河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版），共12页。试卷主要包含了 已知复数满足， 已知向量，若，则， 已知的内角所对的边分别为，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A B. C. D.
2. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
5. 已知向量，若，则（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
6. 已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A. 点为的内心B. 点为的外心
C. D. 为等边三角形
7. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：）

A. B. C. D.
8. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 8
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. 已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. 是的充要条件D. 若，则中至少有一个为0
10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则锐角三角形
D. 若，则的形状能唯一确定
11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 与垂直单位向量的坐标为________.
13. 在中，，设边长为，若满足条件的有且只有一个，则的取值范围是______.
14. 如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为______．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的夹角为，，，，
（1）若，求实数t的取值范围；
（2）否存在实数t，使得，若存在，求实数t.
16. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
17. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）求的取值范围．
18. 记的内角的对边分别为，已知，.
（1）求角与；
（2）若点为的所在平面内一点，且满足，求的值；
（3）若点为的重心，且，求的面积.
高一下学期4月期中考试数学试题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将复数利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部.
【详解】由题意，得，所以的虚部为，
故选：B．
2. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值.
【详解】由，且，则，
所以.
故选：D
3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可.
【详解】因为，所以，
所以，
设的夹角为，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
4. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状.
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
5. 已知向量，若，则（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直坐标运算列式，再结合齐次式计算求解即可得出正切值.
【详解】因为，所以，
所以，
解得或.
故选：C.
6. 已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A. 点为的内心B. 点为的外心
C. D. 为等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解.
【详解】在中，由为的垂心，得，
由，得，
则，即，又，
显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.
故选：B.
7. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解.
【详解】，，
，则，
在中，，
，即.
所以该雕像的高度约为4m.
故选：A.
8. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值
【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，
的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，设，其中，则，
因为，所以，又，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. 已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. 是的充要条件D. 若，则中至少有一个为0
【答案】BD
【解析】
【分析】AB选项，根据复数模的计算公式判断；C选项，根据复数定义判断；D选项，根据列方程，解方程即可.
【详解】若，则可以为，故A错；
设，，，
则，
，
所以，，故B正确；
当，时，为虚数，不能比较大小，故C错；
，则，解得或，故D正确.
故选：BD.
10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则的形状能唯一确定
【答案】AB
【解析】
【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C.
【详解】因为，所以，故A正确；
因为，则，故B正确；
由余弦定理，可知为锐角，
但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误；
由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误.
故选：AB
11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】通过对向量新定义运算的理解，结合向量的数量积公式、三角函数关系以及向量模的计算公式来逐一分析各个选项.
【详解】对于A，由，得，而，因此，
又，则或，所以，A正确；
对于B，，当时，，
当时，，B错误；
对于C，因为，所以，所以，
因为，所以，所以，C正确；
对于D，由，得，由，得，
两式平方相加得，则，
当且仅当时取等号，D错误.
故选：AC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 与垂直的单位向量的坐标为________.
【答案】或
【解析】
【分析】设与垂直的单位向量的坐标为，根据题意可得，解得答案即可.
【详解】设与垂直的单位向量的坐标为，
可得，解得或 ，
故答案为：或
13. 在中，，设边长为，若满足条件的有且只有一个，则的取值范围是______.
【答案】或
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求出范围.
【详解】中，由正弦定理，得，
当时，只有一个解，；
当时，只有一个解，则，即，解得，
所以的取值范围是或.
故答案为：或
14. 如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据阴影部分的面积为，利用扇形面积公式、三角形面积公式和正弦定理进行求解.
【详解】设，则，，
由，，得，
在中，由正弦定理得，即，
所以，则，，
所以，，则，
，
所以，
又知扇形AOB的面积为，
故阴影部分的面积为．
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的夹角为，，，，
（1）若，求实数t的取值范围；
（2）是否存在实数t，使得，若存在，求实数t.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由列式求得值；
（2）利用共线向量定理列式求解即可.
【小问1详解】
，的夹角为，且，，
.
由，得
，解得；
【小问2详解】
由，得存在，使得，
即，解得
所以存在实数，使得.
16. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解法一：由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
解法二：直接由余弦定理化简求解即可；
（2）解法一：先由三角形的面积公式得到，再结合可得，进而求解即可；
解法二：由，结合三角形的面积公式得到，进而求解即可.
【小问1详解】
由，得，
解法一：由正弦定理得，
又中，，所以，
所以，
于是，
又，所以，
又，所以
解法二：由余弦定理得，
化简得，
由余弦定理得，
又，
所以.
【小问2详解】
由是的平分线，得，
解法一：，
又，
所以
.
解法二：由得
.
即，
解得，
所以.
17. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）﹒
【解析】
【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得；
(2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得；
(3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围．
【小问1详解】
在直角梯形中，易得，，
∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，
故；
【小问2详解】
，
当时，，
设，，
则，
，
∵不共线，∴，解得，即；
【小问3详解】
∵，，
∴，
＝，
由题意知，，
∴当时，取到最小值＝，
当时，取到最大值，
∴的取值范围是．
18. 记的内角的对边分别为，已知，.
（1）求角与；
（2）若点为所在平面内一点，且满足，求的值；
（3）若点为的重心，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可得，再利用三角恒等变换可求得；
（2）利用向量数量积定义可得为的外心，再由正弦定理可得；
（3）利用重心性质可得，再利用余弦定理可得，可得面积为.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得.
又因为，所以.
又因为，由正弦定理得，
即，
因为，所以，且，
所以.
小问2详解】
由，
可得，
解得，即，
所以为的外心，
由正弦定理得，
所以.
【小问3详解】
设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点，如下图所示：

又因为，所以.
在中，由和，可得.
在和中，有，
由余弦定理可得，
故，
所以，
所以的面积为.