河北省唐山市2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省唐山市2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题（解析版）-A4，共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法种数为（ ）
A. 4B. 6C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】分两步完成，第一步先选进门的方法有4种，再选出门的方法有3种，最后相乘即可求解.
【详解】分两步完成：第一步，从4个门中选择1个门进，有4种方法；
第二步，从余下的3个门中选1个门出，有3种方法.
根据分步乘法计数原理，有种方法.
故选：C
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数公式及导数运算法则逐项求导得解.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：B
3. 4幅不同的国画和2幅不同的油画排成一列，2幅油画不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 240B. 360C. 480D. 720
【答案】C
【解析】
【分析】利用插空法即可求解.
【详解】由题意，先将4幅国画排成一列，
再将2幅油画插到4幅国画形成的5个空中，
则不同的排法有种.
故选：C.
4. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用求出并验证即得.
【详解】函数，求导得，
依题意，，即，解得，而点不在直线上，
所以.
故选：D
5. 在的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则正整数（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质直接求出值.
【详解】由的展开式中只有第5项的二项式系数最大，得的展开式共有9项，即，
所以.
故选：B
6. 从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（ ）
A. 12B. 18C. 30D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分“1名医生，2名护士”和“2名医生，1名护士”两种情况，结合组合数运算求解.
【详解】若选出3人有1名医生，2名护士，则不同的选法种数为；
若选出3人有2名医生，1名护士，则不同的选法种数为；
综上所述：不同的选法种数为.
故选：C
7. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数，赋值求出即可得解.
【详解】函数，求导得，
令，得，则，
所以.
故选：A
8. 如图，已知正方形，边长为2，点，分别在线段，上，，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，则五棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得，根据得，利用导数可求得最大值即可.
【详解】由题意知：连接，则，又，所以，
取的中点，则，
将沿EF折起，使得点B到达点P的位置，连接，则，
又平面平面，平面平面，平面，
平面．
设，则，
又，
所以五棱锥体积，
．
当时，；当时，；
即在上单调递增，在上单调递减，
．
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中几何体体积最值的求解，求解此类问题的基本思路是将所求体积表示为关于某一变量的函数的形式，利用导数求解函数的最值，从而得到几何体体积的最值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知f′x为函数的导数，y=f′x的图象如图所示，则（ ）
A. 是的极大值点B. 当时，取得最小值
C. 在区间0,1上单调递减D. 在区间1,+∞上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】由图形，根据函数的单调性与之间的关系即可判断函数的单调性，结合选项依次判断即可.
【详解】由图可知，当或时，；当时，，
所以函数在、上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，当时，取不到最小值.
故选：AC
10. 已知，是正整数，且，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断B，根据二项式定理即可判断D.
【详解】A：，故A错误；
B：，
，所以，故B正确；
C：，
所以，故C正确；
D：，
令，得，故D错误
故选：BC
11. 已知函数有两个极值点，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，求得，根据题意，结合函数的单调性以及极值与极值点的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，可得，
要使得函数有两个极值点为，可得，解得，
且为方程的两根，可得，所以A不正确，B正确；
又由当时，；当时，；当时，，
所以函数在上递增，在上递减，在上递增，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，且，
可得，，所以C、D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为函数的导数，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】先求出函数的导函数，再求出导数值即可.
【详解】函数，求导得，
所以.
故答案为：1
13. 从黄瓜、白菜、豆角、韭菜、青椒5种蔬菜种子中选出3种分别种在，，三块不同的土地上，每块土地只种1种，其中黄瓜不种在土地上，则不同的种法共有__________种.
【答案】48
【解析】
【分析】分黄瓜种在或上和不种两种情况，结合排列组合即可求解.
【详解】若黄瓜种在或上，则不同的方法有种；
若黄瓜不种，则不同的方法有，
所以不同的种法共有种.
故答案为：48
14. 展开式中的的系数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二项式展开式的通项公式及组合数的计算公式可求得结果.
【详解】，则其展开式的通项公式为
，
当时，的展开式的通项公式为
，
令，得，
所以展开式中的的系数为
,
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名.
（1）将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？
（2）从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？
【答案】（1）120 （2）14
【解析】
【分析】（1）先将6人进行全排，再除以可得答案；
（2）利用间接法，即可求解.
【小问1详解】
男生3名，女生3名站成一排，共有种，又因为3名男生从左到右的顺序一定，
所以不同的排法种数为种；
【小问2详解】
从6人中出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有种.
16. 已知曲线上一点.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为9，求实数的值.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出函数导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再结合给定面积列式求解即得.
【小问1详解】
当时，，求导得，则，而，
所以曲线y=fx在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
函数，求导得，则，而，
因此曲线y=fx在点处的切线方程为：，
因为切线能与两坐标轴围成三角形，所以，
令，得，令，得，
依题意，，解得或，
所以实数的值为或.
17. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求的值.
【答案】（1）极大值为，极小值为0
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，利用导数讨论函数的单调性，结合极值的定义即可求解；
（2）由（1），分析的图象，结合图形即可求解.
【小问1详解】
，则，
令，或，
所以函数在上单调递减，在、上单调递增，
则在处取得极大值，且，
在处取得极小值，且；
【小问2详解】
易知，当且仅当时，则，
且当时，，当时，，
由（1）知，在上单调递减，在、上单调递增，
且的极大值为，极小值为，
作出的图象，如图，
故当时，方程有2个不等的实根.
故.
18. 已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）3 （2）16 （3）0
【解析】
【分析】（1）直接利用二项式的展开式和组合数以及配对问题的应用求出结果；
（2）利用赋值法的应用即可求解；
（3）利用函数的导数和赋值法计算即可求解.
【小问1详解】
的展开式的通项公式为，
当与2配对时，，故的系数为；
当与配对时，，故的系数为，
故的系数为；
【小问2详解】
令，得①，
令，得②，
则①+②，得，
所以；
【小问3详解】
，
等式两边同时求导，得
，
令，得.
19. 已知，为的导数.
（1）证明：当时，；
（2）讨论在上的零点个数，并证明.
【答案】（1）证明见解析
（2）有2个零点，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用二次求导可得的单调性，进而求解；
（2）由（1），根据零点的存在性定理的应用，研究函数的单调性，得，判断的单调性可得，即在R上有2个零点；结合和三角函数的有界性即可证明.
【小问1详解】
，则，
设，则，
所以在上单调递减，且，
故，即.
故当时，；
【小问2详解】
由（1）知，
在R上单调递减，且，
所以使得，即，
所以，，即；，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，；当时，，
所以，
又函数在上单调递增，
所以在上单调递增，且，则，
所以在R上有2个零点；
由，，
得，
即，所以.
【点睛】关键点点睛：求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值，属于难题.