河北省石家庄市辛集市高二上学期1月期末数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省石家庄市辛集市高二上学期1月期末数学试题（解析版）-A4，共14页。
1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分.
2、答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡相应的位置.
3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，向量，，，且，，则等于（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解.
【详解】由题可得，
所以向量，，所以，
所以.
故选：B.
2. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式.
【详解】连接，如下图所示：

因为为的中点，则，
因为点在上，且，则，
因为，
故选：B.
3. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将曲线方程化为，利用直线与曲线位置关系，结合图形即可求解.
【详解】依题意，曲线的方程可化为：它表示以原点为圆心，2为半径的右半圆，如图：
直线过定点，
直线与相切时，可得，解得，
直线过点时，，
根据图形，结合对称性可得，直线与曲线有两个交点时，
实数的取值范围是.
故选：D.
4. 直线l：（参数，）的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】直线，
因为，所以，设直线的倾斜角为，
则直线的斜率，
因为，所以，或.
故选：B.
5. 点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题可知，记，
，，
中，由余弦定理得，又，
，
.
故选：B.
6. 已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案；
【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为.
圆心到直线l距离为，
因此圆上点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是.
故选：D
7. 已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ）
A. 不存在B. 8C. 7D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案..
【详解】依题意，下焦点，设上焦点，
双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，
所以延长时，与双曲线没有交点，，
设延长，交双曲线上支于，
依题意，是双曲线上支上的动点，
根据双曲线的定义可知，
，当在点时等号成立，则，
所以，所以，
所以，所以的最大值不存在.
故选：A
8. 已知抛物线的焦点为F，直线与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D.若，则下列说法不正确的是（ ）
A. A，B，F三点共线B. l的斜率为
C. D. 圆E的半径是4
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接DE，过A作准线的垂线，垂足为S，过B作准线的垂线，垂足为T，连接AF，FB，利用抛物线的几何性质可得A，B，F三点共线，结合直角三角形DAB边的关系可计算得到直线的倾斜角，从而利用直线方程和抛物线方程联立求出交点的坐标后可求，故可判断各项的正误.
【详解】如图，连接DE，则DE为圆E的半径，
对于A，过A作准线的垂线，垂足为S，过B作准线的垂线，垂足为T，
连接AF，FB，则，
故A，B，F三点共线，故A正确；
对于B，因为AB为直径，故，
而，故，而为等腰三角形，
故，故，
所以即直线l的倾斜角为，故其斜率为，故B错误；.
对于C，设，由可得，
所以，故，
故，故C正确；
对于D，由得，
所以圆E的直径是8即其半径为4，故D正确．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 圆和圆的交点为、，则有（ ）
A. 公共弦所在的直线方程为
B. 线段的中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】将两圆作差，可得出公共弦所在直线的方程，可判断A选项；分析可知，垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；利用几何法求出公共弦的长，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项.
【详解】圆的圆心为原点，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
对于A选项，将两圆方程作差可得，
所以，公共弦所在直线方程为，A对；
对于B选项，因为，，，
所以，，则，
又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段，
，所以，直线的方程为，即，
故线段的中垂线方程为，B对；
对于C选项，圆心到直线的距离为，
所以，，C错；
对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对.
故选：ABD.
10. 如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 直线与平面所成的角的余弦值为
C. 点A到平面的距离为
D. 平面与平面所成的角的大小为
【答案】AC
【解析】
【分析】以为坐标原点建立空间坐标系所示，利用异面直线的向量求法可判断A正确，由线面角的向量表示可判断B错误，再根据点到面的距离的向量求法可得C正确；再由面面角的向量求法可得D错误.
【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，，
设，
由E为的中点可得，
解得，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示：
，，，，，
则，，，，
对于A，易知，
所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确；
对于B，设平面的法向量为，，即，
取，，
设与平面所成的角为，则，选项B不正确；
对于C，点A到平面的距离为，选项C正确.
对于D，设平面的法向量为，，
则，即，取，
，，
所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确.
故选：AC.
11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线是的一条渐近线
B. 若，则的渐近线方程为
C. 若，则的离心率为
D. 若，则的离心率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件求直线的斜率，再由确定直线斜率判断A；首先求出点，并设，根据给定条件，得到双曲线参数的齐次方程判断B、C、D.
【详解】根据题意，设直线，
又直线与圆相切于点，所以，
又，则，而，得，
所以直线是的一条渐近线，A对；
联立，得，联立，得，
若且，则，即，
所以，可得，
即渐近线方程为，B错；
若且，故，即，
化简得，则的离心率为，C对；
若，则，设，故，
得，故，
代入，得，所以，则离心率为，D对；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于B、C、D，根据给定条件得到关于双曲线参数的齐次方程为关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案.
