据逐项分析判断如下：
甲先出发2分钟，骑行了600米，8分钟时乙追上甲，
乙的平均速度大于甲的平均速度，故选项不符合题意；
乙出发后用了（分钟）追上甲，故选项不符合题意；
（米分钟），
，
解得：（米分钟），
当乙追上甲时，骑行了（米，
此时乙距离小区2000（米，故选项不符合题意；
乙骑行4400米所用时间为11（分钟），
则当乙到达小区时，甲骑行了（米，
当乙到小区时，甲与小区的距离为（米，故选项符合题意；
故选：．
（2025•锦州校级三模）张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与出发时间的关系．当两人相距时，出发的时间是 ．
【解答】解：甲的速度为，
甲距起点的距离与出发时间的关系为．
当时，乙的速度为，
当时，乙距起点的距离与出发时间的关系为；
当时，乙的速度为，
当时，乙距起点的距离与出发时间的关系为．
当时，当两人相距时，得，
解得；
当时，当两人相距时，得，
解得或（舍去）；
当时，当两人相距时，得，
解得（舍去）；
当两人相距时，出发的时间是或．
故答案为：20或26.5．
（2025•沈北新区二模）甲、乙两车沿同一路线从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，关于下列结论：
①，两城相距；
②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；
③乙车先出发，先到达城；
④甲车在追上乙车．
正确的结论有 ．
【解答】解：由图可知，两城相距，
故结论①正确，符合题意；
甲车的平均速度，乙车的平均速度，故结论②错误，
不符合题意；
由图可知乙车先出发，后到达城，
故结论③错误，不符合题意；
由图可知甲车在追上乙车，
故结论④正确，符合题意；
综上所述，正确的结论有①④，
故答案为：①④．
命题预测7：反比例函数的图象及性质［2024年23（2）题］
（2025•兴隆台区二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据反比例函数和一次函数图象的特点逐项分析判断如下：
、反比例函数的图象在第一、三象限，可得，
一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误；
、反比例函数的图象在第二、四象限，可得，
一次函数经过二、三、四象限，故此选项错误；
、反比例函数的图象在第二、四象限，可得，
一次函数经过二、三、四象限，故此选项正确；
、反比例函数的图象在第一、三象限，可得，
一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误；
故选：．
（2025•立山区三模）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故选项不符合题意．选项符合题意；
当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故选项、均不符合题意；
故选：．
（2025•铁岭模拟）函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A．或或B．或
C．或D．或或
【解答】解：从图象可知，当时，的取值范围是或．
故选：．
（2025•辽宁模拟）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是 ．
【解答】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限，
，
解得，
故答案为：．
命题预测8：用待定系数法求反比例函数的解析式［2025年12题］
（2025•铁岭模拟）如图，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．经过点的直线与轴交于点．则的值为 12 ．
【解答】解：对于，当时，，
点的坐标为，
将其代入，得：，
故答案为：12．
（2025•新抚区模拟）如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将△沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）求反比例函数的解析式；（2）求出线段的长．
【解答】解：（1）△ 沿折叠，，
，，
四边形是矩形，，，
，
，
设，
，，
，
即，
，
，
，
反比例函数解析式为；
（2）点纵坐标为8，
，
，
即，
．
命题预测9：与反比例函数k的几何意义有关的面积计算
（2025•双塔区校级模拟）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若△的面积是7，则的值是（ ）
A．B．10C．D．
【解答】解：如图，连接，，与轴交于点，
由条件可知，，
，
，
．
故选：．
（2025•大石桥市校级三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为8，点在轴上，点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．8B．C．4D．
【解答】解：连接，交轴于点，
四边形为菱形，
，且，，
菱形的面积为8，
△的面积为2，
，
反比例函数图象位于第二象限，
，
则．
故选：．
（2025•沈阳一模）如图，△的顶点，在双曲线上，顶点在轴上，边过原点，边与双曲线交于点，若，△的面积为50，则的值为 ．
【解答】解：设，则．
设，则，
，
，
，
，
变形得．
又，
．
故答案为：．
（2025•辽宁一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为 ．
【解答】解：连接，，
，
，，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
