江苏省无锡市锡北片2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题（含答案+解析）

这是一份江苏省无锡市锡北片2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题（含答案+解析），共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列问题适合普查的是( )
A. 高铁列车出发前对关键部件的安全检查B. 了解全国中学生的睡眠状况
C. 调查一批节能灯管的寿命D. 检测某湖泊的水污染程度
2.某校为了解七年级300名学生的每周课外阅读情况，随机抽取了100名学生的每周课外阅读时间(单位：分钟)进行统计，下列说法正确的是( )
A. 上述调查是普查B. 300名学生是总体
C. 每名学生是个体D. 100名学生的每周课外阅读时间是样本
3.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是( )
A. 掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率
B. 抛一枚硬币，出现正面朝上的概率
C. 从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球(小球除颜色外完全相同)，摸到白球的概率
D. 从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
4.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. x2+2x+1=x(x+2)+1B. (x+1)(x−1)=x2−1
C. x2−4x+4=(x−2)2D. x2−x−4=x(x−1)−2
5.如果n−m=−5，mn=6，则m2n−mn2的值是( )
A. 30B. −30C. 11D. −11
6.如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AB//DC,AD//BCB. AB=DC,AD=BC
C. AO=CO,BO=DOD. AB//DC,AD=BC
7.如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，已知∠ABC=50 ∘，则∠BEC的度数为( )
A. 75 ∘B. 65 ∘C. 60 ∘D. 50 ∘
8.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是( )
A. 矩形B. 正方形
C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线互相垂直且相等的四边形
9.如图，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，D，E分别是边AB，BC上的动点，连接DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM长的最小值为( )
A. 2.4B. 4.8C. 2D. 4
10.如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，连结CE，过点E作EG⊥CE交BC于点G，EH平分∠BEG交BC于点H，若已知矩形的周长为定值，则下列线段长为定值的是( )
A. BHB. CHC. CGD. EH
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.某校科技社团为了解本校学生对AI的使用情况，对使用AI进行作业答疑、资料查找、知识梳理、创意绘图的情况进行了抽样调查．将收集的数据绘制成如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中创意绘图部分对应的圆心角为36 ∘.已知该校共有1500名学生，估计该校最常使用AI进行知识梳理的学生人数是 人．
12.某班级有40名学生在期中考试学情分析中，分数在70∼79分的频率为0.4，则该班级在这个分数段内的学生有 人．
13.下列各式：①a2+2ab+1，②b2+2b+4，③a2−6a+9，④b2+b+14中，是完全平方式的有 .(填序号)
14.已知a+b=2，则代数式a2−b2−4a的值为 .
15.如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若▱ABCD的周长为20，则△CED的周长为 .
16.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C=60 ∘，若AD=6，BC=10，则此梯形ABCD的周长为 .
17.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60 ∘，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则EF与CD的位置关系是 ，PF的长是 .
18.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P是边AD上的一动点(点P不与点A，D重合)，连接CP，把△BCP沿CP所在直线翻折得到△B′CP，则当点B′落在矩形的边所在的直线上时，AP的长为 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.在实数范围内分解因式：
(1)24a2b+6ab
(2)x4−9
(3)3mn2−18mn+27m
四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解决下列问题：
(1)①此次调查一共抽取了______名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度；
(2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数．
21.(本小题12分)
某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和日球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
(1)填写表中的空格；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是 (精确到0.1)；
(3)若袋中有红球4个，请估计袋中白球的个数．
22.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且AE=CF，连接BE、DF、EF、BD.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若EF⊥BD，且EF=4，BD=6，求四边形BEDF的面积．
23.(本小题10分)
阅读下列材料：
已知多项式2x3−x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法：设2x3−x2+m=A2x+1(A为整式)
∵上式为恒等式，∴当x=−12时，2⋅−123−−122+m=A⋅−12×2+1，
即2⋅−123−−122+m=0，解得：m=12.
感悟上述材料，解答下列问题：
已知多项式x4+mx2+nx−16含有因式x−1和x−2.
(1)求m、n的值；
(2)在(1)的条件下，将多项式x4+mx2+nx−16因式分解，结果是 .(直接写答案)
24.(本小题10分)
如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE//BD,EB//AC，连接OE，交BC于F.
(1)求证：四边形OCEB是矩形；
(2)已知菱形ABCD的面积为12，且AC+BD=12，求OE的长．
25.(本小题12分)
如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.试探究：
(1)当点E为对角线AC的中点时，矩形DEFG (填“是”或“不是”)正方形，其面积为 ；
(2)当点E为对角线AC上任意一点时，判断矩形DEFG是否为正方形，并证明你的结论；
(3)取边CD的中点，记为点P，请直接写出PG的最小值为 .
26.(本小题10分)
定义：有两组邻边(不重复)相等的四边形叫做“准菱形”．如图1，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=DC，则四边形ABCD是“准菱形”．
(1)如图2，在正方形网格中(每个小正方形的边长为1)，A、B、C在格点(小正方形的顶点)上，请在图2中画出“准菱形”ABCD；(要求：D在格点上)；
(2)如图3，在△ABC中，∠ABC=90 ∘，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC=EC，AF=EF，AE、CF交于点D.
①若DC=DF，求证：“准菱形”ACEF是菱形；
②在①的条件下，连接BD，若BD= 8，∠ACB=15 ∘，∠ACD=30 ∘，请直接写出四边形ACEF的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】本题需依据普查与抽样调查的适用范围判断，普查适用于范围较小、事关重大、无破坏性的调查，抽样调查适用于范围大、有破坏性、工作量大的调查．
