2022-2023学年河北省石家庄市辛集市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市辛集市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在复数范围内，有下列命题：①−1的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数a+bia,b∈R是某一元二次方程的根，则a−bi一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为( )
A. 3B. 2C. 0D. 1
2.下列命题中成立的是( )
A. 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C. 一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D. 各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
3.在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )
A. 13B. 23C. 12D. 56
4.从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 34
5.已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,m,40,50；乙组：24,n,33,44,48,52，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则mn等于( )
A. 43B. 107C. 127D. 74
6.某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天PM2.5的浓度(单位：μg/m3)，数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，mm>50.已知这组数据的极差为40，则这组数据的第m百分位数为( )
A. 71B. 75.5
C. 79D. 72
7.在△ABC中，AD为BC上的中线，G为AD的中点，M，N分别为线段AB，AC上的动点(不包括端点A，B，C)，且M，N，G三点共线，若AM=λAB，AN=μAC，则λ+4μ的最小值为( )
A. 32B. 52C. 2D. 94
8.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若csA=b−c2c，则2cc+b的取值范围是( )
A. 23,1B. 12,1C. 1,+∞D. 12,+∞
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若△ABC是边长为1的正三角形，则AB⋅BC= 32
C. 若B=π6，b= 2，c=2，则△ABC有一解
D. 若010.设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，下列命题中错误的命题是( )
A. 若m//α，n//α，则m//n
B. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
C. 若m//n，m⊂α，则n//α
D. 若α//β，m⊂α，则m//β
11.若z1+i=2i，其中i为虚数单位，则( )
A. z=1B. z2=2i
C. z的共轭复数为1+iD. z的实部为1
12.甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是13，从乙盒中摸出一个红球的概率是12，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是( )
A. 小明得6分的概率为56B. 小明得分低于6分的概率为56
C. 小明得分不少于3分的概率为56D. 小明恰好得3分的概率为12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知OA=(−2,m)，OB=(n,1)，OC=(5,−1)，若点A、B、C在同一条直线上，且m=2n，则m+n=__________.
14.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8=3+5，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是__________(用分数表示).
15.在一个掷骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A+B发生的概率为__________.
16.在△ABC中，已知AB=2，AC=2 7，∠ABC=120∘，则BC=__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a,b是两个单位向量，且a与b的夹角为π4.
(1)求 2a+b；
(2)求a与 2a+b的夹角的余弦值.
18.(本小题12分)
已知复数z1=1a+2+a2−1i,z2=2+2a+1i(a∈R,i是虚数单位).
(1)若复数z1−z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的 取值范围；
(2)若虚数z1是实系数一元二次方程4x2−4x+m=0的根，求实数m值.
19.(本小题12分)
在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60∘.
(1)求sin∠ACB；
(2)若D为BC的中点，求AD的长度.
20.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=∠BCD=π2，AB=BC=1,PA=BD=2.过点C作直线AB的平行线交AD于F,G为线段PD上一点．
(1)求证：平面PAD⊥平面CFG；
(2)求平面PBC与平面PDC 夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时乙获胜的概率；
(2)求甲获胜的概率．
22.(本小题12分)
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(单位：吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5),[0.5,1),⋅⋅⋅,[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，求x的值，并说明理由．(结果保留到小数点后三位)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
对于①②，根据平方根的定义即可判断；对于③，举反例即可排除；对于④，利用平方根的定义与复数相等的性质求得 z=i 的平方根，从而得以判断.
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.
【解答】
解：对于①， −1 的平方根有两个，分别为 i 和 −i ，故①错误；
对于②，1的平方根是 −1 和1，故②错误；
对于③，令 a=1,b=0 ，则 a+bi=1 是方程 x2+x−2=0 的一个根，
但方程 x2+x−2=0 的另一个根是 x=−2 ，并非 a−bi=1 ，
实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；
对于④，设 z=i 的平方根为 x+yix,y∈R ，则 x+yi2=i ，即 x2−y2+2xyi=i ，
故 x2−y2=02xy=1 ，解得 x= 22y= 22 或 x=− 22y=− 22 ，
所以 z=i 的平方根为 22+ 22i 或 − 22− 22i ，显然z的平方根是虚数，故④正确；
综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为 1 .
故选：D.
2.【答案】B
【解析】【分析】
根据相关空间几何体的定义，举出部分反例空间几何体即可判断.