在第二象限，
，
，
故答案为：．
命题预测10：二次函数的图象与性质［2024年14题、23（3）题］
（2025•沈阳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意；
、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
故选：．
（2025•辽宁模拟）在平面直角坐标系中，存在抛物线和抛物线，则两个抛物线所形成图形的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：将抛物线解析式配方得，
抛物线顶点为．
将抛物线解析式配方得，
抛物线顶点为．
则两个抛物线所形成图形的对称中心为即．
故选：．
命题预测11：二次函数的图象与系数的关系
（2025•皇姑区校级模拟）如图，抛物线的对称轴是直线，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论为（ ）
A．①②B．①④C．②④D．③④
【解答】解：由图象可得，
，，，
，故①错误，不符合题意；
对称轴为直线，可得，
图象与轴有两个交点，
，
即，
，
，故②正确，符合题意；
对称轴为直线，
和对应的函数值相等，
，故③错误，不符合题意；
由图象可知，当时，该函数取得最小值，
，
，
即，故④正确，符合题意；
故选：．
（2025•新宾县校级模拟）抛物线的部分图象如图所示，顶点坐标为，现有以下结论：①；②；③若为任意实数，则有；④；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的顶点为，
抛物线的对称轴为直线，
．
抛物线与轴的交点在负半轴，
．
．故①正确．
当时，，，
，
．
，故②正确．
当时，取最小值为，
为任意实数时，，即，故③错误．
抛物线的顶点为，
，
．
整理得．故④正确．
抛物线与直线的两个交点关于直线对称，图象经过点，
图象经过点．
方程的两个根为，．
．故⑤错误．
故选：．
（2025•大洼区校级三模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①④B．②④C．①②③D．①②③④
【解答】解：抛物线开口向上，
．
抛物线的对称轴为直线，
．
，故①正确．
抛物线与轴有2个交点，
△．
．
②正确．
时，，
，故③正确；
抛物线的对称轴为直线，
．
而时，，即，
，故④正确．
故选：．
（2025•沈北新区二模）二次函数的图象如图所示．
①；②函数的最大值为；③当时，；④，则以上结论中正确的有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由函数图象可知，
，，，
所以．
故①正确．
当时，函数取得最大值为．
故②正确．
因为抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与轴的另一个交点坐标为．
当时，抛物线不在轴的下方，即，
所以当时，．
故③正确．
当时，函数值大于零，
所以．
故④错误．
故选：．
命题预测12：二次函数与一元二次方程的关系
（2025•清原县一模）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故①正确；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在2，3之间，
与轴的另一个交点在，0之间，
方程一定有一个根在和0之间，故②错误；
抛物线与直线有两个交点，
方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线与轴的另一个交点在，0之间，
，
图象与轴交点的纵坐标是2，
，
，
．故④错误．
故选：．
（2025•鞍山模拟）根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程，，，为常数）的一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根，
函数的图象与轴的交点的纵坐标为0．
由表中数据可知：在与之间，
所以对应的的值在6.18与6.19之间，即．
故选：．
命题预测13：抛物线中的函数最值问题［2025年23（3）题］
（2025•立山区三模）关于的二次函数图象经过，对称轴在轴的右侧．则二次函数有（ ）
A．最大值2B．最小值2C．最大值D．最小值
【解答】解：二次函数的图象经过点，
，
解得或，
对称轴在轴的右侧，，
，
，
二次函数，
该函数的最小值为2，
故选：．
（2025•望花区二模）二次函数的最小值是（ ）
A．B．3C．D．5
【解答】解：，
当时，二次函数有最小值是，
故选：．
（2025•辽宁校级三模）定义：若抛物线与轴两交点间的距离为4个单位长度，称此抛物线为定弦抛物线．
（1）判断抛物线是否是定弦抛物线，请说明理由；
（2）如图，当一定弦抛物线的对称轴为直线，图象开口向下且它的图象与轴的交点为点、点（点在点的左侧），与轴的交点为点，连接、所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；
（3）若定弦抛物线与轴交于、两点在左边），当时，该抛物线的最大值与最小值之差等于之间的距离，求的值．
【解答】解：（1）当 时，，
解得：，，
则，
即该抛物线是定弦抛物线；
（2）该定弦抛物线的对称轴为直线，开口向下，
设，
则，解得：，
，，
为直角三角形
由题意可得，
．
，
，
，
设该定弦抛物线表达式为，
把 代入上式并求得：，
该定弦抛物线表达式为：；
（3）若，即，则在中．
当 时该定弦抛物线取最大值，当时该定弦抛物线取最小值．
，
解得：；
若，
，
则在中，当时该定弦抛物线取最大值．
当时该定弦抛物线取最小值．
则，
解得：， （舍去），
若，
，
则在中，
当 时该定弦抛物线取最大值，
