贵州省黔东南苗族侗族自治州2024_2025学年高二数学下学期期中测试含解析

这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州2024_2025学年高二数学下学期期中测试含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．随机变量的分布列是
则（ ）
A．B．C．D．
2．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ）
A．12种B．7种C．4种D．3种
3．若随机变量X满足，则（ ）
A．3B．6C．9D．36
4．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知随机事件A，B满足，，则（ ）
A．B．C．D．
6．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
7．除以80的余数为（ ）
A．3B．6C．9D．18
8．一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有（ ）
A．8种B．10种C．12种D．16种
二、多选题
9．已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．的公差B．
C．D．
10．若函数有极值，则a的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
11．从0，1，2，3，4，5中任选4个不同的数字组成一个四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．这样的四位数有300个
B．若这个四位数是偶数，则这样的四位数有156个
C．若0，1被选中，且0，1不相邻，则这样的四位数有72个
D．若这个四位数的个位、十位和百位上的数字之和为偶数，则这样的四位数有144个
三、填空题
12．已知，，且事件与相互独立，则 .
13．若，则 ， .（结果用数字表达）
14．某校举办奥运知识竞赛，比赛的题目包括“奥运会历史”“中国历届奥运会成绩”两个板块，每个板块4个题目，每位参加比赛的同学从两个板块中各随机抽取2题回答，累计至少答对3题者获得奖品一份.已知甲同学能正确回答“奥运会历史”板块中的2题，能正确回答“中国历届奥运会成绩”板块中每题的概率均为，且回答每题相互独立，则甲同学获得一份奖品的概率为 .
四、解答题
15．某俱乐部安排3名女生和4名男生组成一支队伍参加羽毛球团体赛，每人只参加一个项目.
(1)若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，求不同的安排方法种数；
(2)若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数；
(3)若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数.
16．将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
17．已知为等差数列，是公比为3的等比数列，且，.
(1)证明：.
(2)若，求数列的前n项和.
18．数据显示，中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，分组，得到如下的频率分布直方图.

