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河北省唐县第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）
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这是一份河北省唐县第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过解分式不等式和指数不等式，分别解出两个集合，再由交集和并集的运算，即可解答.
【详解】由题意，
集合，
集合，
所以，.
故选：A.
2. “扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合扇形的面积公式运算求解.
【详解】由题意可知：扇形的圆心角为，大扇形的半径为，小扇形的半径为，
所以该窗的面积为.
故选：C.
3. 若x>1，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由，可得，化简可得，利用基本不等式即可得解.
【详解】由，可得，
，
当且仅当，即取等号，
的最小值为，
故选：A.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，解题时注意基本不等式的适用条件，属于基础题.
4. 新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从多少天后该国总感染人数开始超过100万？(，)（ ）
A. 43B. 45C. 47D. 49
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质列出函数解析式，然后解相应的不等式即可得．
【详解】设为天后感染的总人数，则，
由已知得，两边取对数化简得，
所以.
因为取正整数，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查指数函数､对数函数的运算，考查数学运算核心素养.
5. 已知α∈（，π），并且sinα+2csα，则tan（α）＝（ ）
A. B. C. D. ﹣7
【答案】A
【解析】
【分析】将已知等式平方，利用同角三角函数的基本关系可得csα﹣2sinα，再结合已知等式作商可求得tanα，由两角和与差的正切公式计算即可得解．
【详解】由sinα+2csα，得sin2α+4sinαcsα+4cs2α，
所以（1﹣cs2α）+4sinαcsα+4（1﹣sin2α），
整理得cs2α﹣4sinαcsα+4sin2α，
所以（csα﹣2sinα）2，
因为α∈（，π），所以，
所以csα﹣2sinα，又sinα+2csα，
所以，，
所以tanα，
所以tan（α）．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：由sinα+2csα推出csα﹣2sinα是本题的解题关键.
6. 设,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“1”、“2”分析判断.
【详解】由题意可知：在内单调递减，可得，即；
在内单调递增，可得，即；
在内单调递减，可得，即；
综上所述：.
故选：D.
7. 已知函数图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由排除D，为偶函数排除A，在0,+∞有零点排除C，检验可知B符合题意.
【详解】设题设函数为，
由图可知，若，但此时，矛盾，故可排除D；
由为偶函数，若，则，矛盾，故排除A；
在0,+∞有零点，若，则时，，矛盾，故排除C，
经检验，B选项在函数的零点奇偶性等方面均符合题意.
故选：B.
8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可．
【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，所以，
即当时，
又对任意，都有，则关于对称，且，
，即函数的周期为，
又由函数且在上恰有个不同的零点，
得函数与的图像在上有个不同的交点，又，
当时，由图可得，解得；
当时，由图可得，解得．
综上可得.
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由可推导出，利用不等式的基本性质结合基本不等式可判断出各选项的正误.
【详解】，则，，从而，，A选项正确；
在不等式两边同时乘以可得，从而，则、均为正数且不为，
由基本不等式可得，B选项正确；
，在不等式的两边同时乘以得，C选项错误；
，则，则，D选项错误.
故选：AB.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，考查推理能力，属于基础题.
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的定义域为RB. 一定存在最小值
C. 的图象关于直线对称D. 当时，的值域为R
【答案】CD
【解析】
【分析】
A选项中，时，真数不恒大于，错误；B选项中，若，真数无最小，则函数没有最小值，错误；C选项中，由于函数为偶函数，通过平移可得对称轴为直线；D选项中，时，判别式大于等于，可得函数的值域为R．
【详解】A选项中，，判别式，
则方程有两个不等根，
故函数 的定义域应该在两根之外，定义域不为R，错误；
B选项中，若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，错误；
C选项中，由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移一个单位即可得到函数
的图象，
此时对称轴为，正确；
D选项中，时，判别式Δ=4-4m≥0，
函数能够取遍0,+∞上的每一个实数，
故函数的值域为R，正确；
故选：CD
【点睛】关键点点睛：本题考查复合型对数函数的性质，考查函数的对称性，考查定义域为全体实数以及值域为全体实数问题，解决本题的关键点是值域为转化为真数大于零，即真数取遍全体正数，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
11. 将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A. 当时，为偶函数
B. 是函数的一条对称轴
C. 函数在上单调递增
D. 若函数的一个对称中心为，则的一个可能值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对A，化简得出，即可判断；对B，求出时，的函数值即可判断；对C，化简得出即可判断；对D，可得，解出即可判断.