当 时该定弦抛物线取最小值．
则．
解得： 不合题意，舍去，
若，即，
则在中，当 时该定弦抛物线取最大值，当 时该定弦抛物线取最小值．
则．
解得：，
综上，或．
（2025•辽宁模拟）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在两个不同的点关于直线为任意实数）对称，则称该函数为“函数”
（1）下列函数：①；②；③．其中是“函数”的是 ③ （填序号）．
（2）若关于的函数是“函数”，且图象与直线相交于，两点（点在点的左侧），函数图象的顶点为点，当时，求，的值．
（3）若关于的函数是“（1）函数”，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求的值．
【解答】解：（1）①是一次函数，随的增大而增大，
不存在两个不同的点关于直线为任意实数）对称，
故此选项不符合题意；
②是反比例函数，分别在第一、三象限内，随的增大而减小，
不存在两个不同的点关于直线为任意实数）对称，
故此选项不符合题意；
③是二次函数，关于直线对称，
是“函数”，
故此选项符合题意，
故答案为：③；
（2）函数是“函数”，
函数图象上至少存在两个不同的点关于直线轴）对称，
函数图象关于直线对称，
，
该函数的解析式为，
．
函数的图象与直线相交于，两点，设直线与轴交于点，如图，
设，，，．
该函数图象关于直线对称，
，，
，
△是等边三角形，
点到的距离为，
，即，
，
，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
（3）函数是“（1）函数”，且过点，
对称轴是直线，且，
解得：，，
函数解析式为，
当时，得：，
当时，得：．
抛物线开口向下，
距离对称轴越远的点的函数值越小，且当时，函数取得最大值，最大值为5，
，
①当时，即，在对称轴的右边，
，，
根据题意，得：，
解得：；
②当时，在对称轴的左侧，
，，
依题意得：，
解得：；
取和关于对称轴为直线的中点，
依题意得：，
解得：，
③当时，，，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）；
④当时，，，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
综上所述，或函数的最大值与最小值的差为2．
命题预测14：二次函数的实际应用
（2025•营口模拟）某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，篮圈距地面，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，则他能成功拦截．其中正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【解答】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入中得：，
解得：，
，
故①正确；
当时，，
此球能投中，
故②不正确；
当时，，
故③正确；
综上所述：上列结论，正确的个数是2个，
故选：．
（2025•大洼区校级三模）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度（米与水平距离（米之间的关系可以近似地看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为 米．
【解答】解：由题意可知，将代入，得：，
解得：，（舍去），
小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故答案为：8．
（2025•沈阳模拟）如图（示意图），某跳水运动员进行跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．运动员在空中最高处点的坐标为．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点距水面，若该运动员出水点在之间（包括，两点），则的取值范围 ．
【解答】解：，，
点的坐标为，．
点，的坐标分别为，．
，
可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为．
又此时抛物线过，
．
．
运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为．
令，
．
或（舍去）．
．
该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，
当抛物线过点时，顶点为．
此时，把代入，得．
同理，当抛物线过点时，，
由点在之间得的取值范围为．
真题动向
题型一 点坐标的平移
题型二 一次函数的图像与性质
题型三 一次函数的综合
题型四 反比例函数的应用
题型五 二次函数的应用
题型六 二次函数的综合
必备知识
知识1 平面直角坐标系
知识2 一次函数的相关知识
知识3 反比例函数的相关知识
知识4 二次函数的相关知识
命题预测
预测 1 平面直角坐标系中点的坐标特征［两年必考，考点、题型均相同］
预测 2 函数基础知识［常在函数综合题中涉及］
预测 3 一次函数的图象与性质［两年必考］
预测 4 一次函数图象的平移
预测 5 一次函数图象与几何图形结合［两年必考，2025年与二次函数最值问题结合］
预测 6 一次函数的实际应用
预测 7 反比例函数的图象及性质［2024年23（2）题］
预测 8 用待定系数法求反比例函数的解析式［2025年12题］
预测 9 与反比例函数k的几何意义有关的面积计算
预测 10 二次函数的图象与性质［2024年14题、23（3）题］
预测 11 二次函数的图象与系数的关系
预测 12 二次函数与一元二次方程的关系
预测 13 抛物线中的函数最值问题［2025年23（3）题］
预测 14 二次函数的实际应用
