统计与概率：条件概率、全概率公式专项训练-2026届高考数学二轮复习

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A．与互为对立事件B．与互斥
C．D．
【答案】C
【详解】由条件得两人作答总共有种等可能的选法，设正确选项为A.
则事件：两人都选对（即都选A）共有 1 种选法，故
事件：两人都选错（即都从B、C、D中选）共有种选法，故
事件：至少一人选对等价于总的方法数减去两人都选错的方法数，即共有种选法，故.
对于A：因“至少一人对、一人错”的情况既不在也不在中，即，故与互为对立事件不成立，故A错误；
对于B：由条件得是的子集，即，即与不互斥，故B错误；
对于C：，即成立，故C正确；
对于D：由条件概率公式得：，故D错误.
故答案为：C.
例2．（25-26高三上·河南周口·期末）某班级元旦联欢会进行抽奖游戏，游戏规则如下：每人连续投掷一枚质地均匀的骰子3次，若3次骰子朝上的点数都是3，则获得一等奖.某同学投掷3次骰子，若朝上的点数之和为9，则该同学获得一等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】记事件为投掷3次骰子，朝上的点数都是3，事件为投掷3次骰子，朝上的点数之和为9．
因为投掷3次骰子，朝上的点数之和为9的情况包括，
所以，
则.
故选：D.
例3．（2026·湖南常德·一模·多选）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】由，可得；因此C正确；
又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以；
根据全概率公式可得,
解得，因此A错误；
又，
解得，因此B错误；
易知，
所以，即D正确.
故选：CD
例4．（25-26高三上·山东滨州·期末·多选）某市场供应三种品牌的工具刀，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：
记，，表示买到的工具刀的品牌分别为甲、乙、丙，表示买到的工具刀是优质品．在该市场中随机买一种品牌的工具刀，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】市场占有率：,,;
优质率（条件概率）：,,;
选项A：因为、互斥，所以，则选项A正确；
选项B：表示“买到乙品牌且为优质品”的概率，由乘法公式：
，则选项B错误；
选项C：由全概率公式：
，则选项C正确；
选项D：由贝叶斯公式：，则选项D错误.
故选：AC
例5．（25-26高二上·江西南昌·期末）从装有5个红球和4个蓝球（球的大小和质地均相同）的盒子中随机取2个球，则在取到的2个球颜色相同的条件下，所取球都是红球的概率为 ．
【答案】/
【详解】记事件为“取到的2个球都是红球”，事件为“取到的2个球颜色相同”．
.
故答案为：.
例6．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为 .
【答案】
【详解】设事件为“取出的小球来自号箱”，事件为“取出的球为红球”，
则构成了总的样本空间，且，，两两互斥，
由题意有，，，
，，，
则由全概率公式得，
则在取出的球为红球的条件下，
该球取自3号箱的概率为.
故答案为：
例7．（2026·贵州贵阳·模拟预测）一盒子中有大小与质地均相同的6个小球，其中白球4个，黑球2个.从中不放回地随机取3次，每次取1个球.
(1)记取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和期望；
(2)已知实验完成后取到的黑球个数为2，求第2次取到白球的概率.
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)
【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为0，1，2，
；
；
；
的分布列为：
∴数学期望.
（2）记事件“取到的黑球个数为2”，事件“第2次抽到白球”，
则事件“第1次和第3次抽到黑球，第2次抽到白球”；
因为.
所以，
即在抽取到2个黑球与1个白球的前提下，第2次抽到白球的概率为.
例8．（25-26高三上·山西临汾·期末）某公司使用一个由1台主服务器和3台备用服务器组成的系统运行关键业务.每台服务器正常工作的概率均为0.9（实际生活中服务器可靠度通常在0.9以上，为便于计算我们在此取0.9），且各服务器运行状态相互独立.该系统正常工作必须同时满足以下两个条件：
①主服务器正常工作；
②至少2台备用服务器正常工作.
否则判定为故障.
(1)记为备用服务器正常工作的台数，求的分布列及期望；
(2)求系统正常工作的概率；
(3)若已知系统发生故障，求此时主服务器正常工作的概率.（结果精确到0.1）
【答案】(1)分布列见解析，2.7
(2)
(3)
【详解】（1）由题可知的可能取值为0，1，2，3，则，
所以，
，
，
，
所以的分布列：
所以.
（2）设事件“系统正常工作”，
则
.
（3）设“系统发生故障”，“主服务器正常工作”，
则，
，
所以.
变式1．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种.
事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种,
因此.
事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种；
乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件，
因此.
所以.
故选：C.