【详解】解：∵将的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
故当时，，为偶函数，故A正确；
当时，求得，为最大值，可得是函数的一条对称轴，故B正确；
∵，
当，，故没有单调性，故C错误；
若函数的一个对称中心为，
则，，即，令，可得，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】本题考查三角函数的图象变换和性质解题的关键是正确得出变换前后的解析式，然后利用三角函数性质判断求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的零点为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由函数零点的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】令，则，即，
所以函数的零点为.
故答案为：
13. 若，，则______，______.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】由已知结合二倍角公式可求，利用同角间关系可求，然后所求式子进行化简即可求解.
【详解】因为，
所以，解得，或（舍去），
又，所以，
所以，则，
则.
故答案为：；.
14. 设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为________．
【答案】
【解析】
【分析】
将方程的解转化为两个函数交点问题求解.
【详解】由得有两个不同的解，
令，
的顶点在上，
而与的交点坐标为，
联立得，
由，解得或，
数形结合，要使得有两个不同的解，
则实数的取值范围是或或.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，且.
（1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围；
（2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围.
【小问1详解】
因，所以2m-1>m+1⇒m>2
命题是真命题，可知，
因为，，
m>2-1故的取值范围是.
【小问2详解】
若是的充分不必要条件,得是的真子集，，
2m-1>m+1m+1≥-12m-1≤6，解得，
故的取值范围是.
16. 化简求值：
（1）已知，且为第四象限的角，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，即可求解；
（2）首先利用诱导公式化简原式，并用正切表示，即可求解.
【小问1详解】
，且为第四象限的角
，
小问2详解】
原式
17. 已知二次函数且，．
（1）若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；
（2）在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求k的取值范围．
【答案】（1），单调减区间为，单调增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间；
（2）分离参数，求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围．
【小问1详解】
由题意知，且，
∴，∴，
因为函数对称轴，开口向上，
∴单调减区间为，单调增区间为；
【小问2详解】
在区间上恒成立，
转化为在上恒成立．
设，且对称轴为，
则在取得最小值，
∴．
∴，即的取值范围为．
18. 已知函数是奇函数.
（1）求函数最大值与最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量的集合 ；
（2）求函数，的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）增区间.
【解析】
【分析】（1）由奇函数知：，结合已知求，并写出的解析式，确定其最值和对应自变量的集合即可.
（2）由（1）得，根据正弦函数的性质，确定上的增区间.
【详解】由是奇函数，有，
∴，即，
∵，
∴，即.
（1）当时，，即对应自变量集合为，
当时，，即对应自变量集合为.
（2），由，有，而在上递增，在上递减，
∴在上递减，在上递增，
即在上递减，在上递增，
∴在上递增.
【点睛】关键点点睛：由是奇函数，即化简后为的形式，进而求参数值并写出函数解析式，结合正弦函数的性质，求最值及对应自变量，根据复合函数的单调性确定闭区间的递增区间.
19. 已知函数为偶函数．
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式；
（3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可；
（2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可；
（3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
因为函数为偶函数．
所以f-x=fx，
即，
所以
，
所以；
【小问2详解】
因为，
当时，，单调递增，
所以在上单调递增，又函数为偶函数，
所以函数在上单调递减；
因，所以，
解得或，
所以不等式的解集为
【小问3详解】
因为函数与图象有个公共点，
所以方程有两个不同的根，
方程即为，
可化为，
则有，，
设，则，
即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
所以，
解得，
所以的取值范围为．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过解分式不等式和指数不等式，分别解出两个集合，再由交集和并集的运算，即可解答.
