2025-2026学年广东省茂名市高州市八年级（下）素养展评数学试卷（一）（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年广东省茂名市高州市八年级（下）素养展评数学试卷（一）（有答案和解析）试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若ab+3B. 2a>2bC. a2>b2D. −3a>−3b
2.如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
3.不等式x>4的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D.这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是( )
A. 等边对等角B. 等角对等边
C. 三角形具有稳定性D. 等腰三角形“三线合一“
5.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于( )
A. 120∘
B. 105∘
C. 60∘
D. 45∘
6.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于( )
A. 180∘
B. 240∘
C. 280∘
D. 360∘
7.某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起(如图1).已知停车场入口的栏杆AO的长度为4米(如图2所示)，栏杆AO从水平位置绕点O顺时针旋转到A′O的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角∠AOA′为30∘时，栏杆端点A升高了( )米.
A. 2mB. 4mC. 2π3mD. 8m
8.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2=100∘，则∠A的度数是( )
A. 55∘
B. 50∘
C. 70∘
D. 65∘
9.若实数x，y满足|x−3|+ y−6=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A. 9B. 12C. 15D. 12或15
10.如图，△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，AD的垂直平分线交AC于点F，已知BD=5，BE=4，AB=10，则CF的长为( )
A. 2
B. 94
C. 3
D. 2 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.等腰三角形的顶角为50∘，底角的度数为 ∘.
12.一个多边形的内角和比它的外角和多180∘，则这个多边形的边数为 .
13.如图，在△ABC中，CA=CB，∠C=80∘，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，交AB于点E，则∠AED= .
14.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是______.
15.我们定义一种新运算：x&y=12xy−2y，如2&3=12×2×3−2×3=−3，则关于a的不等式2&(a−1)>3的最大整数解是 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解下列不等式.
(1)x2(x−1).
17.(本小题7分)
解一元一次不等式2+x2≤1+2x3+1，并把解集表示在数轴上.
18.(本小题7分)
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE//BC交AB于点E，AB=5，AE=2，求ED长度．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E.若∠B=30∘，∠C=70∘，求∠EAD的大小
20.(本小题9分)
乡村全面振兴有序推进.某村开展了主题为“善读书⋅兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌.为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元.
(1)求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？
(2)若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？
21.(本小题9分)
将含30∘角的直角三角尺AHG按如图方式放置在刻度尺上，与刻度尺一组互相平行的对边分别交于点B、C、E、F.若∠FEG=30∘，B、C两点表示的刻度分别是1cm，3cm.
(1)求∠ACB的度数；
(2)求AB的长.
22.(本小题13分)
如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
(2)若∠ACB=120∘，求∠MCN的度数.
23.(本小题14分)
如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100∘，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50∘，连接DE.
(1)求∠DAE的值；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求△ABE的面积.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.若a−32.
(1)先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可；
(2)先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的性质是解题的关键．
17.【答案】x≥−2，
【解析】解：2+x2≤1+2x3+1，
3(2+x)≤2(1+2x)+6，
6+3x≤2+4x+6，
3x−4x≤2+6−6，
−x≤2，
x≥−2，
将一元一次不等式2+x2≤1+2x3+1的解集表示在数轴上如下：
依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，再在数轴上表示出解集即可．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：∵AB=5，AE=2，
∴BE=5−2=3，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=BE=3.
【解析】先根据线段的和与差得BE的长，由角平分线和平行线的性质得：∠EDB=∠EBD，从而得结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点的理解和掌握，能得出DE=BE是解此题的关键．
19.【答案】解：∵∠B=30∘，∠C=70∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=80∘，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=12∠BAC=40∘，
∵AD是高，∠C=70∘，
∴∠DAC=90∘−∠C=20∘.
∴∠EAD=∠EAC−∠DAC=40∘−20∘=20∘.
【解析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC=12∠BAC，故∠EAD=∠EAC−∠DAC.
