2027年中考数学二轮专题复习 练习课件含答案 重难题型专练 题型九　类型二　二次函数的实际应用

这是一份2027年中考数学二轮专题复习 练习课件含答案 重难题型专练 题型九　类型二　二次函数的实际应用，共43页。PPT课件主要包含了30－x，2求w的最大值，建模分析等内容，欢迎下载使用。
考向1　利润问题(2024.24)
1. (2025铜仁模拟)随着直播销售逐渐被大众接受，达人直播带货在短视频 平台占据了主导地位，成为各大商家的重要销售渠道.某化妆品商家“双十 一”在直播间开展预售活动，销售其旗下品牌化妆品，平均每分钟可售出 10件，每件盈利30元；为了扩大销售、增加利润，该店再次发布了降价活 动，在保障每件商品利润不少于15元的前提下，经过一段时间销售统计， 发现销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件.设每件商品降价x元， 请你解决以下问题：
(1)若x=2，则每分钟的销量为 件，若用含x的代数式表示，降价后 每件商品的利润是 ⁠元；
某商家平均每分钟可售出化妆品10件，每件盈利30元；为了增加利润，再次发布了降价活动，在保障每件商品利润不少于15元的前提下，经过统计，发现销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件.
(2)若降价后该商品每分钟的销量记作y件，请你求出y与x之间的关系式及x 的取值范围；
(3)每件商品降价多少元时，该直播间商家每分钟能拿到最大的销售利 润？最大为多少元？
(3)由题意，设每件商品降价x元时，该直播间商家每分钟销售利润为 w元，∴w=(30－x)(x＋10)=－x2＋20x＋300=－(x－10)2＋400.∵－1＜0，0≤x≤15，∴当x=10时，w能取到最大值，最大值为400，即当每件商品降价10元时，该直播间商家每分钟能拿到最大的销售利润， 最大利润为400元.
2. “贵农本地早”是贵州农学院研究出的优质柑橘品种，因味道甘甜 可口备受人们喜爱.现有一位商户，按市场价每斤2元收购了这种橘子200 斤放在冷藏室内，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1斤橘子变质 丢弃，存放时间不能超过60天.据测算，此后每斤橘子的市场价格y(单位： 元)与存放天数x(单位：天)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.
(1)求y与x的函数表达式；
有一商户，按每斤2元收购了橘子200斤，存放一天需各种费20元，平均每天还有1斤橘子变质丢弃，存放时间不能超过60天.
(2)若存放x天后将橘子一次性出售，销售金额为760元，求x的值；
(2)根据题意得(200－x)(2＋0.2x)=760，
－0.2x2＋38x＋400=760，
x2－190x＋1 800=0，
(x－180)(x－10)=0，
解得x1=180，x2=10，∵存放时间不能超过60天，∴x=10；
(3)该商户将这批橘子存放多少天后出售，可获得最大利润？最大利润是 多少？
答：该商户将这批橘子存放45天后出售，可获得最大利润，最大利润是 405元.
3. 为提升旅游影响力，某地区打造冰雪旅游节，举办单位在园区内设置 “雪屋”项目，共提供甲、乙两个区域的雪屋，每个区域的雪屋均为50间， 每个区域每天雪屋均入住x间，甲区域雪屋每间固定价格为350元，甲区域 雪屋每天全部收入为y1(单位：元)，乙区域雪屋每间价格m(单位：元)与入 住房屋数量x之间满足m=－5x＋n，当乙区域房间全部住满时，m=300 元，乙区域雪屋每天全部收入为y2(单位：元).设乙区域雪屋比甲区域雪屋 每天多收入总金额为w元.
解：(1)由题意知，y1=350x；∵当x=50时，m=300，∴300=－5×50＋n，解得n=550，∴m=－5x＋550，∴y2=mx=(－5x＋550)x=－5x2＋550x；
(1)求n的值，并求出y1与x和y2与x之间的函数关系式；
提供甲、乙两个区域的雪屋，每个区域的雪屋均为50间，每个区域每天雪屋均入住x间，甲区域雪屋每间固定价格为350元，甲区域雪屋每天全部收入为y1，乙区域雪屋每间价格m与入住房屋数量x之间满足m=－5x＋n，当乙区域房间全部住满时，m=300元，乙区域每天全部收入为y2.
(2)w=y2－y1=－5x2＋550x－350x=－5(x－20)2＋2 000，
∵－5＜0，∴当x=20时，w最大，最大值为2 000，
∴当入住房间数量都为20间时，w最大，最大值为2 000元；
(3)乙区域雪屋推出入住返现活动，每间固定返现金10p(单位：元)，若活 动推出后乙区域雪屋每天全部收入比甲区域最多多980元，请求出p的 值.(注：p＜10)
(3)由题意得w=(－5x＋550－10p)x－350x=－5［x－(20－p)］2＋5(20－p)2，
∵－5＜0，∴当x=20－p时，w最大，最大值为5(20－p)2.
∵w的最大值为980元，∴5(20－p)2=980，
解得p1=6，p2=34＞10(舍去)，∴p的值为6.