本题考查棱柱的结构特征，属于基础题。
【解答】
解：对A，将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，如图，故A错误；
对B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直，
则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确；
对于C，如图所示，若 AB=AC=CD=BD=4,BC=AD=3 ，
满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面 BCD 不是正三角形，故C错误；
对D，各个侧面都是矩形的棱柱不一定是长方体，比如底面为三角形的直三棱柱，故D错误.
故选：B.
3.【答案】B
【解析】【分析】
先求出所有的基本事件的总数，再求出这个数能被2或3整除的基本事件的个数，从而利用古典概型的概率公式即可得解.
本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题。
【解答】
解：因为所有的两位数 10∼99 共有90个，
其中被2整除的有10，12，14，…，98，共计45个；
被3整除的有12，15，18，…，99，共计30个；
被6整除的有12，18，24，…，96，共计15个；
故能被2或3整除的数有 45+30−15=60 个，
所以任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为 6090=23 .
故选：B.
4.【答案】A
【解析】【分析】
利用古典概型和余弦定理即可求得构成的三角形是锐角三角形的概率。
本题考查古典概型及其计算，考查利用余弦定理理解三角形，属于基础题。
【解答】
解：从3，4，5，6四个数中任取三个数，
共有(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)，(4,5,6)四种情况
由 32+42=52 ，可得(3,4,5)构成直角三角形；
由 32+42<62 ，可得(3,4,6)构成钝角三角形；
由 32+52<62 ，可得(3,5,6)构成钝角三角形；
由 42+52>62 ，可得(4,5,6)构成锐角三角形
则构成的三角形是锐角三角形的概率是 14
故选：A
5.【答案】A
【解析】【分析】
根据百分位数的定义，求出 m,n 的值即可得答案.
本题考查百分位数的应用，属于基础题。
【解答】
解：因为 30%×6=1.8,50%×6=3 ，
甲组：第30百分位数为 30 ，第50百分位数为 37+m2 ，
乙组：第30百分位数为 n ，第50百分位数为 33+442=772 ，
由已知得： n=30 ， 37+m2=772 ，解得 m=40 ，
所以 mn=4030=43
故选：A
6.【答案】C
【解析】【分析】
根据极差求得m的值，计算 81%×11=8.91 ，根据百分位数的含义即可确定答案.
本题主要考查百分位数和极差的应用，属于基础题。
【解答】
解：由题意得，数据的极差为40，因为数据中最小值为41，
故m应为最大值，为81，
则 81%×11=8.91 ，
将数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，81，
从小到大排列为：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81，
故这组数据的第m百分位数为79，
故选：C
7.【答案】D
【解析】【分析】
利用平面向量的基本定理，用 AB,AC 表示 AG ，设 MG=xMN ， 0本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本原理的应用，考查利用基本不等式求最值，是中档题。
【解答】
解：由题意 AG=12AD=12AB+BD=12AB+12BC=12AB+14AC−AB =14AB+14AC ，
设 MG=xMN ， 0则 AG=AM+MG=AM+xMN=AM+xAN−AM=xAN+1−xAM =λ1−xAB+μxAC ，
所以 λ1−x=14 ， μx=14 ，得 141λ+1μ=1 ，
所以 λ+4μ=14λ+4μ1λ+1μ=145+4μλ+λμ≥145+2 4=94 (当且仅当 4μλ=λμ，即λ=34,μ=38 时等号成立)。
故选：D。
8.【答案】A
【解析】【分析】
由正弦边角关系、三角恒等变换及三角形内角性质可得 sin(A−C)=sinC ，进而有 A=2C ，再把 2cc+b 化为 12cs2C 并确定 C 的范围，应用余弦函数性质求范围即可.
本题主要考查正弦定理及变形，考查三角恒等变换的综合应用，属于较难题。
【解答】
解：由 csA=b−c2c=sinB−sinC2sinC ，则 sinB−sinC=2sinCcsA ，
所以 sin(A+C)−sinC=sinAcsC+csAsinC−sinC=2sinCcsA ，
则 sinAcsC−csAsinC=sin(A−C)=sinC ，
所以 A−C=C 或 A−C+C=A=π (舍)，故 A=2C ，
综上， 2cc+b=2sinCsinC+sinB=2sinCsinC+sin(A+C)=2sinCsinC+sin3C ，且 sinC>0
所以 2cc+b=2sinCsinC+sin2CcsC+cs2CsinC
=2sinCsinC+2sinCcs2C+(2cs2C−1)sinC =12cs2C ，
由锐角△ABC ，则 π2所以 2cs2C∈(1,32) ，故 2cc+b∈(23,1) .