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质，解题关键是熟练运用三角形内角和定理求角．
20.【答案】(1)农业类书籍的单价是50元，科技类书籍的单价是40元 (2)至多购买农业类书籍120本
【解析】解：(1)设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元，
∴4x+5y=4002x+3y=220，
解得x=50y=40，
答：农业类书籍单价为50元，科技类书籍单价为40元；
(2)设购买农业类书籍m本，
根据题意得：50m+40(200−m)≤9200，
10m+8000≤9200；
解得：m≤120，
答：至多购买农业类书籍120本．
(1)设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元，根据：购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元，即可得出方程组，解方程组即可；
(2)设购买农业类书籍m本，则购买科技类书籍(200−m)本，再根据题意列不等式求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意、列出方程组和一元一次不等式是解决本题的关键．
21.【答案】60∘ 2 cm
【解析】解：(1)由题意知，∠FEG=30∘，∠G=30∘，
∴∠AFE=∠FEG+∠G=30∘+30∘=60∘，
∵BC//EF，
∴∠ACB=∠AFE=60∘(两直线平行，同位角相等)；
(2)∵∠G=30∘，
∴∠A=90∘−∠G=90∘−30∘=60∘，
又∵∠ACB=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC.
∵B、C两点表示的刻度分别是1cm，3cm，
∴BC=2cm，
∴AB=BC=2cm.
(1)根据三角形的外角的定义及性质，可得∠AFE=∠FEG+∠G=60∘，再根据平行线的性质可得∠ACB=∠AFE=60∘；
(2)证明△ABC是等边三角形即可．
本题考查了平行线的性质，含30度角的直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
22.【答案】15cm；
60∘
【解析】(1)∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴AB=AM+MN+BN=CM+MN+CN，
∵△CMN的周长为15cm，
∴CM+MN+CN=15cm，
∴AB=15cm，
即AB的长为15cm；
(2)在△ABC中，∠ACB=120∘，
∴∠A+∠B=180∘−∠ACB=180∘−120∘=60∘，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCA+∠NCB=∠A+∠B=60∘，
∴∠MCN=∠ACB−(∠MCA+∠NCB)=120∘−60∘=60∘，
即∠MCN的度数为60∘.
(1)根据线段垂直平分线的性质得AM=CM，BN=CN，进而得AB=AM+MN+BN=CM+MN+CN，再根据△CMN的周长为15cm得CM+MN+CN=15cm，由此即可得出AB的长；
(2)在△ABC中，根据∠ACB=120∘得∠A+∠B=60∘，再根据AM=CM，BN=CN得∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，进而得∠MCA+∠NCB=∠A+∠B=60∘，由此可得出∠MCN的度数．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
23.【答案】(1)解：∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90∘，
∴∠EAF=90∘−∠AEF=90∘−50∘=40∘，
∵∠BAD=100∘，
∴∠DAE=180∘−100∘−40∘=40∘；
(2)证明：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF=EN，
∵∠EAF=∠DAE=40∘，
∴AE平分∠DAF，
∴FE=EM，
∴EM=EN，
∵EM⊥AD，EN⊥CD，
∴DE平分∠ADC；
(3)解：∵△ACD的面积=△ADE的面积+△CDE的面积，
∴12AD⋅EM+12CD⋅EN=18，
∴12(AD+CD)⋅EM=18，
∴12×(4+8)×EM=18，
∴EM=3，
∴EF=3，
∴△ABE的面积=12AB⋅EF=12×6×3=9.
【解析】(1)由直角三角形的性质求出∠EAF=40∘，由平角定义即可求出∠DAE的度数；
(2)过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，由角平分线的性质推出EF=EN，FE=EM，得到EM=EN，于是推出DE平分∠ADC；
(3)由△ACD的面积=△ADE的面积+△CDE的面积，得到12AD⋅EM+12CD⋅EN=18，即可求出EM=3，得到EF=3，由三角形面积公式即可求出△ABE的面积．
本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理．