变式2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在某校新高考物理方向的学生中，有的同学选了生物学科，的同学选了地理学科，的同学选了生物学科或地理学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了地理学科，则该同学选了生物学科的概率为（ ）
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4
【答案】A
【详解】记：该同学选了地理学科，：该同学选了生物学科，
由题意得,
则．
则．
故选：A．
变式3．（25-26高二上·江西宜春·期末·多选）甲口袋中有3个红球、2个白球和5个黑球、乙口袋中有3个红球、3个白球和4个黑球先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以、和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．事件与事件相互独立D．，，是两两互斥的事件
【答案】ABD
【详解】A：乙口袋取出的球是红球的事件有两种情况：
一种情况从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋的不是红球，
另一种情况从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋的是红球，
所以，因此本选项说法正确；
B：，因此本选项说法正确；
C：因为，，
所以，所以事件与事件不相互独立，因此本选项说法不正确；
D：因为，，是两两事件不能同时发生，
所以，，是两两互斥的事件，因此本选项说法正确.
故选：ABD
变式4．（25-26高二上·江西宜春·期末·多选）已知随机事件，满足，，，则（ ）
A．与相互独立B．
C．D．
【答案】AC
【详解】由题意知，又，
可得，
即，解得，
满足，所以与相互独立，A正确.
易知,B错误.
又因为,C正确.
根据可得
所以，D错误，
故选：AC.
变式5．（25-26高三上·河北承德·期末）甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，采用5局3胜制（先胜3局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ．
【答案】
【详解】由题意可得，在已知甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的情况有
①甲以3：0获胜，概率为；
②甲以3：1获胜，概率为；
③甲以3：2获胜，概率为.
所以甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的概率为.
甲获胜的总概率为.
所以条件概率为.
故答案为：.
变式6．（25-26高三上·云南德宏·期末）小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为.规定时，比赛结束且总积分多者获胜.若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以获胜的概率为 .
【答案】
【详解】若，，且在不超过5局比赛结束的条件下，有两种情况，
第一种小明或小红连胜3局，概率为.
第二种小明或小红以4:1获胜，.
其中小明以4:1获胜的概率为.
所以在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为
.
故答案为：.
变式7．（25-26高三上·河北承德·期末）“猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行．
(1)双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为．
（i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率；
（ii）求第次答题的是选手甲的概率．
(2)单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：．
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)证明见解析
【详解】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件，
由题知，，
由全概率公式知，，
，
已知第2次答题的是选手乙，则第1次答题的是选手甲的概率为．
（ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件，
记，
由题知，当时，
，
由全概率公式知，
，
，
，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
，
则，即第次答题是选手甲的概率为．
（2）的所有可能取值为，
所以的分布列为
故①，
②，
①-②，得
所以．
变式8．（25-26高二上·河南驻马店·期末）某校组织趣味知识竞赛，共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响.设甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，.
(1)甲、乙同时回答1道题时，分别求乙得10分、0分和分的概率；
(2)求比赛结束后乙获胜的概率；
(3)求在乙获胜的条件下，乙恰好得10分的概率.
【答案】(1); ; ;
(2)
(3)
【详解】（1）记回答1道题时，乙的得分为，
则，
，
，
即乙得 10 分、0 分、分的概率分别为，， .
（2）根据条件，比赛结束后乙获胜时，乙的总得分可能为30分，20分，10分，对应的事件分别记为，，，乙获胜记为事件，则
因此.
（3）由条件得：
考点二 全概率公式
例1．（25-26高二上·山东日照·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
．
故选：D．
例2．（25-26高二上·河南驻马店·期末）某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】记事件表示“随机抽取一株是一等种苗”，
事件表示“抽取的种苗来自甲地块”，
事件表示“抽取的种苗来自乙地块”，
事件表示“抽取的种苗来自丙地块”，
则，，，
，，，
由全概率公式
，
因此从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为.
故选：D
例3．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率 ；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率 ．
【答案】
【详解】从五年级科技课外兴趣小组的12人中随机挑选2个学生，记“其中一个是男生”为事件，“另一个也是男生”为事件，
由题意知12人中有7男5女，
则.
先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两名同学参赛，记“从甲班中选两个同学”为事件，“从乙班中选两个同学”为事件，“两个都是男生”为事件，
因为等可能地从两个班中随机选择一个班，所以，
又，
所以
.
故答案为：；.
例4．（25-26高三上·安徽·期末）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知，，三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的20%，35%，45%，不合格率分别为0.01，0.015，0.02．现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为 ；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是厂生产的概率为 ．
【答案】 /
【详解】记事件：任取一瓶芡实酒，该瓶酒不合格.
：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由厂生产，，；
：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由厂生产，，；
：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由厂生产，，.
则.
所以.
故答案为：①；②.
