圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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(1)求椭圆的方程和直线的方程；
(2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点．
（i）求证：直线的斜率之和为定值；
（ii）求面积的最大值．
【答案】(1)，；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）由椭圆的左顶点，上顶点，得，
所以椭圆的方程为，直线的方程为.
（2）（i）直线斜率存在，设其方程为，点
由，得，则，
解得，即点，
直线交直线于点，
由点是线段的中点，得点，
因此直线的斜率，即，
所以直线的斜率之和为定值.
（ii）由（i）同理得，，
点到直线的距离，
则的面积，
显然，，令，
，求导得，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
当时，，所以面积的最大值为.
例2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线焦点为，，，为抛物线上的三个动点，且.
(1)求拋物线的方程；
(2)过分别作抛物线的三条切线，分别为，，，，交于点，，交于点E，，交于点.
（i）证明：的垂心在一条定直线上；
（ii）已知G点在曲线（）上，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见详解
（ii）
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，已知焦点，故，
因此抛物线方程为：.
（2）（i）由方程，故在点处切线方程为：
方程为，
方程为方程为，
联立故解得，
同理可得
则过点与垂直的直线为：，①
过点点与垂直的直线：，②
①－②可得：
故的垂心在一定直线上
（ii）设，由（i）可知：的直线方程为，
将代入可得：，
同理可得，
故的直线方程为，
联立直线与抛物线得，
由弦长公式，
为了使的面积最大，必须保证处的切线与直线平行，
所以，
从而故的面积为：
，
当时，取得最大值.
例3．（2026·四川·模拟预测）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)若动直线l与椭圆有且仅有一个公共点，过原点O作l的垂线，垂足为M，设点M的轨迹为E．
（ⅰ）求轨迹E的方程；
（ⅱ）以坐标原点O为公共端点作两条互相垂直的射线，，分别与E交于点P，Q，与椭圆交于点，，求以P，，Q，为顶点的四边形的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【详解】（1）已知椭圆，离心率，短轴长，
由短轴长得，由离心率，得，
结合，得，解得，
因此，椭圆的方程为：.
（2）（i）若动直线的斜率存在，设其方程为，
联立直线与椭圆方程：，得，
直线与椭圆相切，故判别式，即，可得，
因为，所以直线的斜率为，设点的坐标为，则有：，即，
点也在直线上，所以，即
代入， ，
整理得轨迹的方程：（当时，，，代入上式也成立）；
若动直线的斜率不存在，切线方程为，过原点作垂线，垂线即轴，垂足的坐标为，满足，
综上，轨迹的方程：.
（ii）点在轨迹上，将代入得：
，即，则，
同理可得，
点在椭圆上，代入得，即，
则，同理可得，
因为，四边形面积
因为，令，则，
因为与在时都是增函数，所以是增函数.
因为，令，则，，
则，
令，，则当时，即时，取得最大值，
最大值为，此时，
.
变式1．（25-26高二上·四川巴中·月考）已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为.
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）因为的周长等于8，
所以，
由椭圆的定义可知：，
所以，
由题意可得椭圆焦点在轴上，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为0时，显然，所以；
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，
则，
设，则，
所以，
因为，
所以.
综上，为定值0.

（ii）由（i）可得，
所以，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
法二：
点到直线的距离
所以
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
变式2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知双曲线的离心率为，且上的点到点的距离的最小值为1.
(1)求的方程；
(2)若垂直于轴的直线与相交于A，B两点，设直线和的另外一个交点为C．
（i）求证：直线过定点；
（ii）过点作直线交的右支于E，F两点，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）因为双曲线的离心率为，所以，所以，
设上的点为，则，，
因为，所以当时，，
又上的点到点距离最小值为1，所以，无解，
故，此时，
又上的点到点距离最小值为1，所以，解得，
所以，，所以W的方程为；
（2）（i）设，，则，直线，
联立双曲线，得，，且，，
由，则直线，
整理得，
又，，，显然直线过定点，得证；
（ii）由直线过点，与双曲线右支交于E，F，故斜率必不为0，
可设，，，联立双曲线，
整理得，，
则，.
与的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为，所以,.，
令，则，
令，则，
在上单调递减，则，此时，即，
的面积的最小值为.
变式3．（2025·上海浦东新·三模）已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，求证；
(3)求的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3).
【详解】（1）设，，，
与联立可得，，
，，，
因为，所以，
由可得，故
因为在第一象限，所以，解得，
由得；
（2）由题意得，，故，
，
，
则，即；
（3）由（1）得，，故，
因为，所以，
当时，，，，故，，
，故，所以⊥，，
则，
由对称性可知，
则，
当时，，，
由得，
将其代入中得，
显然，当时，，当时，，
解得，，，
因为，
其中，
由（2）知，
又，故，
故，
所以，
当且仅当，即时等号成立，此时，
由于，
故.
考点二 线段长度最值问题
例1．（2025·浙江温州·一模）已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且.
(1)求C的方程；
(2)过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H.
（ⅰ）当时，求点P的坐标；
（ⅱ）求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）或；（ii）
【详解】（1）解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为，
因为点在上，且，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）解：（ⅰ）由抛物线，可得，
设点，可得，所以切线方程为，
整理得，
令，代入切线方程，可得，即，
又由，可得，所以的方程为，
则，则的方程为，
联立方程组，解得，
则，
因为，可得，
由抛物线的定义，可得，所以，解得，解得，
所以点或.
（ⅱ）因为点（）在抛物线上，可得，即，
由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上，
又由，
则，当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的最大值为.

