上海市黄浦区2025-2026学年第二学期期中质量检测七年级数学试卷（含解析）

这是一份上海市黄浦区2025-2026学年第二学期期中质量检测七年级数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了 下列说法等内容，欢迎下载使用。
（完卷时间：90分钟分值：100分）2026.4
一、选择题（本大题共有6题，每题3分，满分18分）
1. 将一副三角板按如图所示摆放在两条平行线内，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角板可知，，，进而求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
【详解】解：如图，标记各点和角度，
由三角板可知，，，
，
，
，
，
，
故选：C．
2. 如图，要使得与互补，可以添加的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定以及补角，将选项作为条件代入，证明与互补即可得到答案．
【详解】当时
直线和直线平行
与互补
故选：D．
3. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线的位置关系是（ ）
A. 平行B. 垂直
C. 相交D. 可能垂直，也有可能平行
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直的性质和平行线的判定定理进行解答即可得出答案．
【详解】解：根据同一平面内两条直线的位置关系可知，
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
故选A．
此题考查了垂直的性质，解题的关键是熟练掌握垂直的性质和平行线的判定定理，是一道基础题．
4. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）

A. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C. 三边分别相等的两个三角形全等D. 两点之间线段最短
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得和△全等即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】解：点O为、的中点，
，，
由对顶角相等得，
在和中，
，
，
，
即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度，
故选：B．
5. 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查平行公理、垂线的性质、三角形中各类线的交点性质、直线位置关系及点到直线的距离的定义，需逐一分析各说法的正确性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意；
②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意；
③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意；
④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意；
⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意；
综上，正确的有②，共1个，
故选：A．
6. 如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
∵分别平分，
∴，，
∴，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故结论②正确；
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，故结论③错误；
又∵，
∴，
即，故结论④正确，
∴正确的个数是3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分）
7. “和为钝角的两个角都是锐角”是_________（填写“真”或“假”）命题．
【答案】假
【解析】
【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
根据锐角、钝角的概念判断即可．
【详解】解：，即与的和是，而、都是钝角，
∴“和为钝角的两个角都是锐角”是假命题，
故答案为：假．
8. 如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，先由垂线的定义得到，则可求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平角的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
9. 某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么______°．
【答案】127
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义、角的和差等知识；
过点B作，如图，根据平行线的性质和垂直的定义可得，进而可得，证明即可得解．
【详解】解：过点B作，如图，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：127．
10. 如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________．
【答案】##100度
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，由对顶角相等可得，根据可得，由平行线的性质可得．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
故答案为：．
11. 有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作______个不同的三角形．
【答案】3
【解析】
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可获得答案．
【详解】解：（1）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形；
（2）当取、、三条线段时，∵，故不能构成三角形；
（3）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形；
（4）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形．
综上所述，可作3个不同的三角形．
故答案为：．
本题主要考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系解题的关键．
12. 如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是________（填写一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明其全等．
【详解】解：添加条件；
即：，
，
，
，
，
在和中，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，分别是的高和角平分线，若，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵是的角平分线
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而求得，根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵，，．
∴，，
∴，
∴的周长为
故答案为：．
15. 我们可以用图示所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线b，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有_______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，理解判定是关键；由折纸过程即可得过点P的直线均与直线a，b垂直，则由平行线的判定可判定直线a的平行线b．
【详解】解：由题意知，过点P作直线a的垂线c，再过点P作直线c的垂线b，则直线c分别与直线a，直线b垂直，由同位角相等，两直线平行；或内错角相等，两直线平行；或同旁内角互补，两直线平行；均可判定．
故答案为：①②③．
16. 如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 __ ．
【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：20．
17. 在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为_________________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了垂直定义和邻补角定义，熟练掌握概念是解题的关键．分当在直线的上方时及当在直线的下方时两种情况进行讨论，求得的度数．
【详解】解：如图，当在直线的上方时，