例5．（25-26高二上·河南南阳·期末）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．
(1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率；
(2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大．
【答案】(1)
(2)该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大
【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”，
则，，
可得，
所以取到红球的概率为.
（2）由条件概率知：，
，
，
因为，故该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大．
例6．（25-26高三上·湖北武汉·期末）甲、乙两人用一副卡牌玩“抢宝藏”游戏，卡牌包含若干对图案相同的普通牌和一张不能成对的宝藏牌，在分配完卡牌，双方丢弃手中所有已经成对的普通牌后，恰好甲手中有张没有成对的普通牌，乙手中有张没有成对的普通牌和1张宝藏牌，现按以下规则游戏：
①甲乙轮流抽对方一张牌，甲先抽（甲乙抽对方牌均计入抽牌次数）；
②若抽取的牌是宝藏牌则将其保留在手中，否则将手中与之成对的一张牌一并丢弃；
③直到有人手中没有牌时游戏结束，手中只剩宝藏牌的玩家获胜；
(1)若，经过三次抽牌后，求宝藏牌在甲手中的概率；
(2)设游戏开始时甲手中有张牌，游戏结束时乙获胜的概率为，由全概率公式得，即，类似地，求，；
(3)记为这次游戏结束需要抽牌的次数，期望为，求证：
【答案】(1)；
(2)，；
(3)证明见解析.
【详解】（1）记第次由甲抽到宝藏牌为事件，
第次由乙抽到宝藏牌为事件，
则.
（2）设甲手中有张牌时，乙获胜的概率为，按照甲第一次抽卡牌的情况分两类，
第一类，若甲第一次抽到宝藏牌，此时甲有张普通牌和1张宝藏牌，
乙有张普通牌，再轮到乙抽，由对称性，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；
第二类，若甲第一次抽到普通牌，此时甲手中丢掉成对卡牌后剩张普通牌，
乙有张普通牌和1张宝藏牌，再轮到乙抽，一定抽到的是普通牌，
丢掉成对卡牌后还有张普通牌和1张宝藏牌，甲有张普通牌，此时乙获胜的概率为，
故，化简得，
当时，代入得，
当时，代入得.
（3）按照甲第一次抽卡牌的情况分两类，
第一类，若甲第一次抽到宝藏牌，此时甲有张普通牌和1张宝藏牌，乙有张普通牌，
再轮到乙抽，由对称性，此时游戏结束抽牌的平均次数还要次，一共次，
第二类，若甲第一次抽到普通牌，此时甲手中丢掉成对卡牌后剩张普通牌，
乙有张普通牌和1张宝藏牌，再轮到乙抽，一定抽到的是普通牌，
丢掉成对卡牌后还有张普通牌和1张宝藏牌，此时游戏结束抽牌的平均次数还需为，一共次，
，
故，
①若为偶数，设，
首先设，则，
则在上单调递减，则，
则不等式在上恒成立，代入，
有，
故，有；
②若为奇数，设，
当时，时，，
则在时，时恒成立，
则，（当时），
故，
，
综上所述，.
例7．（2026·陕西安康·一模）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为.
(1)求；
(2)证明：是等比数列；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）初始时甲､乙两盒均装有1个白球和1个黑球，第一次操作时，从两盒中各取一球交换，共有4种等可能情况：
甲取白､乙取白：交换后甲盒白球数为1；
甲取白､乙取黑：交换后甲盒白球数为0；
甲取黑､乙取白：交换后甲盒白球数为2；
甲取黑､乙取黑：交换后甲盒白球数为1.
故.
（2）记，则，
由全概率公式得：
①
所以②，
③
由①和③知，结合初始值，
可得对任意有，代入中，
得：，④
将④代入②式得：
整理得，
即：，又，
所以数列是公比为的等比数列.
变式1．（25-26高二上·江苏常州·期末）秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】分别记事件、、为选取的人来自、、地区，记事件为选取的人患了流感，
则，，，
，，，
从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为
，
故选：A.
变式2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令事件A为“从甲箱中取出一个球是红球”，
事件B为“从甲箱中取出一个球是白球”，
事件C为“从甲箱中取出一个球是黑球”，
事件D为“从乙箱中取出一个球是红球”，
则，
所以
，
故选；B
变式3．（25-26高三上·吉林四平·期末）已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同.某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色不相同的概率为 .
【答案】
【详解】乙盒取2球有三种情形：
取2红：概率为，此时甲盒有5红2白，从甲盒取2不同色球的概率为；
取2白：概率为，此时甲盒有3红4白，从甲盒取2不同色球的概率为；
取1红1白：概率为，此时甲盒有4红3白，从甲盒取2不同色球的概率为.
所求概率为.
.故答案为：.