例2．（25-26高二上·江西·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线．
(1)求的标准方程；
(2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值；
(3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）（1）由题意得点到的距离等于点到直线的距离，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线．
故的标准方程为．
（2）设点到的准线的距离为，得．
．
当，，三点共线时，取得最小值，且最小值为．
（3）易得的斜率不为0，设，，．
由得，
由，得．
由韦达定理得，
则，
所以的取值范围为．

例3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，点在上，直线交于两点.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，，求的取值范围；
(3)若直线的斜率之积为，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，，所以焦点坐标为.
由椭圆的定义知，
.
所以，，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）设 ，由点在椭圆上，得，
所以
因为，所以.
由，可得，
由点在椭圆上，得，
所以
因为，
所以.
​​所以.
因为
，
所以.
因为，所以.
所以的取值范围是.
（3）设.
当直线斜率不存在时，直线方程为，.
由点在椭圆上，得.
直线的斜率之积为，所以，
即，所以，所以或.
此时直线方程为.
当直线斜率存在时，直线方程为.
由，得.
，得.
.
直线的斜率之积为，
所以.
因为
；
.
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或.
当时，直线恒过定点；
当时，直线，恒过定点与点重合，所以三点共线，不符合题意，舍去.
直线也过点.
综上所述，直线恒过定点.
变式1．（25-26高三上·湖北·期末）已知椭圆的左､右顶点分别为，上､下顶点分别为，记四边形的内切圆为为上任意一点，过作的两条切线分别交于两点.
(1)求的标准方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3).
【详解】（1）由题意，知，
所以直线方程为，即.
内切圆的圆心（即原点）到直线的距离为，即圆的半径.
所以圆的标准方程为.
（2）设直线方程为，
由直线与圆相切，可知原点到直线距离，
整理得.
将直线的方程代入椭圆，可得
，整理得.
所以，
即，所以.
同理，故三点共线，
所以直线过定点.
（3）由（2）知三点共线，
所以.
设，代入椭圆方程得，则.
所以.
同理.
所以.
因为.
所以.
所以.
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
变式2．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的左、右顶点为，，右焦点为F，双曲线C上异于，的一点P，满足直线，的斜率之积为3．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若过F且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且，过点P的直线l与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，已知点P为线段MN的中点．
（ⅰ）证明：直线l与双曲线C仅有一个公共点；
（ⅱ）求的取值范围．
【答案】(1)2；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）由题，，设，双曲线焦距为，
则由题，
所以双曲线C的离心率为；
（2）（ⅰ）由(1)，所以双曲线，右焦点，
令，则，
所以，所以双曲线，
所以渐近线方程为，
设、、，
则，且，
由题意可知直线l斜率存在为，则，
联立，结合整理得，解得，所以.
即直线与双曲线C仅有一个公共点.
（ⅱ）由（ⅰ），
所以，又由题意，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的取值范围为．
变式3．（25-26高三上·浙江温州·月考）平面直角坐标系中，点在以为左，右焦点的双曲线上，双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若不过的直线l与交于不同的两点；
（i）设l的斜率为，若为直线斜率的等差中项，求到l的距离的取值范围；
（ii）如图，点P在双曲线C的左支上，点A在第一象限，l与的平分线m垂直，垂足为D，点O为线段AP的中点，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）因为点在C上，所以①，
又双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分，
所以渐近线与x轴的交角为，则②，
由①②解得，
故双曲线的方程为．
（2）（i）设直线的方程为，，，
联立得，
韦达定理得，由，得，
因为直线的斜率的等差中项，则，代入，
得，整理得，
当时，直线为，此时直线过焦点，不合题意，
，即，
，代入化简可得，
解得或，
又，
令可得，
，而 在上均单调递减，
所以，故．
（ii）由题意，点A与点P关于原点对称，有，
可知直线m斜率存在，设直线m斜率为k，记其方向向量，
又m为的平分线，则，
，，
，
同理， 又，，
代入，得，化简得，
又，，所以，
将代入，，得，，
，，，
设直线m的方程为，将代入得，
直线m的方程为，，由点到直线距离公式得，
直线的斜率为，设直线的方程为，将代入得，
直线的方程为，
将其与联立得，
则，，由得，
，
由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
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