(1)估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数.
(2)为了进一步了解用户在工作中使用AI大模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼.
①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率；
②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为X，求X的分布列和期望.
19．已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)讨论的单调性；
(3)若在上有个零点，求的取值范围.
答案
1．C
根据概率之和为1即可求解.
【详解】由表可得，故,
故选：C
2．B
根据分类加法计数原理求得正确答案.
【详解】依题意，不同的选法为.
故选：B
3．D
根据方差的性质即可求解.
【详解】,
故选：D
4．D
对函数求导，根据导数几何意义及点斜式即可求解直线方程.
【详解】，故，，
故切线方程为，即，
故选：D
5．D
根据全概率和条件概率的计算公式即可求解.
【详解】,
故.
故选：D
6．A
求出展开式通项即可求解.
【详解】展开式通项为，
因为要求的指数为，
所以，所以，
所以系数为.
故选：A.
7．C
根据二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】,由于且能被80整除，
所以除以80的余数为9，
故选：C
8．A
所有路线共有，去掉经过再到达的，即可求解.
【详解】移动6次到达,则需要向右移动3次，向上移动3次，
故总的方法有种，
若经过再到达，需要先从原点到，再从到，
此时共有种，
故蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法共有种，
故选：A
9．AD
根据等差数列前项和结合等差数列的性质由，可得，即可结合选项逐一求解.
【详解】由，由于，故，因此，A正确，
，B错误，
，C错误，
由于，故，故是中最大的先，故，D正确，
故选：AD
10．AD
根据有两个不相等实数根，即可根据判别式求解.
【详解】,
若有极值，则有两个不相等实数根，
则，则，
故AD符合，BC不符合，
故选：AD
11．ABD
根据排列组合，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，符合条件的四位数有个，A正确，
对于B，符合条件的奇数有,故偶数有个，B正确，
对于C，先从剩下4个数字选择两个数字，共有，若1在千位，则剩余数字的排列有种，
若1不在千位，则有，故总的四位数有，C错误，
对于D，若千位为1，3，5时，且个位、十位和百位上的数字均为偶数，此时有种，
若千位为1，3，5时，且个位、十位和百位上的数字有一个位置为偶数，另外两个位置的数字为奇数，此时有种，
若千位为2或4时，个位、十位和百位上的数字有一个位置为偶数，另外两个位置的数字为奇数，
此时有种，故符合条件的四位数共有，D正确，
故选：ABD
12．/
根据相互独立事件的概率公式可得，即可利用并事件的概率性质求解.
【详解】由于事件与相互独立，故，
,
故答案为：0.72
13． 1 2047
利用赋值法即可求解.
【详解】令，则，
再令，得，
故，
故答案为：1，2047
14．
根据相互独立事件的概率公式,分类即可求解.
【详解】记为答对的题目数，则
；
，
故获得奖品的概率为，
故答案为：
15．(1)720
(2)36
(3)630
（1）根据相邻问题捆绑法即可求解，
（2）（3）根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解.
【详解】（1）将3个女生看作一个整体与另外4名男生全排列，则有种方法，
（2）第一步：从4名男生中选2个人双打有，第二步：从3名女生中选择2个人双打有，第三步：从剩下的2男中选择1个与剩下的1名女生组成混双有种，故总的方法有，
（3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，则总的安排方法有
16．(1)见解析
(2)
（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列；
（2）由（1）的分布列可得概率.
【详解】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：3，4，5，6，7，8，
所以，，，，
所以分布列为
（2）由（1）得.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）根据等差等比数列基本量的计算即可求证，
（2）根据错位相减法求和即可得解.
【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，则，故，
（2）由可得，故，
，故，所以，
故，
所以，
故，
两式相减可得
故，
所以
18．(1).
(2)①. ②.
（1）先计算各组累积频率，确定第60百分位所在位置，利用百分位数的计算公式，代值计算即可求出中国AI大模型用户年龄的第60百分位数．
（2）先计算用户年龄在每组数据的人数， 在计算样本个数：各层抽取个数＝抽取比例各层个数，即可分别求出抽取的7名用户中年龄在内的人数．①利用古典概型的概率公式，可求出年龄在内的用户都没有获得幸运大礼的概率，进而可求出至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率；②利用超几何分布的概率公式：，（其中：N表示总体容量，M表示总体中成功事件的个数，表示样本容量，表示样本中成功事件的个数），可分别求出X 所有可能取值的概率，即可得到X的分布列及期望.
【详解】（1）计算各组累计频率：，
，
，，
所以两组频率之和是，
两组频率之和是，
所以该组数据的第60百分位数一定在之间，
所以该组数据的第60百分位数为，
所以中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40.
（2）计算用户年龄在每组数据的人数：
（人），（人），
（人），（人），
（人），所以年龄在内的用户共（人），
即抽层比例，所以选取的7名用户中，年龄在内的人数为（人），
年龄在内的人数为（人），
公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼.
所以年龄在内的用户没有获得幸运大礼的概率为,
所以至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为,
②根据题意可知X的所有可能取的值为，，，，则，
，，，
所以的分布列为：
.
19．(1)
(2)答案见解析
(3).
（1）由在上单调递增，可得对恒成立，转化为对恒成立，即可直接求出的取值范围；
（2）利用导数直接分类讨论，分析导函数的正负，即可得到含参函数的单调性；
（3）由（2）中单调性，首先排除，故，要使得在上有个零点，需满足且，构造函数，结合导数求出恒成立，所以只需满足，求出结果即可.
【详解】（1）依题意得对恒成立，
即对恒成立，
所以，即的取值范围是.
（2）由题知，的定义域为，
又，
当时，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，
则在上至多有个零点，则不符合题意.
当时，要使得在上有个零点，
则，即，
且，
设函数，
则，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以.
由，得.1
2
3
P
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
D
D
A
C
A
AD
AD
题号
11









答案
ABD









3
4
5
6
7
8
0
1
2
3