变式4．（25-26高三上·天津和平·期末）已知某盒中装有6个大小、质地一致的乒乓球，其中有4个新球（从未被使用过）2个旧球，第一次比赛时从此盒中任取2个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取2个球使用.
（i）第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率为 ；
（ii）在第一次比赛时取出2个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率为 .
【答案】 /
【详解】（i）第一次取到0个新球的概率为，
第一次取到1个新球的概率为，
第一次取到2个新球的概率为，
所以第二次所取出的球都是新球的概率；
（ii）设事件“第一次比赛时取出2个旧球”，则，
设事件“第二次比赛时取出的2个球都是新球”，
则．
故答案为：
变式5．（25-26高三上·湖北黄石·期末）一批产品共10件，其中有两件不合格品，其他都是合格品.将这批产品随机分装到两只箱中，每箱5件，收货方不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：如果抽检的第一件产品不合格，则拒收整批产品；如果抽检的第一件产品合格，则从另一箱中再抽检一件，若合格，则接收整批产品，若不合格，则拒收整批产品.
(1)求两件不合格品包装在同一箱中的概率；
(2)求这批产品被拒收的概率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方法一：10件产品分给甲箱5件､乙箱5件的方法有种，
其中两件不合格品都在甲箱中的分法有种，
两件不合格品都在乙箱中的分法也有种，
所以两件不合格品在同一箱中的概率；
方法二：把8件合格品看成红球，2件不合格品看成黑球，
将10个球排成一排，左边的5个球为一侧，右边的5个球为另一侧.
第一个黑球放入（不是左侧就是右侧），第二只黑球可以放在其它9个位置上，
两只黑球在同一侧即第二只黑球放在第一只黑球的那一侧的其它4个位置上，
所以两件不合格品在同一箱中的概率；
（2）两件不合格品在同一箱中的事件为，则不合格品分装在不同箱中的事件为，
这批产品被拒收的事件为，
则，，.
表示两件不合格品放在同一箱的条件下经过抽检后被拒收的概率，
在第一次抽检时有的概率从两件次品在一起的箱中抽检，也有的概率从没有次品的箱中抽检，
，同理，
.
变式6．（25-26高三上·河南·期末）某学校有，两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第天选择在餐厅用餐的概率为（），已知王同学第1天选择的是在餐厅用餐．
(1)求；
(2)求（）；
(3)若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设为王同学前5天在餐厅用餐的次数，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由题知，，，
（2）由题知，，
可得，
又，则是首项为，公比为的等比数列，
则，
则
（3）由列举可知，王同学这天的就餐情况可能是；
，
以上各个情况的概率为，
类似的，，，，，
，，，
设王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐为事件，包含了以上的种情况，
，
可能的取值是，
，，，
分布列为：
变式7．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）2014年，中华人民共和国国务院发布《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，启动了高考恢复以来最全面、最深刻的招生考试改革.依据《实施意见》精神，结合新时代高校选才需求和修订后的高中课标，新高考外语科目推进考试内容改革，2017年起在部分新高考省份试点新的试卷结构，其中包括完形填空这一题型.针对这一题型，某高中的李老师提出了经验：“对于完形填空中的一道题，如果你不确定，那么你就不要对第一次选择的答案进行改动，因为根据经验表明，第一次选择的答案正确率为60%．”请根据此话中的数据回答下列题目．
(1)现已知有一篇完形填空有道题，小朱在作答完形填空时，有的概率会做，在会做的条件下有的概率因混淆词义做错；有的概率不会做．已知小朱不会放弃任何一次作答机会，那么他“根据经验”进行作答．
①若，，求小朱做对一道完形填空小题的概率；
②在①的条件下，已知，若已知小朱每道完形填空的作答情况不受前一道题目作答情况的影响（即相互独立），设小朱答对的题目数为，求的分布列与期望；
(2)现已知有一篇完形填空有道题，小佳同学在做完形填空时，第道题的正确与否与第道题是否答对有关．若第道题没有把握（看作答错），则第道题正确的概率为；若第道题有把握答对（看作答对），则第道题正确的概率为．在（1）①的条件下，设第道题正确的概率为，求．
【答案】(1)①；②分布列见解析，2.1
(2)
【详解】（1）①设小朱会做某题为事件A，混淆词义出错为事件B，蒙对一道题为事件D．
其中，，，
根据全概率公式，有
，
②小朱答对的题目数服从二项分布，则
分布列如下：
（道）
（2）根据全概率公式，有
化简得：
设新数列，满足
解得：
数列是以为首项、为公比的等比数列．
所以考点目录
条件概率
全概率公式
品牌
甲
乙
丙
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
90%
80%
70%
0
1
2
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729
1
2
3
．．．
．．．
0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343