2023高考数学二轮复习专题36 直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）

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专题36 直线与圆、圆与圆的位置关系
【考点预测】
一．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
二．直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
三．两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征





代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0

【方法技巧与总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为

（3）过圆上一点的圆的切线方程为

（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
【题型归纳目录】
题型一：直线与圆的相交关系（含弦长、面积问题）
题型二：直线与圆的相切关系、切点弦问题
题型三：直线与圆的相离关系
题型四：圆与圆的位置关系
题型五：两圆的公共弦问题
【典例例题】
题型一：直线与圆的相交关系（含弦长、面积问题）
例1．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（       ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设圆的半径为，由可得，
因为是正三角形，所以点到直线的距离为
即，两边平方得，
故选：D
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆的圆心，
所以圆心到直线的距离为，则，
而，所以，解得：.
故选：B.
例3．（多选题）（2022·山东青岛·二模）已知，则下述正确的是（       ）
A．圆C的半径 B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交
【答案】ACD
【解析】由，得，则圆心，半径，
所以A正确，
对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，
对于C，因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆C相切，所以C正确，
对于D，圆的圆心为，半径，
因为，，
所以圆与圆C相交，所以D正确，
故选：ACD
例4．（多选题）（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（       ）
A．当时，直线与圆相离
B．若直线是圆的一条对称轴，则
C．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为
D．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】当时，直线：，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆心相离，故A正确；
若直线是圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即，解得，故B正确；
当与圆相切时，取得最大值，只需此时，即时，故圆心到直线的距离，解得，故C错误；
设的中点为，，则，，故，当且仅当且点在点正上方时，等号成立，故D正确．
故选：ABD．

例5．（多选题）（2022·江苏·高二单元测试）设有一组圆，下列命题正确的是（       ）
A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上
B．存在圆经过点（3，0）
C．存在定直线始终与圆相切
D．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则
【答案】ACD
【解析】根据题意，圆，其圆心为，半径为2，
依次分析选项：
对于A，圆心为，其圆心在直线上，A正确；
对于B，圆，
将代入圆的方程可得，
化简得，，方程无解，
所以不存在圆经过点，B错误；
对于C，存在直线，即或，
圆心到直线或的距离，
这两条直线始终与圆相切，C正确，
对于D，若圆上总存在两点到原点的距离为1，
问题转化为圆与圆有两个交点，
圆心距为，
则有，
解可得：或，D正确．
故选：ACD．
例6．（多选题）（2022·河北沧州·二模）已知直线，圆，则下列结论正确的有（       ）
A．若，则直线恒过定点
B．若，则圆可能过点
C．若，则圆关于直线对称
D．若，则直线与圆相交所得的弦长为2
【答案】ACD
【解析】当时，点恒在上，故选项正确；
当时，将点代入，得，该方程无解，故选项错误；
当时，直线恒过圆的圆心，故选项C正确；
当时，与相交所得的弦长为2，故选项D正确.
故选：ACD
例7．（多选题）（2022·河北·高三阶段练习）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是（       ）
A．四边形面积的最小值为4
B．当直线的方程为时，最小
C．已知圆上有且仅有两点到直线l的距离相等且为d，则
D．若动直线，且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线纵截距的取值范围为
【答案】ACD
【解析】四边形面积的最小值即为时，而，，所以，A正确；
当直线的方程为时，此时最小，最大，且为，B错误；
圆上点到直线l的距离取值范围为，除去最远以及最近距离外均有两点到直线的距离相等，即为，C正确；
设M到直线的距离为d，因为，且，所以，则，
设，即，所以，D正确，
故选：ACD．
例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，则（       ）
A．若过点的直线被圆截得的弦长为，则该直线方程为
B．圆上的点到直线的最大距离为
C．在圆上存在点，使得到点的距离为
D．圆上的任一点到两个定点、的距离之比为
【答案】BD
【解析】圆的圆心为，半径为.
对于A选项，若过点的直线的斜率不存在，则该直线的方程为，
由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，
而圆心到直线的距离为，合乎题意.
若所求直线的斜率存在，设直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为.
综上所述，满足条件的直线的方程为或，A错；
对于B选项，圆心到直线的距离为，
因此，圆上的点到直线的最大距离为，B对；
对于C选项，记点，，即点在圆内，
且，如下图所示：