故选：A
9.【答案】AD
【解析】【分析】
求得 A,B 关系判断选项A；求得 AB⋅BC 的值判断选项B；求得 △ABC 有二解否定选项C；求得 △ABC 的形状判断选项D.
本题主要考查正弦定理及变形，考查利用正弦定理判定三角形解的个数，考查向量的数量积的概念及其运算，属于中等题.
【解答】
解：对A：由 sinA>sinB ，由正弦定理可得 a>b ，则 A>B .判断正确；
对B： △ABC 是边长为1 的 正三角形，
则 AB⋅BC=1×1×cs120∘=−12 .判断错误；
对C：由 B=π6 ， b= 2 ， c=2 ，可得 2sinπ6=2sinC ，则 sinC= 22 ，
又 0b，则 C=π4 或 C=3π4 .则 △ABC 有二解.判断错误；
对D：由 0可得 tanA>0,tanB>0 ， 1−tanAtanB>0
则 tanA+B=tanA+tanB1−tanAtanB>0 ，则 tanC<0 ，
又 0π2 .则 △ABC 是钝角三角形.判断正确.
故选：AD
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
根据直线与直线的位置关系可判断A；根据面面平行的判定定理可判断B；根据线面的位置关系判断C；根据面面平行的性质定理判断D.
本题考查对线面平行和面面平行性质的理解，属于基础题。
【解答】
解：对于A，若 m//α ， n//α ，则 m,n 可能平行、异面或相交，A错误；
对于B，若 m⊂α ， n⊂α ， m//β ， n//β ， m,n 不一定为相交直线，
只有当 m,n 为相交直线时，才可得到 α//β ，故B错误；
对于C，当 m//n ， m⊂α 时，可能是 n⊂α ，推不出一定是 n//α ，C错误；
对于D，若 α//β ， m⊂α ，根据面面平行的性质可知 m//β ，D正确，
故选：ABC
11.【答案】BD
【解析】【分析】
先化简复数z，计算复数的模判断选项A，计算复数的平方判断选项B，由z的共轭复数判断选项C，由z的实部判断选项D。
本题考查复数的运算和概念，考查复数的模及共轭复数的概念，属于中等题。
【解答】
解：因 z1+i=2i ，
所以 z=2i1+i=2i1−i1+i1−i=1+i ，
A选项： z= 12+12= 2 ，故A错误；
B选项： z2=1+i2=1+2i+i2=2i ，故B正确；
C选项： z 的共轭复数为 1−i ，故C错误；
D选项： z=1+i ，实部为1，故D正确.
故选：BD.
12.【答案】BD
【解析】【分析】
根据独立事件同时发生的概率公式判断A，由对立事件概率公式判断BC，根据互斥事件概率公式计算D.
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查对立事件的概率公式，属于中等题。
【解答】
解：设“从甲盒中摸出一个红球”为事件 A1 ，“从乙盒中摸出一个红球”为事件 A2 ，
则 PA1=13,PA2=12 ，且 A1,A2 独立.
在A中，小明得6分的概率为 P=P(A1)⋅P(A2)=13×12=16 ，A错误；
在B中，小明得分低于6分的概率为 P=1−16=56 ，B正确；
在C中，小明得分不少于3分的概率为 P=1−PA1PA2=1−23×12=23 ，C错误；
在D中，小明恰好得3分的概率为 P=13×12+23×12=12 ，D正确.
故选：BD
13.【答案】9 或 92
【解析】【分析】
本题考查利用向量共线处理三点共线问题，涉及求参数的值，解题时要将三点共线转化为向量共线，利用共线向量的坐标表示和已知条件建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.
求出向量 AB 和 BC 的坐标，由题意得出AB//BCm=2n，根据共线向量的坐标表示和题中条件列关于 m 、 n 的方程组，解出这两个量的值，可得出 m+n 的值.
【解答】
解：由题意可得 AB=OB−OA=n,1−−2,m=n+2,1−m ，
BC=OC−OB=5,−1−n,1=5−n,−2 .
