2026年七年级数学下册期中真题汇编 专题05+期中解答压轴题(原卷版)

这是一份2026年七年级数学下册期中真题汇编 专题05+期中解答压轴题(原卷版)，共14页。试卷主要包含了【知识回顾】，的面积，阅读，的系数规律，观察下列各式等内容，欢迎下载使用。
考点01多项式乘多项式与图形面积
考点02多项式乘法中的规律探究
考点03乘法公式与几何图形
考点04 整式乘除中的新定义题型
考点05 与三角板相关的综合题
考点06 平行线中的拐点问题
考点07 平行线中的动点问题
1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒．
(1)若图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为，当所折成的图②中长方体盒子的底面积为时，可列方程： ；
(2)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ．
(3)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个高都为的无盖长方体纸盒、；其中纸盒的长是纸盒的长的3倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小．（注：长方形的长大于宽）
2．（25-26八年级上·福建福州·期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．
(1)由图3可以解释的等式是_____；
(2)用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；
(3)用5张长为，宽为的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、．通过观察可以发现，的长度固定不变，的长度会发生改变．若无论取何值，的结果始终保持不变，求准备的长方形纸片的宽与长需要满足的数量关系．
3．（21-22八年级上·北京·期中）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式，
代数式的值与的取值无关，
，解得．
【理解应用】
（1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值；
（2）已知，，且的值与的取值无关，求的值.
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
4．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户
的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
(1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示）
(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求．
5．（25-26八年级上·福建福州·期中）对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题.
(1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，．
观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论．
(2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下：
已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是．
①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为，
通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________．
②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________．
③当时，该长方形即为正方形，其面积为25．
综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________．
(3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值．
地 城
考点02
多项式乘法中的规律探究
6．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示：
【观察】①；
②；
③；
……
【归纳】（1）由此可得______；
【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：
（2）计算______；
（3）计算______；
（4）若，求的值．
7．（25-26八年级上·四川眉山·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
(1)根据上面的规律，则的展开式 ．
(2)的展开式共有 项，系数和为 ．
(3)运用：今天是星期一，经过天后是星期 ．
(4)直接写出的展开式中第三项的系数 ．
(5)若，求的值．
8．（25-26七年级上·湖北·期中）观察下列各式：
第一个等式：； 第二个等式：；
第三个等式：；……
(1)根据上述规律，写出下列等式：
①第个等式为：________；
②第个等式为：________；
(2)直接写出下列各式的计算结果：
①________；
②________；
(3)有个长方形，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，……，第个长方形的长与宽分别是，，试求这个长方形的面积之和．
9．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别为1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表．
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角．
(1)应用规律：①直接写出的展开式，___________；
②先化简，再求值：，其中．
(2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即
若，且，则的值为___________（用表示）．
10．（23-24七年级下·重庆·期中）我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题：
(1)多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______；
(2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：