【详解】解：A选项中高铁列车关键部件的安全检查事关乘客生命安全，必须全面检查，适合普查，本选项符合题意；
B选项全国中学生范围过大，适合抽样调查，本选项不符合题意；
C选项检测节能灯管寿命具有破坏性，适合抽样调查，本选项不符合题意；
D选项检测湖泊水污染程度范围大，适合抽样调查，本选项不符合题意；
故选：A.
2.【答案】D
【解析】本题考查普查与抽样调查，总体、个体、样本的概念，根据各统计概念的定义逐一判断选项正误即可．
【详解】解：A、上述调查是抽样调查，故原说法错误，不符合题意；
B、300名学生的每周课外阅读时间是总体，故原说法错误，不符合题意；
C、每名学生的每周课外阅读时间是个体，故原说法错误，不符合题意；
D、100名学生的每周课外阅读时间是样本，故原说法正确，符合题意；
故选：D.
3.【答案】C
【解析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项不符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意；
C、从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球(小球除颜色外完全相同)，摸到白球的概率为24+2=13≈0.33，故此选项符合题意；
D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为1352=14；故此选项不符合题意．
4.【答案】C
【解析】解：A、选项等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意；
B、选项等式是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
C、选项等式是因式分解，符合题意；
D、x2−x−4≠x(x−1)−2=x2−x−2，不是因式分解，不符合题意．
故选：C.
将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可．
本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是关键．
5.【答案】A
【解析】本题考查了因式分解的应用．原式利用提公因式法变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：∵n−m=−5，mn=6，
∴m2n−mn2=mnm−n=6×5=30，
故选：A.
6.【答案】D
【解析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，能判定四边形ABCD为平行四边形，不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，能判定四边形ABCD为平行四边形，不符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，能判定四边形ABCD为平行四边形，不符合题意；
D、AB//DC,AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，有可能是等腰梯形，符合题意；
故选D.
7.【答案】B
【解析】由菱形的性质可得∠CBD=∠ABD=12∠ABC=25 ∘，再根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=50 ∘，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC=25 ∘，
∵CE⊥BC，
∴∠BEC=90 ∘−∠CBD=90 ∘−25 ∘=65 ∘.
8.【答案】D
【解析】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH//FG//BD，EF//AC//HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE=FG，
∴AC⊥BD，AC=BD，
故选：D.
根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，
本题考查的是三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
9.【答案】A
【解析】过点B作BG⊥AC于G，连接AE，由三线合一定理和勾股定理求出BG=4，进而求出S△ABC=12，证明FM是△ADE的中位线，得到FM=12AE，则当AE⊥BC时，AE最小，即此时FM最小，利用面积法求出AE=4.8，则FM=2.4.
【详解】解：如图所示，过点B作BG⊥AC于G，连接AE，
∵在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，
∴AG=CG=12AC=3，
∴BG= BC2−CG2=4，
∴S△ABC=12AC⋅BG=12×6×4=12，
∵F，M分别是AD，DE的中点，
∴FM是△ADE的中位线，
∴FM=12AE，
∴当AE⊥BC时，AE最小，即此时FM最小，
∵当AE⊥BC时，S△ABC=12AE⋅BC=12，
∴AE=4.8，
∴FM=2.4，
∴FM最小值为2.4.
10.【答案】B
【解析】过点E作EM⊥BC于点M，推出△EHM为等腰三角形，则有HM=12CD，结合CM=12BC，即可得到结果．
【详解】解：过点E作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90 ∘，
∵点E为对角线BD中点，
∴EC=12BD=EB=ED，
∵EM⊥BC，
∴BM=CM=12BC，即点M是BC的中点，
∴EM是△BCD的中位线，
∴EM=12CD，
设∠EGC=α，
∵EG⊥CE，
∴∠ECG=90 ∘−α，
∵EB=EC，
∴∠EBG=∠ECG=90 ∘−α，
∴∠BEG=∠EGC−∠EBG=α−90 ∘−α=2α−90 ∘，
∵EH平分∠BEG，
∴∠HEG=12∠BEG=12×2α−90 ∘=α−45 ∘，
∴∠EHM=∠EGC−∠HEG=α−α−45 ∘=45 ∘，
∵EM⊥BC，
∴∠HEM=90 ∘−∠EHM=90 ∘−45 ∘=45 ∘=∠EHM，
∴HM=EM=12CD，
∴CH=HM+CM=12CD+12BC=12CD+BC=14×2CD+BC，
即CH的长等于矩形ABCD的周长的14，
当矩形的周长为定值时，CH为定值．
故选：B.
11.【答案】225
【解析】用1500减去其它已知数目即可求解．
【详解】解：由扇形统计图得最常使用AI进行知识梳理的学生人数是：
1500−1500×45%−1500×30%−1500×36360
=1500−675−450−150
=225(人).
12.【答案】16
【解析】根据频数等于总人数乘以频率计算即可．
【详解】解：40×0.4=16，
∴分数在70∼79分的频数为16，
即该班级在这个分数段内的学生有16人．
13.【答案】③④
【解析】根据完全平方式的定义，逐个判断所给多项式是否符合完全平方式的结构特征，即可得到结果．
【详解】解：①对于a2+2ab+1，不是完全平方式；
②对于b2+2b+4，不是完全平方式；
③对于a2−6a+9，整理得a2−2⋅a⋅3+32，是完全平方式；
④对于b2+b+14，整理得b2+2⋅b⋅12+122，是完全平方式．
14.【答案】−4
【解析】先对代数式中的a2−b2运用平方差公式进行变形，再整体代入已知条件化简计算，即可得到结果．
【详解】解：a2−b2−4a=a−ba+b−4a
∵a+b=2
∴原式=2a−b−4a
=2a−2b−4a
=−2a−2b
=−2a+b
=−2×2
=−4.
15.【答案】10
【解析】解：∵平行四边形ABCD的周长为20，
∴CD+DA=10，
∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△CED的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10，
故答案为：10.
由平行四边形的性质和周长得出AD+DC=10，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16.【答案】24
【解析】如图，过点D作DE//AB交BC于点E，证明四边形ABED是平行四边形，得到BE=AD=6，AB//DE，AB=DE，然后证明出△DEC是等边三角形，得到AB=DE=CD=EC=4，进而求解即可．
【详解】解：如图，过点D作DE//AB交BC于点E，
∵AD//BC，∠B=∠C=60 ∘，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=6，AB//DE，AB=DE
∴∠DEC=∠B=∠C=60 ∘，CE=BC−BE=10−6=4，
∴△DEC是等边三角形，
∴AB=DE=CD=EC=4
∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=4+10+4+6=24.
17.【答案】EF⊥CD
3− 3