4. 开阳枇杷，是贵州省开阳县特产，也 是中国国家地理标志产品.某校开展社会实践活动，要求学生调查当地枇 杷的市场情况.下表是某小组的调查记录表，请根据表中的相关信息解决 问题.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)设该枇杷的日销售利润为w元，根据题意得w=(－2x＋160)(x－20)=－2x2＋200x－3 200=－2(x－50)2＋ 1 800.∵－2＜0，50＞40，当x≤40时，w随x的增大而增大，∴当x=40时，w有最大值，最大值为1 600元，
答：当该枇杷的售价为40元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1 600元；
(2)当该枇杷的售价x为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？
(3)根据题意得w=(x－20－m)∙(－2x＋160)=－2x2＋(200＋2m)x－3 200－ 160m，
∴当x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x=40时，w有最大值，为1 280，
代入得－2×402＋40(200＋2m)－3 200－160m=1 280，解得m=4.
(3)由于某种原因，该枇杷进价提高了m元/千克(m＞0)，枇杷市场在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系且依旧符合物价局规定.若日销售最大利润是1 280元，请求出m的值.
考向2　抛物线型问题(3年2考)
1. (2025汇川区模拟)高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动.如图是小美 在某高尔夫俱乐部中的一次击球.
(1)如图①，建立平面直角坐标系，求抛物线表达式；
解：(1)∵当球达到最大高度8m时，球移动的水平距离为20 m，∴抛物线的顶点坐标为(20，8)，则设抛物线的表达式为y=a(x－20)2＋8，将点(0，0)的坐标代入，得0=400a＋8，
(2)判断小美这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞C点，请说明 理由；
∴点C的坐标为(30，6)，
故小美这一杆能把高尔夫球从O点直接打入球洞C点；
答：此次挥杆中小球离斜坡AC的最大竖直高度MN为10 m.
2. 背景材料：某社区准备改造原半径为6 m的水池中的喷泉设施(如 图①)，综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动.
如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水 口位置在水池中心点O的正上方且竖直高度为2.25 m，水流最高高度为3 m，水流最高点距喷水管的水平距离为1 m.
任务1：以水池中心O为原点，水平向右方向为x轴正半轴，喷水管竖直向 上方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的 函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离；
解：任务1：由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为(1，3)，∴设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为y=a1(x－1)2＋3(a1≠0)，将(0，2.25)的坐标代入，得2.25=a1(0－1)2＋3，
解得x1=3，x2=－1(不符合题意，舍去)，∴喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3 m；
【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低 喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且 喷出的水不落到水池外.任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移1 m，高度不变，喷出的水流到 喷水管的最大水平距离为5 m，请确定优化后喷水口的竖直高度；
任务2：∵将喷出的水流的最高点向外平移1 m，高度不变，∴优化后喷泉 水流右支抛物线的顶点坐标为(2，3)，
∴设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为y=a2(x－2)2＋3(a2≠0)，
把x=5，y=0代入，得a2(5－2)2＋3=0，
【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美 观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度m与水平宽度n的比接近黄 金比0.618，确定水流到喷水管的最大水平距离为5.5 m，喷水口的竖直高 度为1.1 m，喷出的水流的最高高度为3.6 m.
任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计 算评价所设计喷泉的美观度.
任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为y=a3(x－h)2＋3.6(a3≠0)， 把(0，1.1)，(5.5，0)的坐标分别代入y=a3(x－h)2＋3.6，
解得x1=－0.5，x2=5.5，∴n=5.5－(－0.5)=6，∵m∶n=0.6接近于黄金分割0.618，∴所设计的喷泉比较美观.
(1)求拱门抛物线的函数解析式；
(2)现要在抛物线与地面围成的区域中用PQ，PN，NM三根钢架隔出正方 形区域QPNM供师生拍照留念，点P，N在抛物线上，点Q，M在地面上， 求此正方形的边长；
解得a1=－21(不合题意，舍去)，a2=3.∴正方形的边长为3；
4. (2025山西)综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据 青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线 与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路 线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm.
数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为 N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为 M. 以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O 与OM所在水平地面垂直的直 线为y轴，建立平面直角坐标系.(1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
解：(1)顶点N的坐标为(80， 60).设抛物线的函数表达式为 y=a(x－80)2＋60(a≠0)，由题意得点M的坐标为(160， 0)，将点M的坐标(160， 0)代入 y=a(x－80)2＋60，得 0=a(160－80)2＋60，
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线 的形状不变.(2)如图①，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P 的坐标为(0，75)，点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离 OQ的长；
(2)由题意得过点P的抛物线是由(1)中的抛物线沿直线l向上平移得到的， 顶点坐标为(80，135)，
解得x1=200，x2=－40(不符合题意，舍去)，∴点Q的坐标为(200，0)，∴起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200 cm；
(3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点 在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过.如图②，水平地面上有 一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°， AB=57 cm， BC=40 cm， CD=48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处 的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个 平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写 出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人 的运动路线在同一竖直平面内).