当、、三点不共线时，根据三角形三边关系可得，即，
当、、三点共线且当点在线段上时，，
当、、三点共线且当点在线段上时，.
综上所述，，C错；
对于D选项，设点，则，即，
整理可得，即点的轨迹为圆，D对.
故选：BD.
例9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）（多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（       ）
A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为
C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为
【答案】ABC
【解析】直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确；
在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确；
，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确；
直线被圆截得弦最长时，直线过圆心，则，，直线方程为，即．D错．
故选：ABC．
例10．（多选题）（2022·辽宁·一模）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦AE、BF．则下列结论正确的是(       )
A．圆的方程为：
B．弦AE的长度的最大值为
C．四边形ABEF面积的最大值为
D．该线段AE、BF的中点分别为M、N，直线MN恒过定点
【答案】AD
【解析】设圆心为C，圆的半径为r，
由题可知，，
∴圆的方程为：，故A正确；
当AE过圆心C时，AE长度最长为圆的直径4，故B错误；
如图，

线段AE、BF的中点分别为M、N，设，
则，
，，
，
∴时，四边形ABEF面积有最大值，故C错误；
∵四边形MDNC为矩形，则MN与CD互相平分，即MN过CD中点()，故D正确.
故选：AD.
例11．（2022·全国·高二专题练习）若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围__．
【答案】
【解析】由圆的标准方程，
可得圆心坐标为，半径为，
圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，
则圆心到直线的距离应不大于等于，即，
整理得，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
例12．（2022·山东烟台·三模）已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.
【答案】或1
【解析】设，则有
整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆
点到直线的距离
直线交于，两点，则
则的面积
解之得或
故答案为：或1
例13．（2022·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
【答案】4
【解析】圆C：，其圆心坐标为，半径为3．
圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，
则．
故答案为:4.
例14．（2022·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
例15．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为__________.
【答案】
【解析】由题意得，直线的斜率存在，设，，直线MN的方程为，与联立，得，，得，，.因为，所以，则，于是，（由点A及C在y轴上可判断出，同号）
所以，两式消去，得，满足，所以.
故答案为：
例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知曲线y=与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由曲线可得
为以为圆心，半径为1的上半圆
直线kx−y+k−1=0过点，如图

过和两点的直线斜率；
设过的直线与半圆相切，结合图像可知，显然斜率存在，故圆心到直线的距离等于半径，即
解得或（舍去，与下半圆相切）
结合图像，故要使曲线y=与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是
故答案为：
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：和圆：.
（1）求圆的圆心、半径
（2）求证：无论为何值，直线总与圆有交点；
（3）为何值时，直线被圆截得的弦最短？求出此时的弦长.
【解析】（1）因为
所以，，所以，
所以半径.
（2）由得，
由得，所以直线经过定点，
因为，所以定点在圆内，
所以无论为何值，直线总与圆有交点.
（3）设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦为，
则，则当最大值时，弦长最小，
因为，当且仅当时，取最大值，
取最小值，此时，所以.
所以时，直线被圆截得的弦最短，弦长为.
例18．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为______，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为______．
【答案】    
【解析】设，由题意得，
化简得的方程为，；
直线的方程可化为，由
解得，所以直线过定点，
又，所以点在圆的内部；
作直线，垂足为，

设，易求，所以，
所以，
所以，
所以当，即时，；
故答案为：，.
【方法技巧与总结】
（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系．
（2）弦长问题
①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
题型二：直线与圆的相切关系、切点弦问题
例19．（2022·湖北·模拟预测）已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________.
【答案】
【解析】由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即.又到的距离，故切线长的最小值是
故答案为：
例20．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）过点与圆相切的直线是_________．
【答案】
【解析】由题意，因为，所以点在圆上，
所以过点与圆相切的直线的斜率，
所以切线方程为，即，
故答案为：.
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________.
【答案】或.
【解析】由题意：当切线斜率不存在时，方程为：，满足与圆相切，
当斜率存在时，设切线方程为：，
则：，解得，此时切线方程为：，即，
故答案为：或
例22．（2022·广东·高三开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_______．
【答案】
【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为.
故答案为：
例23．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．
【答案】
【解析】圆，即，
由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，
，，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以，即，
所以最短时，最短，
点C到直线的距离即为的最小值，
所以，所以的最小值为

故答案为：
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为__________.