【解析】利用菱形的性质得出相关角的度数，即可得出结论；，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，利用含30 ∘角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60 ∘，
∴∠ACD=12∠BCD=12∠BAD=30 ∘,∠B=120 ∘，
由旋转可得，∠AEF=∠B=120 ∘，
∴∠PEC=180 ∘−∠AEF=60 ∘，
∴∠CPE=180 ∘−∠ACD−∠PEC=90 ∘，
∴EF⊥CD；
如图所示，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∵∠BAC=∠BCA=30 ∘，
∴∠BCH=30 ∘，
∴BH=12BC=1，
由勾股定理得CH= BC2−BH2= 3，
∴AC=2CH=2 3，
∴CE=AC−AE=AC−AB=2 3−2，
∴PE=12CE= 3−1，
∴PF=EF−PE=2− 3−1=3− 3.
18.【答案】2或2 7/2 7或2
【解析】由折叠和矩形的性质可得：B′C=AD=BC=8,AB=CD=6,BP=B′P，设AP=x，则DP=8−x，然后分两种情况讨论：当点B′落在AD边所在的直线上时，当点B′落在CD边所在的直线上时，则∠A=∠PDB′=90 ∘，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：B′C=AD=BC=8,AB=CD=6,BP=B′P，
设AP=x，则DP=8−x，
如图，当点B′落在AD边所在的直线上时，则∠A=∠CDB′=90 ∘，

