湖南省长沙市宁乡市2026年七年级下学期期中数学试题附答案

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1．在下列各组图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．点在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．在我国海军海战演习中，若要确定每艘战舰的位置，则需要知道每艘战舰相对我方潜艇的（ ）
A．方位角B．距离
C．方位角与距离D．失火轮船的国籍
4．如图，下列关于图中角与角的位置关系，描述错误的是( )
A．与是对顶角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
5．下列各组数中，运算结果相等的一组是（ ）
A．与B．23与32
C．与D．与
6．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（ ）
A．2B．C．4D．1
8．若方程是二元一次方程，则的值为（ ）
A．2B．C．0D．
9．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
10．如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体 ，如图2所示， 以顶点为原点O， 分别以棱，，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建成的坐标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系），立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作，称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为 ，，我们知道，在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为， 由此可知点O 和点B的坐标分别记为，．照此方法，请你确定点 D 在立体坐标系中的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如果座位表上“2列3行”记作，那么表示 ．
12．命题“内错角相等，两直线平行”的题设是 .
13．如图，小华表示的位置用表示，小芳表示的位置可以用表示，则老师的位置可以表示为 ．
14．如图，渔船与港口相距17海里，我们用有序数对（南偏西，17海里）来描述渔船相对港口的位置，那么港口相对渔船的位置可描述为 ．
15．已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点，线段向右平移4个单位到线段，线段与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为 ．
三、解答题（共72分）
17．计算：
（1）．
（2）．
18．解方程组：
19．解方程：
（1）．
（2）．
20．如图：
（1）分别写出点A，B，C三点的坐标
（2）求的面积（平面直角坐标系中小方格的边长为1）
21．在平面直角坐标系中，分别根据下列条件，求出各点的坐标．
（1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度；
（2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度；
（3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度；
（4）点D在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度；
（5）点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度．
22．如图，，与交于点P．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求证：．
23．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．
（1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值．
24．在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点的“短距”为 ；
（2）点的“短距”为1，求的值；
（3）若，两点为“等距点”，求的值．
25．【方法给定】事实上，是无理数是可以证明的，下面给出一种证明方法．
假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是．两边六次方得．
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的六次方才是偶数，所以p也是偶数．
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即．所以q也是偶数．
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．（提示：奇数乘奇数等于奇数．奇数乘偶数等于偶数．偶数乘偶数等于偶数）
（1）【理解运用】证明是无理数．
（2）【猜想探究】发现问题，做出猜想，实验验证是数学学习中非常重要的一环，现在做出猜想：是不是所有无理数都能用这个方法证明是无理数呢？
、、 、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？
、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？
我们知道.、、可以用这种给定方法证明吗？、、呢？（提示：无理数的相反数是无理数）
（3）【总结归纳】你知道给定方法可以证明哪些无理数（根指数、被开方数有什么特点）是无理数了吗？请总结归纳出你的结论吧．（提示：可分正、负无理数归纳）（0次根号无意义，不讨论）
答案
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】A
10．【答案】C
11．【答案】5列4行
12．【答案】内错角相等
13．【答案】
14．【答案】（北偏东，17海里）
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：
①×2得：2x+2y= 8 ③
②-③得： x=3，
将x=3 代入①式，得y=1，
∴方程组的解为．
19．【答案】（1）解：∵
∴或，
∴或．
（2）解：∵
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，．
21．【答案】解：（1）∵点A在y轴上，
∴点A的横坐标为0，而点A位于原点上方，距离原点2个单位长度，
∴点A的纵坐标为2，
∴点A的坐标为（0，2）；
（2）点B在x轴上，
∴点B的纵坐标为0，而点A位于原点右侧，距离原点1个单位长度，
∴点B的横坐标为1，
∴点B的坐标为（1，0）；
（3）∵点C在x轴上方，y轴右侧，
∴点C在第一象限，
∵距离每条坐标轴都是2个单位长度，横纵坐标都为2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（4）∵点D在x下轴上方，y轴左侧，
∴点D在第三象限，
∵距离每条坐标轴都是3个单位长度，横纵坐标都为-3，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣3）；
（5）∵点E在x轴下方，y轴右侧，
∴点E在第四象限，
∵距离x轴2个单位长度，纵坐标为-2，距离y轴4个单位长度，横坐标为4，
∴点E的坐标为（4，﹣2）．
22．【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）证明：，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
23．【答案】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，
理由如下：，，，且6，3，2都是整数，
∴，，这三个数是“完美组合数”；
（2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为24，
这两个数的乘积为576，
当时，则，
，
，
，，
此时符合题意；
当时，则不符合题意；
．
24．【答案】（1）2
（2）点的“短距”为1，
，
∴点B的“短距”为，
当-2m+1＞0时，-2m+1=1，m=0；
当-2m+1＜0时，-(-2m+1)=1，m=1；
∴或；
（3）点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4，
∴当时，即或时，，
∴，解得
或，解得；
当时，即或时，，
∴，解得（舍去）
或，解得（舍去）；
当时，即时，，
∴，解得（舍去）
或，解得（舍去），
综上所述，或．
25．【答案】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边8次方得，
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的8次方才是偶数，
所以p也是偶数，
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，
因为是偶数，所以也是偶数，只能是是偶数，
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾，
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．
（2）解：因为、、 、（n为正整数，k为正整数）去掉根号后不能得到一边是偶数，
所以它们都不可以用这种给定方法证明，
、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明，
如，
假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边3次方得，
由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的3次方才是偶数，
所以p也是偶数，
因此可设（r是正整数），代入上式，得，即．
因为是偶数，
所以也是偶数，因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，因为是偶数，
所以也是偶数，
这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾，
这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数，即是无理数．
其它各数同理可证；
我们知道.、、可以用这种给定方法证明；
、、不能用这种给定方法证明．
（3）给定方法可以证明被开方数是偶数的无理数．