【答案】
【解析】的圆心，半径，
四边形面积，
要使最小，则需最小，
当与直线垂直时，最小，此时直线的方程为，
联立，解得，
则以为直径的圆的方程为，
则两圆方程相减可得直线的方程为．
故答案为：．
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.
【答案】(1，－1)
【解析】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有，解得，则直线AB恒过定点(1，－1).
故答案为：(1，－1).
例26．（多选题）（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（       ）
A．点到的最大距离为
B．若被圆所截得的弦长最大，则
C．若为圆的切线，则的取值范围为
D．若点也在圆上，则到的距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由题意可知，直线过定点，
圆的圆心为原点，半径为，设圆心到直线的距离为.
当时，，
当与直线不垂直时，.
综上所述，，所以，点到的最大距离为，A对；
对于B选项，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得，所以，B对；
对于C选项，若为圆的切线，则，解得，C错；
对于D选项，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，
当直线与圆相切时，到的距离取最大值，D对.
故选：ABD.
例27．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为（       ）．
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】圆的方程为：，
圆心、半径.

根据对称性可知，四边形PACB的面积为，要使四边形面积最小，则最需最小，即最小时为圆心到直线，
所以四边形PACB的面积的最小值为.
故选：B.
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，则动圆心的轨迹方程为.
为圆上的动点，又，
∴，
∵，，，
∴，
∴当最小时，最小，当最大时，最大.
当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为，
∴外接圆方程为，即.

故选：A
例29．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（       ）
A．四边形MACB面积的最小值为 B．最大度数为60°
C．直线AB过定点 D．的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A选项，由题意可知，当时，有最小值，即，此时，所以四边形MACB面积的最小值为，故选项A正确；
对于B选项，当时，最大，此时，此时，故选项B错误；
对于C选项，设点，，，则，易知在点A、B处的切线方程分别为，，将点分别代入两切线方程得，，所以直线方程为，整理得
，代入，得，
解方程组得所以直线AB过定点，故选项C错误；
对于D选项，设直线AB所过定点为P，则，当时，弦长最小，此时，则的最小值为，故选项D正确，故选：AD.
【方法技巧与总结】
（1）圆的切线方程的求法
①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
题型三：直线与圆的相离关系
例30．（2022•荔湾区校级模拟）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为

A． B． C． D．
【解析】要使切线长最小，需直线上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心到直线的距离，，故切线长的最小值为，
故选：．
例31．已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为　．
【解析】圆心到直线的距离等于，
故圆上的动点到直线的距离的最小值为．
故答案为．
例32．（2022•洛阳二模）已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为　2　．
【解析】圆的圆心，半径是，
由圆的性质知：，四边形的最小面积是2，
的最小值是切线长）

圆心到直线的距离就是的最小值，
，
故答案为：2

例33．（2022春•个旧市校级期末）已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足．
（1）求实数、间满足的等量关系；
（2）求线段长的最小值．

【解析】（1）连，为切点，，由勾股定理有

又由已知，故：
化简得实数、间满足的等量关系为：．
（2）由（1）知，点在直线上．
，即求点到直线的距离．

例34．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知点在圆上，点，，则（       ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有3个
C．过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为
D．的最小值是
【答案】ACD
【解析】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为．A正确；
对B，设点，则，且，由题意，
两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个．B错误；
对C，设，则直线MB，NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为．C正确；
对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，
则有，即，∴，则，
所以，所以D正确．
故选：ACD．
【方法技巧与总结】
关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．
题型四：圆与圆的位置关系
例35．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________.
【答案】
【解析】根据题意作出如下图形：

AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.
当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即
不妨设
过作AB的平行线交于点E，则：，且
,
直线的斜率为：，
所以直线AB与直线的夹角正切为：.
在直角三角形中，，所以，
又,整理得：，
解得：，又，解得：，，
所以=.
例36．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.