由题意可得：，
，
，
，
如图，当在直线的下方时，

由题意可得：，
，
，
，
故答案为：或
18. 已知：的三条边都不相等，，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为_______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据为直角三角形分情况讨论是解题的关键．根据题意可分解析中图1，图2，图3，图4共四种情况，据此根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可．
【详解】解：如图1所示，当，则，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，此时不符合题意；
如图2所示，当时，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴；
如图3所示，当时，则，
由折叠的性质可得，
∴；
如图4所示，当，则，
由折叠的性质可得；
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
三、简答题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
19. 解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再在数轴上画出来即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
在数轴上表示如下：
20. 如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形．（保留作图痕迹，写出结论）
【答案】作图见解析
【解析】
【分析】分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，由“”易证，可知四边形为轴对称四边形，故即为所求．
【详解】解：如图所示，即为所求．
21. 如图，已知，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据得出，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴．
22. 如图， 已知， 根据下列要求画图并回答问题：
（1）画边上的高；
（2）边上有一点E， 连接AE，如果那么线段是的 ； (填“高”、 “中线”或“角平分线”)
（3）在（1）（2）的条件下， 如果，那么
【答案】（1）见解析；
（2）中线； （3）．
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据三角形的高的定义画图即可；
（2）由题意可得则线段是的中线；
（3）由题意可得，则进而可得， ， 则
【小问1详解】
解：以点为圆心，长为半径作圆，交于点，再以为圆心，大于长为半径作圆交于点，连接交于点，即为所求边上的高，如图：
【小问2详解】
解：如图：
∴线段是的中线，
故答案为：中线．
【小问3详解】
解：，
，
故答案为：．
四、解答题（本大题共有5题，满分38分）
23. 如图，已知、是线段上的两点（在的右侧），，，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使、两点重合于一点，构成，设，求的取值范围．
【答案】．
【解析】
【分析】表示出BN，再根据旋转的性质可得MA=AC，BN=BC，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边和三角形的任意两边之差小于第三边列出不等式组求解即可；
【详解】∵MN=4，MA=1，AB=x，
∴BN=4-1-x=3-x，
由旋转的性质得，MA=AC=1，BN=BC=3-x，
因为，
所以欲构成，只须满足：
由①，得；由②，得.
由此得到取值范围：.
此题考查旋转的性质，三角形的三边关系，解题关键在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组．
24. 【知识回顾】
如图1，直线与直线被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角与的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有和这样位置关系的角称作一组“内外错角”．
【探究发现】
当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系．
（1）当和满足何种数量关系时能使得？请说明理由．
【深入探究】
如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线的上方，和是一组“内外错角”， 和的角平分线所在的直线，相交于点O，设，．
（2）请用含，的代数式表示的大小；
（3）如图3，若与交于点Q，请直接写出当，满足何种数量关系时，是直角三角形．
【答案】（1），理由见详解（2）（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的有关计算及角关系探究等；掌握平行线的判定，能熟练利用角平分线的定义进行求解是解题的关键．
（1）由补角的性质得，由平行线的判定方法，即可求解；
（2）由角平分线的定义得，，由，即可求解；
（3）当时，即可求解．
【详解】解：（1）；
理由如下：，
，
；
（2）平分，
平分，
，
，
，
；
（3）当时，为直角三角形，
；
，
，
为直角三角形．
25. 【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________．
A． B． C． D．
【变式与应用】如图2，是的中线，若，则的取值范围是___________．
A． B． C． D．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题拓展】如图3，，连接是的中点，试说明：；
【答案】[探究与发现] B ；[变式与应用] C； [问题拓展]见详解
【解析】
【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键．
[探究与发现]延长至点E，使，利用“边角边”可证；
[变式与应用]延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解；
[问题拓展] 延长到M，使，即，连接，依次证明，，即可证明结论．
【详解】[探究与发现]解：延长至点，使，连接，如图1所示：
∵是的中线，
，
在和中，
，
∴，
故选：B；
[变式与应用]
解：延长到，使，连接，如图2所示：
∴，
同（1）证明：，
∴，
∵，，
∴，
在中，由三角形三边之间的关系得：，
∴，
∴，
∴，
故选：C；
[问题拓展]
证明：延长到M，使，即，连接，如图3所示：
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
．
26. 如图，在中．直线l经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿B－C－A路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示的长；
（2）当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，求t的值；
（3）要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值．
【答案】（1）当，，当，；
（2）或或或
（3）4或或16．
【解析】
【分析】本题考查动点问题，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解.
（1）根据题意分在上和在上求解即可；
（2）由题意分当在上、在上、在上、在上四种情况求解即可；
（3）分、、、四种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：，
当在上时，即，，则；
当在上时，即，；
所以当，，当，；
【小问2详解】
解：当在上时，直线平分面积，
即，又，
所以，解得；
当在上时，直线平分面积，
即，又，
所以，此时运动了，
即，解得；
当在上时，直线平分面积，
即，又，
所以；
当在上时，直线平分面积，
即，又，
所以，此时运动了，
即，解得；
综上，当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，或或或 ；
【小问3详解】
解：当时，点M在上，点N在上，如图，
，，
，
，
，
要使与全等，则，
，
解得；
当 时，即点M在上，点N在上，如图，

若、两点重合，则与全等，
此时，
即，
解得；
当时，即点M在上，点N在上，如图，

，，
，
，
，
要使与全等，则，
，
解得（舍去）；
当时，点M停在点A处，点N在上，如图，

当点与重合时，若，则与全等，
此时，
解得，
综上，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为4或或16，
故答案为：4或或16．
27. 如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE.
(1)如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：EC+CD=DF；
(2)如图2,连接BF交AC于G点,若 =3，求证：E点为BC中点；
(3)当E点在射线CB上,连接BF与直线AC交于G点,若,则=_______
【答案】(1)答案见解析；（2）答案见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）通过全等三角形△ADF≌△EDA的对应边相等得到：AD=CD，FD=AC，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；
（2）过F点作FD⊥AC交AC于D点，根据（1）中结论可得FD=AC=BC，即可证明△FGD≌△BCD，可得DG=CG，根据=3可证，根据AD=CE，AC=BC，即可解题；（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，易证 ，由（1）（2）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG=GD，AD=CE，即可求得的值，即可解题．
【详解】
证明：（1）如图1，∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠F=90°，
∴∠CAE=∠AFD，
在△ADF和△ECA中， ，
∴△ADF≌△ECA（AAS），
∴AD=CD，FD=AC，
∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，即EC+CD=DF；
证明：（2）如图2，
过F点作FD⊥AC交AC于D点，
∵△ADF≌△ECA，
∴FD=AC=BC，
在△FDG和△BCG中， ，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴GD=CG，
∵ =3
∴
∴，
∵AD=CE，AC=BC
∴ ，
∴E点为BC中点；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，如图3，
∵ ，BC=AC，CE=CB+BE，
∴，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE，
∴ ，
∴ ．
本题考查了相似综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADF≌△ECA、△GDF≌△GCB是解题的关键．