2026黔东南苗族侗族自治州高三下学期模拟预测试题数学含解析

这是一份2026黔东南苗族侗族自治州高三下学期模拟预测试题数学含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则中的元素个数是（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（ ）
A．，1B．2，1C．，iD．2，i
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ）
A．8B．6C．5D．4
5．一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（ ）
A．30千米B．千米C．千米D．千米
6．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（ ）
A．120种B．150种C．210种D．300种
二、多选题
9．已知直线l：与圆C：，则（ ）
A．直线l过定点
B．当时，直线l被圆C所截的弦长为
C．当直线l与圆C相交时，
D．当直线l与圆C相切时，
10．如图，这是某校写作兴趣小组25名同学暑假的课外阅读量（单位：本）的折线统计图，则（ ）
A．这25名同学暑假的课外阅读量的众数是4本
B．这25名同学暑假的课外阅读量的中位数是5本
C．这25名同学暑假的课外阅读量的平均数是4.4本
D．这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本
11．正四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，，，过的中点E作球O的截面，则（ ）
A．直线与平面所成角的正切值为
B．平面与平面夹角的余弦值是
C．
D．截面的面积的最小值是
三、填空题
12．已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为_____.
13．已知双曲线C：（，）上任意一点P到其两条渐近线的距离之积为，则双曲线C的离心率为_________.
14．已知函数若，，则a的取值范围是_________.
四、解答题
15．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值.
16．某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立.
(1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率；
(2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望.
17．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
(3)在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆C：（）的焦距与短轴长均为.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知直线：（）与椭圆C交于A，B两点，点A在x轴上方，过点B作斜率为的直线，交椭圆C于另一个点P.
①证明：.
②求面积的最大值.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程.
(2)当时，证明：当时，.
(3)若有两个零点，求a的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】因为集合，，
所以，
则中有4个元素.
2．B
【详解】由题意可得，
则复数z的实部和虚部分别是2，1.
故选：B.
3．A
【详解】由，得，解得，则“”是“”的充分不必要条件.
4．D
【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，
根据抛物线的定义可得，则.
5．B
【详解】如图，由题意可知千米，，，
则由正弦定理知千米.
6．B
【详解】由题意可得，
令，得，此时，
所以图象的对称中心是.
7．D
【详解】设，则.
因为，所以，即，所以在上单调递减.
不等式等价于不等式，即.
因为，所以，所以.
因为在上单调递减，所以，解得.
8．C
【详解】安排1名同学去A公司实习，安排2名去B公司实习，3名去C公司实习，
则有种不同的安排方法；
安排1名同学去A公司实习，安排3名去B公司实习，2名去C公司实习，
则有种不同的安排方法；
安排2名同学去A公司实习，有种不同的安排方法.
故满足条件的不同安排方法有种.
9．ABD
【详解】由直线l：可得，则直线l过定点，则A正确.
当时，直线l：，圆心C到直线l的距离，
则直线l被圆C所截的弦长为，B正确.
当直线l与圆C相交时，圆心C到直线l的距离，解得，C错误.
当直线l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离，解得，D正确.
10．BCD
【详解】由图可得课外阅读量为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，
为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，
对于A，这25名同学暑假的课外阅读量的众数是5本，A错误；
对于B，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，中位数是5本，B正确；
对于C，平均数是本，C正确；
对于D，，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，第个数为，
所以这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本，D正确.
11．ACD
【详解】如图，作平面，则H为线段的中点，
是直线与平面所成的角.
因为，，所以，，
所以，A正确.
取棱的中点F，连接，，.
由正棱锥的性质知点H在线段上，，
则.
由正四棱锥的性质易证是平面与平面的夹角或其补角，
则平面与平面夹角的余弦值是，B错误.
因为，，所以O在正四棱锥外部，连接，
则，解得，C正确.
连接，当截面垂直于时，截面的面积最小.
因为，
所以截面的面积的最小值为，D正确.
12．
【详解】由可得，
因为为单位向量，故，
故，
故答案为：
13．或
【详解】设，因为点在双曲线上，所以.
由已知双曲线的渐近线的方程为，
所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，
所以，即，
即，解得或，
故双曲线的离心率或.
14．
【详解】当时，恒成立，此时.
当时，由，得，所以，即.
当时，由，得，即.
设（），则（），
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则.
综上，a的取值范围是.
15．(1)；
(2)6.
【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为，
由题意可得，化简得，
解得，，所以.
（2）由（1）可知.
由，得，即，
即，解得或.
因为，所以n的最小值是6.
即使成立的n的最小值为6.
16．(1)；
(2)
，
【详解】（1）由题意可得随机检测1件该零件合格的概率是，
则检测3件该零件，至少有2件合格的概率是.
（2）由题意可知X的所有可能取值为，，，10，40.
，
，
，
，
，
则X的分布列为
故.
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，
【详解】（1）因为，，所以，所以.
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为四边形是矩形，所以.
因为平面，平面，且，所以平面；
（2）由（1）可知，，两两垂直，则以A为坐标原点，
，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，所以，，，，.
设平面的法向量为，
则，令，得.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（3）假设存在满足条件的点D，且（），
使得直线与平面所成角的正弦值为.
由（2）可知，，，
则.
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以.
解得，所以，即，
则存在满足条件的点D，此时.
18．(1)；
(2)①证明见解析；②.
【详解】（1）由题意可得，解得，，
所以椭圆C的标准方程是.
（2）解法一：联立方程，解得或.
因为点A在x轴上方，所以，，
则直线的方程为，即.
又由，消去y化简得，
则，所以，
故点P的坐标为.如图：
①证明：因为，，
所以直线的斜率，
所以，故.
②因为，，
所以.
因为，，
所以
.
因为，所以的面积.
设，由，得，当且仅当时，等号成立，
所以.
因为对勾函数在上单调递增，所以，
故，当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
解法二：①设，则.如图：
联立方程解得，所以.
又因A，P在椭圆上，所以，两式相减，，
又因为，所以，且，
所以，即，故.
②设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，
，
因为是直角三角形，，，
所以
，
设，由，得，当且仅当时，等号成立，
所以.
因为对勾函数在上单调递增，所以，
故，当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
19．(1)
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）当时，，则，
从而，，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）设，则.
显然在上恒成立，所以在上单调递减.
又，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
故，即当时，.
（3）由题意可得.
设，则.
①若，显然，则在上单调递增，即在上单调递增.
又，所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，所以只有一个零点，故不符合题意.
②若，则当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
又，所以，又，
所以存在唯一的，使得.
当时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减.
又，所以，又当时，，
所以恰有两个零点，则符合题意.
③若，则由（2）知在R上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以只有一个零点，则不符合题意.
④若，则当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
又，所以，又，
所以存在唯一的，使得.
当时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减.
又，所以，又当时，，
所以恰有两个零点，则符合题意.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
B
B
D
C
ABD
BCD
题号
11









答案
ACD