例37．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试（文））若圆与圆外切，则实数的值是（       ）
A． B． C．24 D．16
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为
两个圆的圆心距为.由于两个圆外切，所以，解得.
故选：D
例38．（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆与圆的位置关系为（       ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】A
【解析】由与圆，
可得圆心，半径，
则，且，
所以，所以两圆相交.
故选：A.
例39．（2022·陕西·西安中学一模（理））在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（       ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】A
【解析】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
，显然，即圆与圆外离，
所以两圆的公切线的条数是4.
故选：A
例40．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将化为标准方程得，即圆心为半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆至少有三条公切线，
所以两圆的位置关系为外切或相离，
所以，即，解得.
故选：D
例41．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知圆：，圆：（且），则圆与圆的公切线有（       ）
A．4条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【解析】解法一：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以，圆心之间的距离，
因为，
故两圆相交，有两条公切线；
解法二：
两圆有，两个公共点，故两圆相交，有两条公切.
故选:C．
例42．（2022·山东聊城·二模）已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（       ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】设点，则，
且，由，得
，
即，
故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，
则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，
有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个.
故选：B.
例43．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
故选：A．
例44．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知圆O的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，
切点分别为A，B，使得，则，
在中，，
所以点在圆上，
由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.
又圆M的半径等于1，圆心坐标，
，
∴，
∴.
故选：D.
例45．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（       ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【答案】D
【解析】因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，
所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由题设可知，

当且仅当a2＝2b2时等号成立．
故选：D.
例46．（2022·河南·模拟预测（文））下列方程中，圆与圆的公切线方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可知，，
如图，设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P，
由几何关系可知，，，，
所以，，，，l的斜率为，
则l的方程为，即，
根据对称可得出另一条公切线方程为.
故选：B．

【方法技巧与总结】
已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：
（1）两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆相交；
（4）两圆内切；
（5）两圆内含；
题型五：两圆的公共弦问题
例47．（2022·全国·高三专题练习）设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于PA，PB是圆C：的两条切线，A，B是切点，
所以，
当最小时，四边形PACB的面积取得最小，
此时PC：，即，
联立得所以，
PC的中点为，，
以PC为直径的圆的方程为，
即，
与圆C：两圆方程相减可得直线AB的方程．
故选：B．
例48．（2022·河南·二模（文））已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
两式相减得公共弦所在直线方程为：，
分别取，得，解得，即
故选：A
例49．（2022·浙江省普陀中学高三阶段练习）圆与的公共弦长为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故选：D.
例50．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆公共弦所在直线的方程为（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将两圆的方程相减得到两个圆公共弦所在直线方程为
故选：D.
例51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆交于不同的，两点，下列结论正确的有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】两圆方程相减可得直线的方程为，即，故C不正确；
连立可得中点，易知A、B错误.
∴，两式相减可得，故D正确.
故选：D
例52．（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据条件易知，，所以，
圆的半径为2，
圆与圆相交于点，，
的方程为：.即，圆到的距离为：
于是，
因为，
所以四边形的面积为：.
故选：B.
【方法技巧与总结】
两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
【过关测试】
一、单选题
1．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，   ，∴直线恒过点P（—4，1） ，
对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为：     ，
即P点不在该圆内；
对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为 ，
故点P在该圆内；
对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为 ，
故点P不在该圆内；
对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为 ，
点P该在圆上，可能相切也可能相交；
故选：B.
2．已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线l：，即，所以直线过定点，，圆半径，
点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短，
此时．
故选：C．
3．过点的直线与圆：交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆：化为
所以圆心坐标
要使过点的直线被圆所截得的弦取最大值时，则直线过圆心
由直线方程的两点式得： ，即
故选：A
4．若直线与圆交于不同的两点A、B，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆心O到直线l的距离为d，
∵，则以为邻边的平行四边为菱形，即
由，即，则
又由垂径定理可知，即
解得
则，解得．
故选：A．
5．若点到直线的距离分别为1和4，则这样的直线共有（       ）条
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】到点距离为1的直线，可看作以为圆心1为半径的圆的切线，
同理到点距离为的直线，可看作以为圆心为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，所以，故两圆相交，公切线有条，
故选：C．

6．已知圆截直线所得的弦长为，则圆C与圆的位置关系是（       ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【解析】圆C的圆心为，半径为a，其圆心到直线的距离为，
所截得的弦长为，解得．
所以，C的圆心为，半径为2；
又的圆心为，半径为1，
，
故可得，则两圆的位置关系是相交．
故选：．
7．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，
，
，即．
点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线上存在点Q使得，
则PQ为圆的切线时最大，如图，