∴B′D= B′C2−CD2=2 7，
∴BP=B′P=2 7+8−x，
在Rt△ABP中，AB2+AP2=BP2，
∴62+x2=2 7+8−x2，
解得：x=2 7，
即AP=2 7；
如图，当点B′落在CD边所在的直线上时，则∠A=∠PDB′=90 ∘，

∴B′D=B′C−CD=2，
在Rt△ABP和Rt△B′DP中，
BP2=AB2+AP2,B′P2=B′D2+DP2，
即AB2+AP2=B′D2+DP2，
∴62+x2=22+8−x2，
解得：x=2，
即AP=2；
综上所述，AP的长为2 7或2.
19.【答案】【小题1】
解：24a2b+6ab
=6ab⋅4a+6ab⋅1
=6ab4a+1
【小题2】
解：x4−9
=x2+3x2−3
=x2+3x+ 3x− 3
【小题3】
解：3mn2−18mn+27m
=3m(n2−6n+9)
=3mn−32

【解析】1. 详细解答和解析过程见【答案】
2. 详细解答和解析过程见【答案】
3. 详细解答和解析过程见【答案】
20.【答案】【小题1】
解：①∵科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为40%，
∴调查总人数为16÷40%=40(名).
故答案为：40；
②数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即40−14−16=10(人).
补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条(与其他条形宽度一致)；
③扇形统计图中“数字艺术”对应的圆心角为1040×360 ∘=90 ∘
故答案为：90；
【小题2】
样本中喜欢计算思维课程的人数占比为1440=35%，
∵该校共有800名学生参加课程，
∴估计喜欢计算思维课程的学生人数为800×35%=280(人).
答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人．

