河北省保定市唐县第一中学高二上学期12月期末数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省保定市唐县第一中学高二上学期12月期末数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可.
【详解】抛物线化为标准方程可得，
故，焦点坐标为.
故选:C.
2. 在数列中，若，则下列数是中的项的是（ ）
A. 4B. 4C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用递推关系罗列数列中的项即可判定选项.
【详解】由，，
，可知以3为周期，依次为，显然B正确.
故选：B
3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. 8C. 9D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解.
【详解】因为所以，则，
由等比数列的前项和的性质可知，
数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
，即，
所以.
故选：B.
4. 已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ）
A. B.
C. D. 无最大值
【答案】B
【解析】
【分析】对于A：根据可得，结合通项公式分析判断；对于B：根据等差数列性质可得，即可分析判断；对于CD：根据分析数列的符号性，即可判断.
【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，则，即，
可得，则，故A错误；
对于选项B：因为，则，所以，故B正确；
对于选项D：因为，且，可知，当时，；
当时，；可知当且仅当时，取到最大值，故D错误，
对于选项C：因为，所以，故C错误；
故选：B.
5. 棱长为的正四面体中，点是AD的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得，结合数量积定义可得结论．
【详解】因为，
所以，
又，，，，
所以．
故选：A．
6. 已知两条直线与被圆截得的线段长均为2，则圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得两直线平行，求出两平行线间的距离，从而可得圆心到直线的距离，再由弦长，圆心距和半径的关系可求出圆的半径，从而可求出圆的面积
【详解】因为两条直线与，
所以，
所以与间的距离为，
所以圆心到直线的距离为1，
因为直线被圆截得的弦长为2，
所以圆的半径为，
所以圆的面积为.
故选：A.
7. 椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据离心率为求得椭圆方程为，设，利用切线长公式求解.
【详解】
由题知，解得，，
所以椭圆，
设，，，
设的圆心为，半径为，则，，
因为与圆相切，
所以
，
当时，.
故选：C.
8. 南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，用累加法求得，从而得，再利用裂项相消法求解即可.
【详解】由题意可得，，，，，
于是有，
所以，，，
，，，
将以上个式子相加，得，
所以，
所以
.
故选：D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）
9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 若，且，则D. 若且，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，因为，，所以，可得，所以A错误；
对于B，因为，，所以，所以B正确；
对于C，若，且，则，解得，所以C正确，
对于D，若且，因为，可得，解得，所以D错误.
故选：BC.
10. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 椭圆离心率为
B.
C. 若，则的面积为
D. 最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B，
根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D.
【详解】由椭圆方程可知，，，，
所以椭圆离心率，故A错误；
由椭圆定义知，故B正确；
又，因为，所以，
，
解得：，所以的面积为，故C正确；
因为，即，
设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l与圆的位置关系是相切B. 直线l与圆的位置关系是相离
C. 圆与圆的公共弦长是D. 圆上的点到直线l的距离为1的点有3个
【答案】BC
【解析】
【分析】由点线距与两半径的关系可判断A、B两项；将两圆方程作差，由弦长公式可判断C项；通过计算圆心到直线的距离结合条件从而判断出D选项.
【详解】对于选项A: 因为圆：，所以圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
因为，所以直线l与圆的位置关系是相交，故选项A错误；
对于选项B: 因为圆：，所以圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
因为，所以直线l与圆的位置关系是相离，故选项B正确；
对于选项C：联立，相减得公共弦所在得直线方程为：，
所以圆心到的距离为，
所以公共弦长为，故选项C正确;
对于选项D：因为，且，
所以圆上的点到直线l的距离为1的点有4个（在直线l的两侧各2个）, 故选项D错误;
故选：BC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是等差数列的前项和，且，，则__________.
【答案】51
【解析】
【分析】由等差中项的定义得，所以可得，由等差数列的求和公式和性质即可求解.
详解】由得，所以由，得，
所以.
故答案为：51.
13. 过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为______
【答案】##
【解析】
【分析】利用点差法，结合是线段的中点，直线的斜率为，即可求出双曲线的离心率.
【详解】设, ，则 ①, ②,
∵是线段的中点,
∴
故过点作斜率为的直线的方程是，
∴
①②两式相减可得:
∴.
∴.
∴
∴
∴
故答案为:.
14. 抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点，为上一动点，则周长的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】过作直线的垂线，垂足为A，分析出为正三角形，求出PF；再通过轴对称得并求出，即可得周长的最小值．
【详解】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接，
由题知焦点，，.
因为，直线的斜率为，所以为正三角形，
所以，，
记关于直线的对称点为，则，
则当，，三点共线时，周长，
即周长的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知数列满足，.
（1）令，证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的定义证明.
（2）先根据（1）的结论，求出数列的通项公式，再结合分组求和法求数列的前项和.
【小问1详解】
因为.
又，故数列是首项为1，公比为3的等比数列.
【小问2详解】
由（1）有，可得，
所以有.
16. 已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线过双曲线右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程．
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】（1）借助点到直线的距离公式计算可得，再代入点计算即可得，即可得；
（2）分直线斜率不存在、斜率存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.
【小问1详解】
由点到直线的距离公式可知：
右焦点到渐近线的距离为，
又双曲线C过点，所以，解得，
所以双曲线C方程为；
【小问2详解】
由（1）可知：右焦点坐标为，
当直线的斜率不存在时，，，满足题意；
当直线的斜率存在时，
设，联立
消去y得：，
所以，
设，则，
所以
．
则，解得，即，满足；
所以直线的方程为 x=2，或．
17. 已知数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）已知与的关系求解通项公式即可；
（2）由（1）得，从而得到，利用错位相减法求其前n项和即可.
【小问1详解】
由，得（，），
，（，）．
又，，，整理得．
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
数列的通项公式为．
【小问2详解】
由（1）得，．，
即，，
两式相减，得，．
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明；
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可.
【小问1详解】
取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点，
，，
，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面.
【小问2详解】
，，，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又，平面，
，，又，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图：则，，，，
为棱的中点，
，
（i），，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
，
平面的一个法向量为，
，
根据图形得二面角为钝角，
则二面角的余弦值为
（ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，
则，，
由（2）知平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离是
,
，，
.
19. 焦距为2c的椭圆（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”．
（1）如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；
（2）对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由．
【答案】（1）
（2）是，定点（0，±10），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由新定义得出的关系，结合可求得；
（2）设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（﹣x0，﹣y0），写出方程求得点坐标，同理得点坐标，然后可得出以线段MN为直径的圆的方程，由方程可确定定点坐标．
【小问1详解】
因为椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，所以2b=a+c，
所以c=2b﹣a，又c2=a2﹣b2，所以（2b﹣a）2=a2﹣b2，化简得．
【小问2详解】
过定点（0，±10），理由如下：
由得，由得，
椭圆方程为：，所以A（0，8），设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（﹣x0，﹣y0），
所以直线AP的方程为：，令y=0，得，所以，
同理可得，所以以MN为直径的圆的方程为，
结合，化简得，令x=0，得y=±10，所以该圆恒过定点（0，±10）．