，即．
圆心到直线的距离，
或．
故选：B．
8．点M为直线上一点，过点M作圆O：的切线MP，MQ，切点分别为P，Q，当四边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为（       ）
A．x＋y－2＝0 B．
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
【答案】A
【解析】因为直线MP，MQ与圆O：相切，切点为，
所以，，
所以四边形MPOQ的面积，
又，
所以，所以当取最小值时，四边形MPOQ的面积最小，
又当且仅当与直线垂直时，取最小值，
所以当与直线垂直时，四边形MPOQ的面积最小，
此时直线的方程为，联立可得，
所以点的坐标为，
因为，所以四点共圆，圆的直径为,
该圆的圆心为，半径为，
所以该圆的方程为：，
又在圆上，所以为两圆的公共弦，
所以的方程为：
故选：A.

二、多选题
9．已知圆和直线，则（       ）
A．直线与圆的位置关系无法判定
B．当时，圆上的点到直线的最远距离为
C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，
D．如果直线与圆相交于两点，则弦的中点的轨迹是一个圆
【答案】BCD
【解析】由题知，圆的圆心为，半径为，
直线，故直线过定点，
对于A选项，由于点在圆内，故直线与圆相交，A错误；
对于B选项，当时，直线，圆心到直线的距离为，故圆
上的点到直线的最远距离为，B正确；
对于C选项，当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，圆心到直线的距离为
，解得，C正确；
对于D选项，由于直线过定点，设弦的中点为，则，即点的轨迹为以为直径的圆，故D正确.
故选：BCD
10．已知圆C：，直线l过点，若将圆C向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到圆，则下列说法正确的有（       ）
A．若直线l与圆C相切，则直线l的方程为3x＋4y－10＝0
B．若直线l与圆C交于A，B两点，且ABC的面积为2，则直线l的方程为x＋y－2＝0或7x＋y＋10＝0
C．若过点的直线与圆C交于M，N两点，则当CMN面积最大时，直线的斜率为1或－1
D．若Q是x轴上的动点，QR，QS分别切圆于R，S两点，则直线RS恒过一个定点
【答案】BCD
【解析】对于A，圆的方程为，圆心，当直线l垂直于x轴时，其方程为x＝－2，符合题意．当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为，即kx－y＋2k＋4＝0，则，解得，所以直线l的方程为，即3x＋4y－10＝0．综上，直线l的方程为x＝－2或3x＋4y－10＝0，所以A不正确．
对于B，由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为，即．设圆心C到直线l的距离为d，则，即，解得，则，解得或．所以直线l的方程为x＋y－2＝0或7x＋y＋10＝0，所以B正确．
对于C，可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离．因为（当且仅当，即时取等号）．由，得，解得或，所以C正确．
对于D，由题意知圆的方程为，圆心．设，则以为直径的圆的圆心为，半径为，则圆D的方程为
，整理得，圆与圆D的公共弦所在直线即为直线RS，将两式相减，可得直线RS的方程为，即．令解得即直线RS恒过定点，所以D正确．
故选：BCD．
11．已知点是圆上的任意一点，直线，则下列结论正确的是（       ）
A．直线与圆的位置关系只有相交和相切两种
B．圆的圆心到直线距离的最大值为
C．点到直线距离的最小值为
D．点可能在圆上
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为直线的方程可化为．
令解得，所以直线过定点，
直线是过点的所有直线中除去直线外的所有直线，
圆心到直线的距离为，即直线与圆相交，
又点在圆上，所以直线与至少有一个公共点，
所以直线与圆的位置关系只有相交和相切两种，A正确；
对于B选项，当直线为圆的切线时，点到直线的距离最大，且最大值为，B错误；
对于C选项，因为圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最小值为，C正确；
对于D选项，圆的圆心为原点，半径为，
因为，所以，圆与圆内切，故点可能在圆上，D正确.
故选：ACD.
12．若实数x，y满足，则下列说法正确的是（       ）
A．x的最小值是4
B．x的最大值是20
C．若关于y的方程有一解，则x的取值范围为
D．若关于y的方程有两解，则x的取值范围为
【答案】BD
【解析】当时，解得，符合题意；当时，令，则，又，则，即，则原方程可化为．设，，，则的图象是斜率为的直线的一部分，的图象是以原点为圆心，半径为的四分之一圆，则问题等价于的图象和的图象有公共点，观察图形可知，