【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量，
，
.
故答案为：
13. 已知为坐标原点，椭圆：（）的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】借助等边三角形的性质可得点的坐标，由知，，最后将点的坐标代入椭圆方程，结合，计算即可得解.
【详解】如图，假设在第一象限，由题意，，
因为为等边三角形，，
所以，，
即，代入椭圆方程得，，
即，
又因为，
所以，
即，
所以，
即，
解得，，或，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以离心率为.
故答案为：.
14. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
【详解】由题可知，的重心为，
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，
则方程为，即，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为，
则方程为，即，
联立方程，解得，即的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，
故的欧拉线方程为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，已知，
（1）求边的高线的方程;
（2）求边的中线的方程;
（3）求的平分线的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）因直线即轴，得到边上的高线斜率不存在，又经过点,即得；
（2）先求边的中点，再由两点式即可求得；
（3）的平分线的斜率为，由两直线的夹角公式列出方程，求得的值，检验后由点斜式即得.
【小问1详解】
依题意，直线即轴，故边上的高线必垂直于轴，且经过点，
故边的高线的方程为；
【小问2详解】
边的中点为,因边的中线经过点
故中线方程：，即；
【小问3详解】
如图，设的平分线的斜率为，而边和的斜率分别为,
则由，解得或.
当时，由图知，显然不符合题意；
当时，因，则的平分线的方程为，即.
16. 已知直线，圆
（1）求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交；
（2）已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【解析】
【分析】（1）只需证明直线过定点，且该定点在圆内部即可；
（2）设圆心到的距离分别为，则，由，，可得的表达式，结合基本不等式可整理出，从而可求出面积的最大值.
【小问1详解】
直线即，
令，解得，所以直线过定点，
而，所以点在圆内部，
故无论a取何值，直线l均与圆O相交；
【小问2详解】
设圆心到的距离分别为，则．
则，，所以四边形的面积
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以四边形的面积最大为.
17. 如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）线段上是否存在点，使得三棱锥体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明，；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入点到平面的距离， 求解；
（3）根据，求得点的坐标，再根据（2）的结果求点到平面的距离，并根据向量的数量积公式，以及面积公式，求，结合体积公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为是正三角形，是的中点，

所以.
又因为平面平面，
平面，
所以面；
【小问2详解】
因为两两互相垂直.以点为原点，方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
设平面的法向量为，
由，得
，
点到平面的距离
【小问3详解】
设
所以点到面的距离为定值
.
，
解得：或.
18. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为.
（1）求这两条曲线的方程；
（2）求曲线以点为中点的弦所在直线的方程；
（3）若为两条曲线的交点，求的余弦值.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得、的值，由此可得出两曲线的方程；
（2）利用点差法可求得曲线以点为中点的弦所在直线的方程，然后再将所求直线方程与曲线的方程联立，计算即可结论；
（3）设，，利用椭圆和双曲线的定义可求出、的值，再利用余弦定理可求得的余弦值.
【小问1详解】
设椭圆方程为，双曲线方程为，.
则，解得，，则，，
因此，椭圆方程为，双曲线方程为.
【小问2详解】
曲线以点为中点的弦的两端点分别为、，
则，，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
因为，这两个等式作差可得，
所以，，可得，
所以，直线的方程为，即，
检验：联立可得，则，合乎题意，
因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为.
【小问3详解】
不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点，
设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，
所以，.
19. 已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为.
（1）求拋物线的标准方程；
（2）设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，联立，解出，代入抛物线方程，解出，即可得到拋物线的标准方程；
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消元得，由韦达定理，可得即，同理，可得，进而得，即可求出直线的斜率.
【小问1详解】
设，
则，解得，即，
将代入抛物线，解得，
拋物线的标准方程为：.
【小问2详解】
由题意直线的斜率存在、非零且互为相反数，设的斜率为，
则直线的方程为，
则直线的方程为，
设点，
联立，得，
由韦达定理，，
即，同理，
故，
所以，
故，
综上所述，直线的斜率为.