江苏省天一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（理科强化班）（含答案解析）

这是一份江苏省天一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（理科强化班）（含答案解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 设，向量，，且，则（ ）
2. 已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，则当时，点的横坐标为（ ）
3. 已知数列满足，，则（ ）
4. 已知函数，若，则（ ）
5. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
6. 设无穷数列的前n项和为，定义，则（ ）
7. 已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
8. 若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
二、多选题
9. 若函数在定义域上单调递增，则称函数具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力”的是（ ）
10. 在如图所示试验装置中，两个长方形框架与全等，，，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子分别在长方形对角线与上移动，且，则下列说法正确的是（ ）
11. 按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线上取一动点，作在该动点处的切线，过坐标原点作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线.下列结论正确的是（ ）

三、填空题
12. 对于数列，定义为的“优值”，已知某数列的“优值”为，记数列的前n项和为，若对任意的n恒成立，则实数k的取值范围为________.
13. 设函数在处取得极值，且，当时，最大值记为，对于任意的的最小值为_____________．
14. 过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间）是抛物线的焦点，点满足：，则与的面积之和取最小值时直线的斜率的绝对值是______.
四、解答题
15. 已知，点在函数的图象上，其中.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求及数列的通项；
(3)记，求数列的前项和.
16. 在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，，，，底面.点为棱的中点，点为棱的中点.

(1)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(2)设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值.
17. 已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若在上恒成立，求正整数的最大值；
(3)若在上有零点，比较与的大小.
（参考数据：，，）
18. 已知动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.
（ⅰ）判断并证明直线与是否垂直？
（ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.
19. 已知数集.若的两个非空子集和满足：，，则称集合和是的一个“分拆”.已知和是的一个分拆，表示数集中所有元素的和.
(1)判断并证明与能否相等？
(2)若，，求；（用数值表示）
(3)若为给定的偶数，关于的方程有整数根，求的最小值，并写出取到最小值时的所有的集合.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．9
C．3
D．
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．当时，
B．当时，
C．当时，则
D．当时，
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．的长最小等于
C．当的长最小时，平面与平面所成夹角的余弦值为
D．
A．点在上
B．直线是的渐近线
C．若过点的直线与和抛物线分别交于点，（异于点），则
D．点到上的点的距离最小值为