当直线与圆相切时，由，解得；当直线过点时，，解得；当直线过点时，，解得．因此，要使直线与圆有公共点，则有，综上，，故x的最大值为20，最小值为0．显然当或或时，y有一解；当时，y有两解．
故选：BD．
三、填空题
13．已知直线与圆O：相交于A，B两点（O为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数a的值为___________.
【答案】
【解析】如图：

因为 是等于直角三角形，所以圆心（0,0）到直线的距离为 ，
应用点到直线的距离公式得： ；
故答案为： .
14．设与相交于两点，则________．
【答案】
【解析】将和两式相减：
得过两点的直线方程： ，
则圆心到的距离为，
所以 ，
故答案为：
15．已知点，，动点满足，则点M到直线的距离可以是___________.（写出一个符合题意的整数值）
【答案】1(答案不唯一)
【解析】由题设知，即在以为直径的圆上，且圆心为，半径为2，
所以的轨迹为，
而到的距离为，即直线与圆相离，
所以M到直线的距离范围，
由，故1满足.
故答案为：1(答案不唯一)
16．已知点为圆与圆公共点，圆+1，圆+1 ，若，则点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为_________．
【答案】2．
【解析】设，则，令，则，同理可得，因此为方程

两根，由韦达定理得，从而点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为
四、解答题
17．试运用数形结合解下列问题：求函数的值域.
【解析】如图所示，
设A的坐标为，B的坐标为，则直线的斜率为，
∴函数的值域为直线的斜率的取值范围.

如图，点B的轨迹为以O为圆心，半径为1的圆，方程为①，
过点A作圆的切线和，设切线方程为②，
将②代入①，得，整理得.
∵直线和圆相切，
∴，即③，
又A在切线上，∴④，由③、④得：，.
∴直线的斜率的取值范围是，
则函数的值域是.
18．已知圆C经过点，圆C的圆心在圆的内部，且直线被圆C所截得的弦长为.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线与圆C交于A1，A2两点，求.
【解析】(1)由题意，圆C的圆心在圆，可得圆心C在线段AB的中垂线上，
可设，圆C的半径为，
因为直线被圆C所截得的弦长为，且，
所以到直线的距离，
解得或，
又圆C的圆心在圆的内部，所以，此时，
所以圆C的方程为.
(2)将代入，整理得，
设，则，
所以 .
19．已知圆C：．
(1)求圆心C的坐标及半径长；
(2)求直线：被圆C所截得的弦AB的长．
【解析】(1)因为圆C：，所以圆心，半径；
(2)圆心到直线：的距离为，
所以直线：被圆C所截得的弦AB的长为，
所以直线：被圆C所截得的弦AB的长为.
20．已知动圆E过定点，且y轴被圆E所截得的弦长恒为4．
(1)求圆心E的轨迹方程．
(2)过点P的直线l与E的轨迹交于A，B两点，，证明：点P到直线AM，BM的距离相等．
【解析】(1)设，圆E的半径，圆心E到y轴的距离，
由题意得，
化简得，经检验，符合题意．
(2)当直线斜率存在时，设，与E的方程联立，消去y得，．
设，，则，
∵，
∴，则直线PM平分，
当直线l与x轴垂直时，显然直线PM平分．
综上，点P到直线AM， BM的距离相等．
21．已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
【解析】(1)联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为.
若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合乎题意；
所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，解得或.
故所求切线方程为或，即或.
(2)设圆心的坐标为，则圆的方程为，
设点，由可得，
整理可得，
由题意可知，圆与圆有公共点，所以，，
即，解得.
所以，圆心的横坐标的取值范围是.
22．已知动圆M经过定点，且与圆相内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设点T在上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和．
【解析】(1)设动圆圆心，半径为r，
由题意得：
得．
所以圆心M的轨迹是以，为焦点的椭圆，且
故轨迹C方程为．
(2)设，，，AB直线方程为，
，，PQ直线方程为，
联立相消得，

同理，又，
，又，．