①计算；
②计算；
③请直接写出的值．
地 城
考点03
乘法公式与几何图形
11．（25-26八年级上·吉林长春·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式．
利用上述公式解决问题：
(1)①若，，则______，
②若，求的值；
(2)如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和．
12．（25-26七年级上·上海宝山·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．
(1)根据图①写出阴影部分的面积所得的等式：__________，并解决如下问题：若，求的值；
(2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为x、y．若，，请求出图中阴影部分的面积；
(3)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方形，请写出一个等式；
(4)已知，利用（3）中的恒等式求的值．
13．（25-26八年级上·广东广州·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，在整式运算中时常利用几何直观的面积法获取结论．
（1）如图1，大正方形是由四个全等的长方形（长为a，宽为）和一个小正方形组成，请用两种不同的方法表示图中阴影部分（小正方形）的面积：①______；②______；请你写出、、之间的等量关系______；
（2）利用图1阴影部分面积得到等量关系，解决下列问题．
【直接应用】若，，则的值是______；
【拓展应用】为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图2所示面积为的长方形空地中（其中）划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求和的长．
14．（25-26八年级上·重庆·期中）图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图那样拼成一个正方形．
(1)观察图，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到等量关系为：__________；（填选项）
． ．
． ．
(2)利用（）中的等量关系解决下面的问题：
① ，求；
②如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、正方形，连接．设，若的面积为，长为，求阴影部分的面积．
15．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究：
【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
【知识迁移】
（3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______；
【思维创新】
（4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题：
若，，则的值是_______
地 城
考点04
整式乘除中的新定义类题型
16．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”．
(1)求，的“和方差数”．
(2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值．
(3)若，，求，的“和方差数”．
17．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算：．根据上述材料，解决下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)计算；；
(3)将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）．
(4)已知，求复数．
18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题．
(1)已知，
①求 m， n 的值；
②若，，求的值．
(2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k．
19．（24-25七年级下·江西九江·期中）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________；
（2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________；
探究问题：
（3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________；
（4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值．
拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________．
20．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式．
例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式．
根据上述定义，解答下列问题：
(1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）；
① ② ③ ④
(2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值；
(3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值．
地 城
考点05
与三角板相关的综合题
21．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）．
【操作探究】
(1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____；
(2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线；
(3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系．
22．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数；
(2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则 ．
(3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ．
23．（24-25七年级下·山东德州·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动．
(1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；
(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
(3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，则与的数量关系是什么？用含α，β的式子表示．
24．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）实践与探究：
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度；
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数；
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值．
25．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）根据以下素材，探索完成任务
地 城
考点06
平行线中的拐点问题
26．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E．
(1)写出的度数______；
(2)试求的度数（用含n的代数式表示）；
(3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示）
27．（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图1，已知，．
(1)设，，直接写出、之间的数量关系；
(2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数．
28．（23-24七年级下·江西九江·期中）已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点．
(1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案．
(2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数．
(3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示）
29．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数．
(3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数．
30．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，．
(1)如图1，若，则_______；
(2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求．
(3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数．
地 城
考点07
平行线中的动点问题
31．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点从点A出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，且点，点同时出发，设运动时间为秒．
(1)和位置关系是____________；________；_______；（用含的式子表示）
(2)在点，点运动过程中，连接，，若，求出点的坐标；
(3)在点，点运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系．
32．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，．
(1) ．
(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒．
①当时，请求出的度数；
②当时，请求出的值．
33．（23-24七年级下·广东广州·期中）一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵． 结合广州的规划目标和照明现状历史文化底蕴和现代化大都会地位，自2011年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节． 广州采用"政府搭台、企业唱戏"的市场 化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事． 2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和“智造未来”． 为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯射线自逆时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至 便立即回转．若灯转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒． 假定广场两侧的灯带是平行的，即，且．
(1)当时，灯射线经过多少秒，第一次照射到灯；
(2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的；
(3)两灯以（2）中的速度同时转动，如图2，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点．
①______________（用含的代数式表示）；
②作，请求出与的数量关系．
34．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分；
(1)求的度数；
(2)如图2，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时的值．
35．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
AI
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值．
第一行
第二行

