2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练02立体几何中的平行与垂直证明(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练02立体几何中的平行与垂直证明(学生版+解析)，共37页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc26962" 考点01 空间线面位置关系的判定 PAGEREF _Tc26962 \h 1
\l "_Tc24072" 考点02 几何法证明直线、平面平行的判定与性质 PAGEREF _Tc24072 \h 2
\l "_Tc26616" 考点03 几何法证明直线、平面垂直的判定与性质 PAGEREF _Tc26616 \h 13
\l "_Tc14364" 考点04 向量法证明平行于垂直 PAGEREF _Tc14364 \h 26
考点01 空间线面位置关系的判定
1．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ）
A．l至多与m，n中的一条相交B．l与m，n均相交
C．l与m，n均平行D．l至少与m，n中的一条相交
2．设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则是异面直线D．若，则或，是异面直线
3．设为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,给出下列命题：
①若,则；
②若,则；
③若且,则；
④若且,则．
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．D．
6．已知是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．已知圆柱的轴截面为正方形，为下底面圆弧的中点，点在上底面圆弧上且与在轴截面同侧，若，则异面直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
9．在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ）
A．B．C．D．
11．在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．我国古代著名的数学专著《九章算术》中记载有几何体“刍夢”.”如图，在几何体“刍夢”中，平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，O为正方形的中心，则（ ）
A．平面B．平面C．D．
13．在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
14．在正方体中，为线段上的动点，则直线与所成角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
①若，则；
②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；
③若，则必垂直于面内的无数条直线；
④若为异面直线且点，则存在两条直线过点且与都相交.
A．④B．③C．②D．①
考点02 几何法证明直线、平面平行
1．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.

(1)求证: 平面；
(2)求三棱锥的体积.
2．如图，垂直于梯形所在平面，为PA的中点，，四边形为矩形.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面．
4．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点．
(1)求直三棱柱的体积；
(2)若是的中点，证明：平面；
5．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，.
(1)证明：与共面；
(2)证明：平面.
6．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成的角.
7．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成的角.
8．如图，在四棱锥中，平面，，为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知.
条件①：；条件②：.

(1)求证：；
(2)已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
9．如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点
(1)求证；平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
10．如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面；是的中点.
(1)证明：平面
(2)求与平面成角的正弦值.
考点03 几何法证明直线、平面垂直
1．如图，在三棱锥中，底面，，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值.
2．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
3．如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
4．如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
5．如图，已知是正方形，平面底面，，其中、分别是、的中点．

(1)求证：平面．
(2)判断与平面的关系，并证明你的结论．
(3)判断与是否垂直，并说明你的理由．
6．如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)若，，，，求两条异面直线和所成的角.
7．如图，在正方体中，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
8．如图，在长方体中，已知.

(1)证明:平面平面；
(2)已知点是线段上的动点，求四面体的体积.
9．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
10．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
考点04 空间位置关系的向量证明
1．已知直线l的方向向量是a=(3,2,1)，平面α的一个法向量是n=(1,−1,−1)，则l与α的位置关系是（ ）
A．l⊥αB．l∥α
C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α
2．如图，已知在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，AB=3,△BCD的面积为3，点A在平面BCD上的投影为点B，点M,N分别为AC,CD的中点，则（ ）

A．MN与BD相交B．MN与AD异面
C．BM⊥AND．DM⊥BN
3．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且D1F=λD1C1，若B1F ∥平面A1BE，则λ=（ ）
A．14B．13C．12D．23
4．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是线段BC1上的动点，有下列四个说法：
①存在点P，使得D1P//平面A1DB；
②对于任意点P，四棱锥P−A1ADD1体积为定值；
③存在点P，使得A1P⊥平面C1DB；
④对于任意点P，△A1DP都是锐角三角形.
其中，不正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
5．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1， E为棱DD1的中点，点P在面对角线BC1上运动(P点异于B、C1点)，以下说法错误的是（ ）
A．BD1//平面AEC
B．A1P⊥B1D
C．直线B1E与平面CDD1C1所成角的余弦值为23
D．三棱锥P−ACD1的体积为16
二、解答题
6．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别在棱DD1,BB1上，AD=1,AB=2，AA1=3,BF=12,D1E=2.
(1)证明：EF⊥A1E.
(2)求平面A1EF与平面A1B1F的夹角的余弦值.
7．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=2，AP=3，AB=1，E为棱PC的中点．
(1)求证：BE//平面PAD；
(2)求平面PAD与平面BDE夹角的余弦值；
(3)求点P到平面BDE的距离．
8．如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，∠ADC=∠BAD=90∘,AD=AB=AA1=2,CD=1,A1B1,AA1的中点分别为E,F.

(1)证明：EF⊥CF.
(2)求二面角C−EF−A的正弦值.
9．(24-25高三上·四川宜宾普通高中·)如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AB=1，AA1=2.
(1)求证：平面B1MC⊥平面AMC；
(2)求平面MAC与平面B1AC的夹角的余弦值．
10．(23-24高三下·福建泉州第一中学·)在四棱锥P−ABCD中，BC⊥BP,AD⊥AP,AD//BC,AB=AD=2BC,PA=PB．

(1)求证：AC⊥PD
(2)当点A到平面PCD的距离为22,AB=4时，求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值．
1.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α=A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a⊂α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β=l
无数个
2.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
3.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：0，π2.
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
a∥αa⊂βα⋂β=b⇒a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
a⊂βb⊂βa⋂b=Pa∥αb∥α⇒β∥α
性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
α∥βα⋂γ=aβ⋂γ=b⇒a∥b
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
a∥αa⊂βα⋂β=b⇒a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
a⊂βb⊂βa⋂b=Pa∥αb∥α⇒β∥α
性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
α∥βα⋂γ=aβ⋂γ=b⇒a∥b
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2
l1∥l2
v1∥v2⇔v1＝λv2
l1⊥l2
v1⊥v2⇔v1·v2＝0
直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n
l∥α
v⊥n⇔v·n＝0
l⊥α
v∥n⇔n＝λv
平面α，β的法向量分别为n1，n2
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0