【解析】1.
本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用及用样本估计总体，解题的关键是利用“科创实践”课程的已知人数(16人)和对应百分比(40%)求出调查总人数，再结合两图信息逐步计算其他未知数据，最后通过样本比例估计总体人数．
①根据“部分数量÷对应百分比=总体数量”，用科创实践的16人除以40%求出调查总人数；②用总人数减去“计算思维”(14人)和“科创实践”(16人)的人数，得到“数字艺术”的人数，进而补充条形统计图；③用“数字艺术”的人数除以总人数，再乘以360 ∘，求出对应扇形圆心角；
2.
先计算样本中喜欢“计算思维”课程的人数占比，再乘以该校参加课程的总人数800，估计总体人数．
21.【答案】【小题1】
297
0.602
【小题2】
0.6
【小题3】
解：∵摸到白球的概率的估计值是0.6，
则1−0.6=0.4，
∴摸到红球的概率的估计值是0.4，
∵袋中有红球4个，
∴球的个数共有：4÷0.40=10(个)，
∴袋中白球的个数为10−4=6(个).

【解析】1.
本题考查了利用频率估计概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可；
【详解】解：依题意，500×0.594=297，1204÷2000=0.602，
故答案为：297，0.602
2.
根据频率估计概率计算；
解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.6；
故答案为：0.6.
3.
由概率的估计值可计算白球的个数．
22.【答案】【小题1】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
又∵AE=CF，
∴DE=BF，
∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
【小题2】
解：∵四边形BEDF是平行四边形，EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF的面积=12EF×BD=12×4×6=12.

【解析】1.
由四边形ABCD是平行四边形，得出AD//BC，AD=BC，由AE=CF得出DE=BF，进而即可得证；
2.
证明四边形BEDF是菱形，即可求出四边形BEDF的面积．
23.【答案】【小题1】
解：∵多项式x4+mx2+nx−16含有因式x−1和x−2，
∴设x4+mx2+nx−16=Ax−1x−2
∵上式为恒等式，
∴当x=1时，1+m+n−16=0①，
当x=2时，16+4m+2n−16=0②，
∴联立①②解得m=−15n=30
【小题2】
x−1x−2x2+3x−8

【解析】1.
根据题干中的解法设x4+mx2+nx−16=Ax−1x−2，然后将x=1和x=2代入得到1+m+n−16=0①，16+4m+2n−16=0②，然后解方程组求出m和n的值；
2.
设x4−15x2+30x−16=x2+ax+bx−1x−2，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解．
解：∵x4−15x2+30x−16含有因式x−1和x−2，
设x4−15x2+30x−16=x2+ax+bx−1x−2
=x2+ax+bx2−3x+2
=x4+a−3x3+−3a+b+2x2+2a−3bx+2b
对比多项式x4−15x2+30x−16的系数可知：a−3=0,2b=−16
∴a=3,b=−8
x4−15x2+30x−16=x−1x−2x2+3x−8
24.【答案】【小题1】
证明：∵CE//BD,EB//AC，
∴四边形OCEB是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠BOC=90 ∘
∴平行四边形OCEB是矩形；
【小题2】
解：∵菱形ABCD的面积为12，
∴AC⋅BD=24，AC=2OC,BD=2OB，
∴OC⋅OB=6，OC+OB=12AC+BD=6，
∵AC⊥BD，
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得BC= OC2+OB2= OC+OB2−2OB⋅OC=2 6，
∵四边形OCEB是矩形
∴OE=BC=2 6

【解析】1.
先证明四边形OCEB是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，即可证明四边形OCEB是矩形；
2.
根据菱形的性质得到AC⋅BD=24，AC=2OC,BD=2OB，进而得到OC⋅OB=6，OC+OB=6，根据勾股定理得到BC= OC2+OB2，根据完全平方公式求出BC=2 6，根据矩形的性质即可求出OE的长．
25.【答案】【小题1】
是
8
【小题2】
证明：如图，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90 ∘，
∵EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENC=∠END=90 ∘，
∴四边形EMCN是矩形，
∴∠MEN=90 ∘，
∵E是正方形ABCD对角线的一点，
∴∠MCE=45 ∘，
∴∠MCE=∠CEM=45 ∘，
∴EM=CM，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM=EN，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠FED=90 ∘，
∴∠MEN−∠FEN=∠FED−∠FEN，
即∠MEF=∠NED，
在△FEM和△DEN中，
∠EMF=∠ENDEM=EN∠MEF=∠NED，
∴△FEM≌△DENASA，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG为正方形；
【小题3】
2