【详解】由题意，
集合，
集合，
所以，.
故选：A.
2. “扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合扇形的面积公式运算求解.
【详解】由题意可知：扇形的圆心角为，大扇形的半径为，小扇形的半径为，
所以该窗的面积为.
故选：C.
3. 若x>1，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由，可得，化简可得，利用基本不等式即可得解.
【详解】由，可得，
，
当且仅当，即取等号，
的最小值为，
故选：A.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，解题时注意基本不等式的适用条件，属于基础题.
4. 新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从多少天后该国总感染人数开始超过100万？(，)（ ）
A. 43B. 45C. 47D. 49
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质列出函数解析式，然后解相应的不等式即可得．
【详解】设为天后感染的总人数，则，
由已知得，两边取对数化简得，
所以.
因为取正整数，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查指数函数､对数函数的运算，考查数学运算核心素养.
5. 已知α∈（，π），并且sinα+2csα，则tan（α）＝（ ）
A. B. C. D. ﹣7
【答案】A
【解析】
【分析】将已知等式平方，利用同角三角函数的基本关系可得csα﹣2sinα，再结合已知等式作商可求得tanα，由两角和与差的正切公式计算即可得解．
【详解】由sinα+2csα，得sin2α+4sinαcsα+4cs2α，
所以（1﹣cs2α）+4sinαcsα+4（1﹣sin2α），
整理得cs2α﹣4sinαcsα+4sin2α，
所以（csα﹣2sinα）2，
因为α∈（，π），所以，
所以csα﹣2sinα，又sinα+2csα，
所以，，
所以tanα，
所以tan（α）．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：由sinα+2csα推出csα﹣2sinα是本题的解题关键.
6. 设,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“1”、“2”分析判断.
【详解】由题意可知：在内单调递减，可得，即；
在内单调递增，可得，即；
在内单调递减，可得，即；
综上所述：.
故选：D.
7. 已知函数图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由排除D，为偶函数排除A，在0,+∞有零点排除C，检验可知B符合题意.
【详解】设题设函数为，
由图可知，若，但此时，矛盾，故可排除D；
由为偶函数，若，则，矛盾，故排除A；
在0,+∞有零点，若，则时，，矛盾，故排除C，
经检验，B选项在函数的零点奇偶性等方面均符合题意.
故选：B.
8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可．
【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，所以，
即当时，
又对任意，都有，则关于对称，且，
，即函数的周期为，
又由函数且在上恰有个不同的零点，
得函数与的图像在上有个不同的交点，又，
当时，由图可得，解得；
当时，由图可得，解得．
综上可得.
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由可推导出，利用不等式的基本性质结合基本不等式可判断出各选项的正误.
【详解】，则，，从而，，A选项正确；
在不等式两边同时乘以可得，从而，则、均为正数且不为，
由基本不等式可得，B选项正确；
，在不等式的两边同时乘以得，C选项错误；
，则，则，D选项错误.
故选：AB.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，考查推理能力，属于基础题.
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的定义域为RB. 一定存在最小值
C. 的图象关于直线对称D. 当时，的值域为R
【答案】CD
【解析】
【分析】
A选项中，时，真数不恒大于，错误；B选项中，若，真数无最小，则函数没有最小值，错误；C选项中，由于函数为偶函数，通过平移可得对称轴为直线；D选项中，时，判别式大于等于，可得函数的值域为R．
【详解】A选项中，，判别式，
则方程有两个不等根，
故函数 的定义域应该在两根之外，定义域不为R，错误；
B选项中，若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，错误；
C选项中，由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移一个单位即可得到函数
的图象，
此时对称轴为，正确；
D选项中，时，判别式Δ=4-4m≥0，
函数能够取遍0,+∞上的每一个实数，
故函数的值域为R，正确；
故选：CD
【点睛】关键点点睛：本题考查复合型对数函数的性质，考查函数的对称性，考查定义域为全体实数以及值域为全体实数问题，解决本题的关键点是值域为转化为真数大于零，即真数取遍全体正数，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
11. 将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A. 当时，为偶函数
B. 是函数的一条对称轴
C. 函数在上单调递增
D. 若函数的一个对称中心为，则的一个可能值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对A，化简得出，即可判断；对B，求出时，的函数值即可判断；对C，化简得出即可判断；对D，可得，解出即可判断.