命题
透视
命题形式：
选择题、填空题及解答题
考察能力：
模型观念、几何直观、运算能力、推理能力、抽象能力、创新意识
热考角度
考点
2025年
2024年
平面直角坐标系与函数
T8．点坐标的平移
T12．点坐标的平移
一次函数
T20．一次函数的综合题（涉及二次函数最值问题）
T10．一次函数的图象与性质
T19(1)．一次函数的实际应用
反比例函数
T12．反比例函数的应用
在二次函数综合题中涉及
二次函数
T19．二次函数的实际应用
T23．二次函数的综合题
T14．二次函数图象上点的坐标特征
T23．函数综合题
命题预测
1. 考情预测
结合辽宁近年中考规律与2026年命题趋势，函数板块预计占25–30分，覆盖选择、填空、解答全题型，二次函数仍是压轴核心。
难度：基础题稳、中档题活、压轴题综合（控制满分率）
核心思想：数形结合、分类讨论、建模应用
2. 备考建议
一次函数：待定系数法、图像性质、实际建模
反比例函数：k几何意义、与一次函数交点/面积
二次函数：三种解析式、顶点/对称轴/最值、Δ与交点
综合题：二次+几何（动点、面积、存在性）、分类讨论
左右平移只动x，上下平移只动y．（左加右减，上加下减）
k＞0；y随x的增大而增大
k＜0；y随x的增大而减小
解题步骤：
1. 先求解析式
2. 再求交点（与x、y轴、另一函数）
3. 写出所有关键点坐标
4. 求面积 / 长度 / 存在性
口诀：
一设二代三求k，
相乘等于k最稳．
表格图像都不怕，
面积就用绝对k．
口诀：
一设变量二找关系，
三列方程化成二次式．
开口向下求顶点，
最大利润面积全搞定．
活动主题
为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备
1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；
2．准备皮尺等测量工具．
采集数据
图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：
1．大门形状为矩形（矩形；
2．底部跨度的长）为；
3．立柱的长为，且，垂足为，．

设计方案
考虑实用和美观等因素，在，间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，，立柱的另一端点，在抛物线形框架结构上，其中．

确定思路
小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
解题思路：
1. 先求函数解析式
2. 求所有关键点坐标
3. 用坐标算长度、面积、斜率
4. 最后一问分类讨论，不重不漏
示意图（草图）
图象位置
变化趋势
性质（增减性）
经过原点和
第一、三象限
从左向右
上升
y随x的增大而增大
y随x的减小而减小
经过原点和
第二、四象限
从左向右
下降
y随x的增大而减小
y随x的减小而增大
示意图（草图）
经过的象限
变化趋势
性质（增减性）
一、二、三
从左向右
上升
y随x的增大而增大，
y随x的减小而减小
一、三、四
一、二、四
从左向右
下降
y随x的增大而减小，
y随x的减小而增大
二、三、四
1、定义：
一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数．
反比例函数常见三种表示形式：
（1）；（2）；（3）．
其中k为常数，且．
例：是反比例函数，1是比例系数．
，，都是反比例函数；，，（m为常数）都不是反比例函数．
2、解析式：一个点确定
反比例函数过，则．
例：反比例函数过，则，
∴反比例函数的解析式为．
3、图象：双曲线
（1）当时，图象在一、三象限；
（2）当时，图象在二、四象限．
（3）越大，与坐标轴的距离越远．


4、性质：
（1）对称性：
①对称中心：，反比例函数的图象关于原点对称．
②对称轴：（一、三象限的角平分线）或（二、四象限的角平分线）．
（2）增减性：
①当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；
②当时，在每个象限内，y随x的增大而增大．
反比例函数图象上的任意一点的横纵坐标之积等于比例系数k．
∵
∴．
由图得，
，
又∵，
∴．
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
增减性
向上
(0, 0)
y轴
时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值0．
向下
(0, 0)
y轴
时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值0．
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
增减性
向上
(0, c)
y轴
时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值c．
向下
(0, c)
y轴
时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值c．
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
增减性
向上
（h，k）
x=h
时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k．
向下
（h，k）
x=h
时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k．
a的
符号
开口
方向
顶点坐标
对称轴
增减性
向上
（，）
时，y随x的增大而增大；
时，y随x的增大而减小；
时，y有最小值．
向下
（，）
时，y随x的增大而减小；
时，y随x的增大而增大；
时，y有最大值．
6.17
6.18
6.19
6.20
0.02
0.06