因为 A 、 B 、 C 三点共线，所以 AB 与 BC 共线， ∴−2n+2=1−m5−n ，①
又 m=2n ②，解①②组成的方程组 −2n+2=1−m5−nm=2n ，得 m=6n=3 或 m=3n=32 ，
因此， m+n=9 或 92 ，故答案为： 9 或 92 .
14.【答案】35
【解析】【分析】
本题主要考查古典概型.
先把不超过11的素数列举出来，再利用列举法与古典概型的概率求法求解即可.
【解答】
解：设A={两素数和为偶数}，
不超过11的素数有 2,3,5,7,11 五个数，
从中选取两个不同的数的基本事件有 2,3,2,5,2,7,2,11,3,5,3,7,3,11,5,7,5,11,7,11 共10件；
其中和为偶数的基本事件有 3,5,3,7,3,11,5,7,5,11,7,11 共6件；
故P(A)=610=35 .
故答案为： 35 .
15.【答案】23
【解析】【分析】
由题意知试验发生包含的所有基本事件数是6，事件 A 和事件 B 是互斥事件，求出事件 A 和事件 B 包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型的概率公式得到结果．
本题考查互斥事件的概率加法公式(P(A+B))，属于基础题。
【解答】
解：随机掷一个骰子一次共有6种不同的结果，
其中事件 A “出现不大于4的偶数点”包括2，4两种结果，
则 PA=26=13 .
事件 B “出现小于5的点数”包括1，2，3，4四种结果，
则 PB=46=23 ， PB=13 .
又因为事件 A 和事件 B 是互斥事件，
PA+B=13+13=23 .
故答案为： 23 .
16.【答案】4
【解析】【分析】
直接用余弦定理求出BC的长。
本题考查余弦定理，考查理解能力和计算能力，属于基础题。
【解答】
解：在 △ABC 中， AB=2 ， AC=2 7 ， ∠ABC=120∘ ，
由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2×AB×BCcs∠ABC
整理得2 72=22+BC2−2×2BCcs120∘ ，即 BC2+2BC−24=0 ，
解得 BC=4 或 BC=−6 (舍)，
所以 BC=4 .
故答案为： 4 .
17.【答案】解：(1)依题意 a=1,b=1, 可得 a⋅b=a×bcsπ4= 22 ，
所以 2a+b= ( 2a+b)2= 3+2 2a⋅b= 3+2 2× 22= 5 .
(2)设 a 与 2a+b 的夹角为 θ ，
因为 a⋅ 2a+b= 2a2+a⋅b=3 22 ，
所以 csθ=a⋅ 2a+ba 2a+b=3 22 5=3 1010 .

【解析】(1)根据模长公式结合向量的数量积公式求解计算即可；
(2)应用向量的夹角余弦公式计算可得.
本题考查向量的数量积的应用，属于中等题。
18.【答案】解：(1)由已知得到 z1−z2=1a+2−2+a2−2a−3i ，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以 1a+2−2>0a2−2a−3>0 ，
解得 {−23或a<−1 ，所以 −2(2)因为虚数 z1 是实系数一元二次方程 4x2−4x+m=0 的根，所以 z1 是方程的另一个根，所以 z1+z1=2a+2=1 ，所以 a=0 ，
所以 z1=12−i,z1=12+i ，
所以 z1⋅z1=m4=54 ，所以 m=5 .

【解析】(1)求出 z1−z2 ，由其对应点的坐标列不等式求解；
(2)z1 也是方程的根，根据韦达定理先求得 a ，再求得 m .
本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数集内解方程或分解因式的应用，属于中等题。
19.【答案】解：(1)因为在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60∘.
所以由余弦定理可得 BC= AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA
= 32+12−2×3×1×12= 7 ，
所以由正弦定理 ABsin∠ACB=BCsinA ，可得sin∠ACB=AB⋅sinABC=3× 32 7=3 2114 .
(2)因为D为BC的中点，所以CD=12BC= 72 .
又因为 csC=AC2+BC2−AB22AC⋅BC=1+7−92×1× 7=− 714，
所以在△ACD中，由余弦定理可得
AD= AC2+CD2−2AC⋅CD⋅csC
= 1+74−2×1× 72×− 714= 132 .

【解析】(1)由余弦定理求得第三边BC，进而根据正弦定理求得所求角的正弦；
(2)利用余弦定理求得∠ACB的余弦值，再在△ACD中利用余弦定理求得AD的长度.
