河北省高一上学期1月期末数学试题（解析版）-A4

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化简集合，再根据集合交集的概念求解即可.
【详解】由解得，由解得，
所以，，
所以,
故选：B
2. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理判断即可.
【详解】因为均在上单调递增，则在上单调递增，
由已知，，，
，，
，
由零点存在性定理可得函数的零点所在区间是.
故选：C.
3. “”是“是幂函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据是幂函数求出的值，再根据充分性、必要性的概念求解即可.
【详解】若是幂函数，则，得，
所以“”是“是幂函数”的充要条件，
故选：B
4. 小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形面积公式即可求解．
【详解】由已知可得扇形的圆心角，扇形半径，
则扇形面积
故选：A.
5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】，，
所以，，的大小关系是.
故选：A
6. 已知函数（，且）的图象过定点，且角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的性质先求出定点，然后根据任意角的三角函数的定义求解.
【详解】令，得，，则点的坐标为，
根据三角函数的定义，所以．
故选：B
7. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的单调递增区间.
【详解】由，得，即，解得.
所以函数的定义域为，
又的对称轴为，开口向下，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
故由复合函数的单调性可得的单调递增区间是.
故选：B.
8. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（ ）（参考数据：）
A. 1.921B. 1.301C. 1.875D. 1.079
【答案】A
【解析】
【分析】根据定义及对数运算法则直接计算即可.
【详解】由题意可得
.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式的性质和函数单调性逐项判断即可.
【详解】由，，得，A正确；
当时，，B错误．
因为是增函数，，所以，C正确；
因为是减函数，，所以，D错误；
故选：AC
10. 对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】将函数是否为“不动点”函数，转化为方程是否有解，根据方程判别式的符号判断AB；根据是方程的一个解判断C；分两种情况讨论分别判断方程是否有解即可判断D.
【详解】令，即.
因为，所以无解，
则不是“不动点”函数，A不正确；
令，即，即.
因为，所以有两个不同的非零实根，
则是“不动点”函数，B正确；
令，即，
易知是方程的一个解，
则是“不动点”函数，C正确；
当时，令，即，解得或，
则方程在上无解；当时，，
则方程在上无解.故不“不动点”函数，D 不正确；
故选：BC.
11. 若函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点对称
D. 若方程在上有2个不同的实数解，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知函数化简得，根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可.
【详解】因为，
的值域为，故A正确．
由，得，所以在上先增后减，故B错误．
因为，所以的图象关于点对称，故C正确．
由，得，
由，得，
由正弦函数的图象可得，解得，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 与角终边相同的最小正角是________．（用弧度表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据终边相同的角的概念计算即可.
【详解】与角终边相同的最小正角是，即，
故答案为：
13. 函数的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再判断出函数的单调性，根据单调性可得函数的最小值.
【详解】由得，则定义域为．
因为在上都是增函数，
所以在上是增函数，
所以的最小值为．
故答案为：1.
14. 如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为__________时，总运费最低．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知列出总运费，再应用判别式法计算求解即可.
【详解】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为．
由题意得，则总运费，
要使总费用最低，只需最小即可．
设，则，
得，则，得．
当时，总费用最低，则，得，
所以当地到地的距离为时，总运费最低．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数和对数的运算法则可得；
（2）根据诱导公式和同角三角函数的关系可得.
【详解】（1）．
（2）．
16. 已知函数（，且）的图象过点，．
（1）求，的值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点，代入函数解析式，解方程组即可求解；
（2）根据指数函数的单调性列不等式组求解即可.
【小问1详解】
因为函数的图象过点，，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）得，
由，得，所以，
所以或，
解得或，
即不等式的解集为．
17. 已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数关系和余弦的二倍角公式求解即可；
（2）利用结合正弦的两角和公式求解即可.
【小问1详解】
由解得，
所以．
【小问2详解】
由，得，
则，
所以．
18. 已知是定义在上的偶函数，在上单调递增．
（1）求．
（2）若，，证明：．
（3）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的性质求解即可；
（2）利用函数的单调性和偶函数的性质求解即可；
（3）利用函数的单调性和对称性列不等式组求解即可.
【小问1详解】
因为是定义在上的偶函数，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）得，由，得，，
因为在上单调递增，所以，
所以，
又是定义在上的偶函数，
所以．
【小问3详解】
由且是定义在上的偶函数，在上单调递增得，
解得，即不等式的解集为．
19. 将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围；
（3）若函数在上有3个零点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的图象变换直接求解即可；
（2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可；
（3）令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，根据的图象求的取值范围即可.
【小问1详解】
由题意得.
【小问2详解】
因为是增函数，当时，
由得，
由正弦函数的图象可知，
所以，
由题意可知，
则解得，即的取值范围为．
【小问3详解】
令，则函数有两个零点，
且的图象与直线，共有3个公共点，
由的图象可知，当，时，，得，
由，得，，符合题意．
当，时，解得，
综上的取值范围为．