【解析】1.
先证明F,C重合，得出DE=12AC=EC，即可证明矩形DEFG是正方形，进而根据勾股定理求得AC，再得出DE=12AC=2 2，根据正方形的性质即可求解；
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC,∠ADC=90 ∘
∵点E为对角线AC的中点，
∴DE⊥AC
又∵矩形DEFG
∴DE⊥EF
又∵F在射线BC上
∴F,C重合，
∴DE=12AC=EC
∴矩形DEFG是正方形
∵四边形ABCD为正方形，AB=4，
∴AC= 2AB=4 2
∴DE=12AC=2 2
∴正方形DEFG的面积为DE2=2 22=8；
2.
过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，可证四边形EMCN是正方形，得EM=EN，进而证明△FEM≌△DENASA，得到EF=ED，即可求证；
3.
先证明∠DCG=45 ∘，根据勾股定理，即可求解．
解：∵正方形ABCD、DEFG
∴AD=CD，ED=GD
∵∠ADE+∠DEC=90 ∘，∠CDG+∠EDC=90 ∘
∴∠ADE=∠CDG
在△ADE和△CDG中，
∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，ED=GD
∴△ADE≌△CDGSAS
∴∠DCG=∠EAD=45 ∘
如图，
∵P是CD的中点，CD=4
∴PC=2
当PG⊥GC时，PG最小，
∠DCG=45 ∘
此时△PCG是等腰直角三角形，
∴PG的最小值为 22PC= 2
26.【答案】【小题1】
解：如图2所示，四边形ABCD即为所求；
【小题2】
证明：①∵AC=EC，AF=EF，
∴CF垂直平分AE
∴AD=DE，AE⊥CF，
∵CD=DF，
∴“准菱形”ACEF是平行四边形，
∵AC=EC，
∴“准菱形”ACEF是菱形；
②如图，取AC的中点G，连接BG、DG、BD，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC=90 ∘，
∵∠ABC=90 ∘，
∵DG=GA=GC=GB，
∵∠ACD=30 ∘，∠ACB=15 ∘，
∴∠GCD=∠GDC=30 ∘，∠GCB=∠GBC=15 ∘，
∴∠AGB=15 ∘+15 ∘=30 ∘，∠AGD=30 ∘+30 ∘=60 ∘，
∴∠BGD=30 ∘+60 ∘=90 ∘，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴BG2+DG2=2DG2=BD2= 82，
∴DG=2，
∴AC=2DG=4，
∵∠ACD=30 ∘，∠ADC=90 ∘
∴AD=12AC=2，
∴CD= AC2−AD2=2 3，
∴菱形ACEF中，CF=2CD=4 3，AE=2AD=4
∴菱形ACEF的面积为：12×4 3×4=8 3.

【解析】1.
根据题意画出图形即可；
2.
①根据线段垂直平分线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
②取AC的中点G，连接 BG、DG、BD，再根据∠ADC=90 ∘,∠ABC=90 ∘,然后求出∠BGD=90 ∘，即可判断出△BGD是等腰直角三角形；最后根据勾股定理，分别求出AD、CD的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形ACEF的面积即可.
摸球个数
200
300
400
500
1000
1600
2000
摸到白球的个数
116
192
232
590
968
1204
摸到白球的频率
0.580
0.640
0.580
0.594
0.590
0.605
摸球个数
200
300
400
500
1000
1600
2000
摸到白球的个数
116
192
232

590
968
1204
摸到白球的频率
0.580
0.640
0.580
0.594
0.590
0.605