本题考查用余弦定理和正弦定理解三角形，属于中等题。
20.【答案】解：(1)因为 PA⊥ 平面 ABCD ，AB⊂ 平面ABCD，所以PA⊥AB，
因为 ∠BAD=π2 ，所以 AB ⊥AD，
因为PA∩ AD=A， PA,AD⊂ 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
因为CF// AB，所以CF⊥平面PAD，
因为CF⊂ 平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；
(2)连结 AC ，过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，
如图，
PA⊥ 平面 ABCD ，AD，AC⊂ 平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因为 ∠BAD=∠BCD=π2 ， AB=BC=1,PA=BD=2 ，
由勾股定理得： AD= BD2−AB2= 3 ，则∠ADB=30∘，
同理可得 CD= 3 ，∠CDB=30∘，
故∠ADC=60∘，所以三角形ACD为等边三角形， AC=CD= 3 ，
故 PB= PA2+AB2= 5 ， PC= PA2+AC2= 7 ， PD= PA2+AD2= 7 ，
在△BCP中，由余弦定理得： cs∠BCP=BC2+CP2−PB22BC⋅CP=1+7−52 7=32 7 ，
则 CE=BCcs∠BCP=32 7 ， BE= BC2−CE2= 192 7 ，
在△CDP中，由余弦定理得： cs∠PCD=PC2+CD2−DP22PC⋅CD=7+3−72 3× 7= 32 7 ，
在△CDE中，由余弦定理得：DE2=CE2+CD2−2CE⋅CDcs∠PCD=928+3−2×32 7× 3× 32 7=7528 ，
因为 CE2+DE2=3=CD2 ，所以DE⊥PC，
所以∠BED为二面角B−PC−D的平面角，
由余弦定理得： cs∠BED=BE2+DE2−BD22BE⋅DE=1928+7528−42× 192 7×5 32 7=−3 5795 ，
所以平面PBC与平面PDC 夹角的余弦值为3 5795.

【解析】(1)证明出AB⊥平面PAD，由CF// AB，得到CF⊥平面PAD，故而得证；
(2)作出辅助线，找到∠BED为二面角B−PC−D的平面角，求得cs∠BED，即可得平面PBC与平面PDC 夹角的余弦值.
本题考查对二面角的理解，面面垂直的判定以及余弦定理的应用。
21.【答案】解：(1)设事件A为“第三局结束乙获胜”，
由题意知，乙每局获胜的概率为 13 ，不获胜的概率为 23 .
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜).
故 PA=13×23×13+23×13×13=427
(2)设事件B为“甲获胜”．
若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率 P1=12×12=14 .
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜).
此时的概率 P2=12×12×12+12×12×12=14 .
若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：(胜，平，平，胜)，(平，胜，平，胜)，(平，平，胜，胜)，(胜，平，负，胜)，(胜，负，平，胜)，(平，胜，负，胜)，(负，胜，平，胜)，(平，负，胜，胜)，(负，平，胜，胜).
此时的概率 P3=12×16×16×12×3+12×16×13×12×6=548
若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：(胜，平，平，平)，(平，胜，平，平)，(平，平，胜，平)，(平，平，平，胜).
此时的概率 P4=12×16×16×16×4=1108
故 PB=P1+P2+P3+P4=265432

【解析】(1)对乙来说共有两种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜)，根据独立事件的乘法公式即可求解.
(2)以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.
本题考查概率的求法，考查相互独立事件的概率乘法公式，考查逻辑推理能力与化简计算能力，属于较难题。
22.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为 0.08×0.5=0.04 ，
同理，在 0.5,1,1.5,2,2,2.5,3,3.5,3.5,4,4,4.5 中的频率分别为 0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02
由 0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1 ，解得 a=0.30 .
(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12 .
根据样本估计总体，由以上样本的频率分布，可以估计全市50万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 500000×0.12=60000 人．
所以，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为 60000 人.
(3)因为前6组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.80 ，
而前5组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.80 ，
所以 2.5由 0.3×x−2.5=0.80−0.73 ，解得 x≈2.733 .
所以，估计月用水量标准为 2.733 吨时，80%的居民每月的用水量不超过标准．

【解析】本题考查频率分布直方图以及用样本的分布估计总体的分布，属于中等题.
(1)由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出 a 的值；
(2)利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×总人数，计算所求人数；
(3)将前6组的 频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出 2.5