【详解】解：∵将的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
故当时，，为偶函数，故A正确；
当时，求得，为最大值，可得是函数的一条对称轴，故B正确；
∵，
当，，故没有单调性，故C错误；
若函数的一个对称中心为，
则，，即，令，可得，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】本题考查三角函数的图象变换和性质解题的关键是正确得出变换前后的解析式，然后利用三角函数性质判断求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的零点为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由函数零点的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】令，则，即，
所以函数的零点为.
故答案为：
13. 若，，则______，______.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】由已知结合二倍角公式可求，利用同角间关系可求，然后所求式子进行化简即可求解.
【详解】因为，
所以，解得，或（舍去），
又，所以，
所以，则，
则.
故答案为：；.
14. 设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为________．
【答案】
【解析】
【分析】
将方程的解转化为两个函数交点问题求解.
【详解】由得有两个不同的解，
令，
的顶点在上，
而与的交点坐标为，
联立得，
由，解得或，
数形结合，要使得有两个不同的解，
则实数的取值范围是或或.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，且.
（1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围；
（2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围.
【小问1详解】
因，所以2m-1>m+1⇒m>2
命题是真命题，可知，
因为，，
m>2-1
【小问2详解】
若是的充分不必要条件,得是的真子集，，
2m-1>m+1m+1≥-12m-1≤6，解得，
故的取值范围是.
16. 化简求值：
（1）已知，且为第四象限的角，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，即可求解；
（2）首先利用诱导公式化简原式，并用正切表示，即可求解.
【小问1详解】
，且为第四象限的角
，
小问2详解】
原式
17. 已知二次函数且，．
（1）若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；
（2）在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求k的取值范围．
【答案】（1），单调减区间为，单调增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间；
（2）分离参数，求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围．
【小问1详解】
由题意知，且，
∴，∴，
因为函数对称轴，开口向上，
∴单调减区间为，单调增区间为；
【小问2详解】
在区间上恒成立，
转化为在上恒成立．
设，且对称轴为，
则在取得最小值，
∴．
∴，即的取值范围为．
18. 已知函数是奇函数.
（1）求函数最大值与最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量的集合 ；
（2）求函数，的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）增区间.
【解析】
【分析】（1）由奇函数知：，结合已知求，并写出的解析式，确定其最值和对应自变量的集合即可.
（2）由（1）得，根据正弦函数的性质，确定上的增区间.
【详解】由是奇函数，有，
∴，即，
∵，
∴，即.
（1）当时，，即对应自变量集合为，
当时，，即对应自变量集合为.
（2），由，有，而在上递增，在上递减，
∴在上递减，在上递增，
即在上递减，在上递增，
∴在上递增.
【点睛】关键点点睛：由是奇函数，即化简后为的形式，进而求参数值并写出函数解析式，结合正弦函数的性质，求最值及对应自变量，根据复合函数的单调性确定闭区间的递增区间.
19. 已知函数为偶函数．
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式；
（3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可；
（2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可；
（3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
因为函数为偶函数．
所以f-x=fx，
即，
所以
，
所以；
【小问2详解】
因为，
当时，，单调递增，
所以在上单调递增，又函数为偶函数，
所以函数在上单调递减；
因，所以，
解得或，
所以不等式的解集为
【小问3详解】
因为函数与图象有个公共点，
所以方程有两个不同的根，
方程即为，
可化为，
则有，，
设，则，
即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
所以，
解得，
所以的取值范围为．
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