河北省石家庄市第二中学教育集团高二上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份河北省石家庄市第二中学教育集团高二上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟，分值：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组求解出，，进而即可得出结果
【详解】根据题意可设椭圆的标准方程为：，.
则，解得：，，
所以椭圆的方程为.
故选：B.
2. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出抛物线的直线方程，根据准线与圆相切列方程求.
【详解】抛物线的准线方程为 ，
因为准线与圆相切，
圆的圆心坐标为，半径为，
所以，又，
所以.
故选：C．
3. 已知数列满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对同时除以可得，再由累加法求解即可得出答案.
【详解】若，则，则，
这与矛盾，所以，
对同时除以，
所以，则，，
……，，
上面的式子相加可得：
，
所以，所以，
故选：D.
4. 已知正项等差数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列求和公式进行化简，可得，进而得解.
【详解】因为为等差数列，所以，，
则，
所以，
从而，
故，
故选：C.
5. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A. 0个B. 至多有一个C. 1个D. 2个
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解.
【详解】因为直线和圆没有交点，
可得，即，
所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，
又因为椭圆，可得，
所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，
所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.
故选：D
6. 设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.
【详解】，
，，，，.
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.
，.
故选：B.
7. 已知函数的定义域是，其导函数满足，且有，，则（ ）
A. 1022B. 1024C. 2046D. 2048
【答案】C
【解析】
【分析】由导函数关系得，赋值待定系数，赋式得等差数列通项，再代值利用等比数列求和公式可得.
【详解】由可得，其中为常数，
令得，又已知，，
则有，即，故，
令，则，.
故数列是以为首项，为公差的等差数列.
所以，
故.
故选：C.
8. 有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分.第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了.第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了.以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理.那么，原来至少有多少个桃子，最后至少有多少个桃子.（ ）
A. 625 256B. 621 252C. 3125 1024D. 3121 1020
【答案】D
【解析】
【分析】设第5只猴子来的时候有个桃子，逐一倒推得到第1只猴子来的时候有个桃子，由为整数，得到最少为255，即可得到答案.
【详解】设第5只猴子来的时候有个桃子，
则第4只猴子来的时候有个桃子，
则第3只猴子来的时候有个桃子，
则第2只猴子来时候有个桃子，
则第1只猴子来的时候有个桃子，
，
因为4与5互质，且为整数，所以能被整除，故最小为256，所以最少为255，此时，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答.
【详解】对于A，，A满足；
对于B，，B不满足；
对于C，，C满足；
对于D，，D不满足.
故选：AC
10. 已知数列为无穷等差数列，公差为d，前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若且互不相等，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】分别利用等差数列的基本公式以及性质计算每一个选项即可；
【详解】选项A,若，得，所以，故选项A正确；
选项B，若且互不相等，易知，故选项B正确；
选项C，若，则，此时，故选项C错误；
选项D，若，易知，
所以
所以，故选项D正确.
故选：ABD
11. 已知直线经过椭圆的一个焦点，且与交于不同的两点，椭圆的离心率为，则下列结论正确的有（ ）
A. 椭圆的短轴长为
B. 弦的最大值为4
C. 存在实数，使得以为直径圆恰好过点
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据焦点与离心率求出椭圆方程为：，再根据椭圆性质，直线与椭圆的位置关系对选项逐一判断即可．
【详解】由题知椭圆焦点在轴上，又直线过点，所以，即，
又，椭圆方程为：.
对于A，椭圆短轴长为，故A正确；
对于B，联立，消去整理得：恒成立，
设，则，
，因为，
故，无最大值，故B不正确；
对于C，若为直径的圆恰好过点，则，即，
即，
即解得：，
故存存在实数，使得以为直径的圆恰好过点，C正确；
对于D，若，即，
故，解得：，所以D正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知，，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解.
【详解】
.
记点、点、点和点，
.
因为，，
所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和.
因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和.
所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为.
因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和.
所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为.
综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为.
所以的最小值为.
故答案为：.
13. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率是_____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用点到直线的距离，建立关于的齐次式，即可求出离心率.
【详解】如图，以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线交于两点，
，，所以，
点到直线的距离为，
可得，，
所以，可得.
故答案为：.
14. 已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由已知根据递推关系可得，由此可知，根据裂项相消法即可求解.
【详解】当时，，
因为，
当时，，
两式相减可得，即，当时不适合此式，
所以，所以，
当时，，
当时，，
若对任意恒成立，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；
(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.
【详解】（1）由，
得；
（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，
于是将代入切线方程，得，又，则，解得，
而切线的斜率为，即，又，则，解得，
所以，.
16. 已知圆C：关于直线的对称圆的圆心为D，直线l过点．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆D交于A，B两点，，求直线l的方程．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可；
（2）由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可.
【小问1详解】
由题意可知圆C：，即，
则圆心坐标，半径，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l直线的方程为，即，
则，解得，所以l的方程为：，即.
综上所述，直线l的方程为或.
【小问2详解】
由（1）知，圆的圆心坐标，半径，
设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为，
所以，解得，圆的圆心为，半径为1，
则圆D的方程为，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相离，不符合题意；
当直线斜率存在时，设直线l的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
因为直线l与圆D交于A，B两点，，
根据勾股定理可得，
即，解得或，
所以直线l的方程为或.

17. 已知数列的各项均为正数，其前项和，.
（1）求数列的通项公式：
（2）设，若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用与的关系，结合等差数列的通项公式，以及已知条件，求解即可；
（2）根据（1）中所求，结合对数运算求得的前项和，进而求得优化数，再利用等比数列前项和公式求解即可.
【小问1详解】
由知，当时，，，，又，所以；
当时，，整理得：，
因为，所以有，所以数列是首项，公差的等差数列，
数列的通项公式为.
【小问2详解】
由知，，
数列的前项和为
，
令，则有，，
由，知，，故且，
所以区间内所有“优化数”的和为
.
18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
（1）求C的方程；
（2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意求出，即可得解；
（2）设，，，直线l的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据，求出的关系，即可得出结论.
小问1详解】
设C的焦距为2c，则，即，，，
由双曲线的定义，得，
即，所以，
故C的方程为；
【小问2详解】
设，，，直线l的方程为，
联立，整理得，
由题意，得，则，
则，，
，
设MN的中点为，则，，
所以线段MN的垂直平分线的方程为，
令，得，即，所以，
由题意，得，即，从而，
当，即时，解得或；
当，即时，解得或，
所以直线l的方程为，或，或，或，
故直线l过四个定点中的一个．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中直线过定点问题通法，是先设出直线方程（或），通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.
19. 设是公比大于0的等比数列，是等差数列.其中：，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
（3）表示不超过最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的知识来求得正确答案.
（2）利用分组求和法、裂项求和法、错位相减求和法来求得.
（3）先求得，然后令，由的值，可得数列的单调性，计算出前五项，即可得的取值范围；
【小问1详解】
设的公比为，的公差为，
则，
，，
两式相加得，解得，负根舍去，，
所以.
【小问2详解】
依题意，
设，
，
两式相减得
，
所以.
设，
所以.
【小问3详解】
依题意，，
，
则，
集合，设，
，
所以当时，，当时，.
计算可得，，，，，
因为集合有4个元素，.
【点睛】方法点睛：数列的通项公式推导：通过使用等比数列和等差数列的基本性质，以及给定的初始条件和方程，可以直接推导出数列的通项公式.
求和公式的应用：利用分组求和法和裂项求和法等常见技巧，能够有效地求解数列的前项和，避免了直接的求和过程.