各项系数和为
第三行

各项系数和为
第四行

各项系数和为
……
……
……
……
运用一副三角尺探究两条直线的平行关系
素材
在一副三角板与中，，，．
问题解决
探究图
探究1
将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线，之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）．
如图1，求的度数；
探究2
如图2，将三角板固定点摆放，当边与三角板的边相交于点时，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；
探究3
如图3，将三角板固定点（点在的延长线上），在两条平行线之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出符合条件的的值．
专题05 期中解答压轴题
7大高频考点概览
考点01多项式乘多项式与图形面积
考点02多项式乘法中的规律探究
考点03乘法公式与几何图形
考点04 整式乘除中的新定义题型
考点05 与三角板相关的综合题
考点06 平行线中的拐点问题
考点07 平行线中的动点问题
地 城
考点01
多项式乘多项式与图形面积
1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒．
(1)若图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为，当所折成的图②中长方体盒子的底面积为时，可列方程： ；
(2)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ．
(3)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个高都为的无盖长方体纸盒、；其中纸盒的长是纸盒的长的3倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小．（注：长方形的长大于宽）
【答案】(1)
(2)
(3)甲同学所用长方形纸片的面积大．
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，整式的混合运算．
（1）求出长方体的底面的长、宽，进而根据底面积为列方程即可；
（2）根据题意，得到长方形的长等于长方体的长加上两个高，宽等于长方体的宽加上两个高，再根据长方形的面积公式进行计算即可；
（3）设纸盒的长和宽分别为，得到纸盒的长和宽分别为，利用长方形的长等于长方体的长加上两个高，宽等于长方体的宽加上两个高，分别求出两个长方形的面积，比较大小即可．
【详解】（1）解：∵图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为，
∴图②中长方体的底面的长为、宽为，
∵图②中长方体盒子的底面积为，
∴
故答案为：；
（2）解：（），
故答案为：；
（3）解：设纸盒的长和宽分别为，则：纸盒的长和宽分别为，
则甲同学所用长方形纸片面积为：，
乙同学所用长方形的纸片面积为：，
甲同学所用长方形纸片面积-乙同学所用长方形的纸片面积为：
，
∵纸盒的长和宽分别为，长方形的长大于宽，
∴，
∴，
即，
∴甲同学所用长方形纸片的面积大．
2．（25-26八年级上·福建福州·期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．
(1)由图3可以解释的等式是_____；
(2)用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；
(3)用5张长为，宽为的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、．通过观察可以发现，的长度固定不变，的长度会发生改变．若无论取何值，的结果始终保持不变，求准备的长方形纸片的宽与长需要满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查图形变换与代数表示图形的面积，整式的乘法运算，理清题目中图形变换规律，列代数式，整式的乘法运算是解题的关键．
（1）根据图示，大长方形的面积为两个小正方形（边长为），一个大正方形（边长为），三个长方形（长为、宽为）的面积和，由此即可求解；
（2）边长为的正方形纸片，长为、宽为的长方形纸片的面积为，边长为的正方形纸片的面积为，用不同数量的纸片拼成大正方形，由此即可求解；
（3）设的长为．根据图示可知，，，由此即可求；根据题意有，由此即可求解．
【详解】（1）解：大长方形的面积为：，两个小正方形（边长为），一个大正方形（边长为），三个长方形（长为、宽为）的面积和为：，
∵面积相等，
∴，
故答案为：；
（2）解：张边长为的正方形纸片的面积为：，张长为、宽为的长方形纸片的面积为，张边长为的正方形纸片的面积为：，
∴拼成一个大正方形的面积为：，
∴大正方形的边长为：，
∵，，
∴，
∴，
∴大正方形的边长为；
（3）解：设的长为，
∴，，
∴，
∴；
∵无论取任何实数时，的结果始终保持不变，
∴中含项的系数为零，
∴，即．
3．（21-22八年级上·北京·期中）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式，
代数式的值与的取值无关，
，解得．
【理解应用】
（1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值；
（2）已知，，且的值与的取值无关，求的值.
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则．
（1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令x的系数为0，即可求出的值；
（2）根据整式的混合运算法则，先将A、B的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值；
（3）设，由图可得，，即可得到关于x的代数式，根据其值不变，令x的系数为0 ，即可求得与的关系．
【详解】解：（1）
，
多项式的值与的取值无关，
∴，
解得；
（2）∵，，
∴
，
∵的值与的取值无关，
∴，
解得；
（3）设，由图可知，，
∴，
，
∵当的长变化时，的值始终保持不变．
∴取值与x无关，
∴，
∴．
4．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户
的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
(1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示）
(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解；
（3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值．
本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：由题知：，，，，
，，
，
∴长方形窗户的总面积为．
（2）解：根据题意可得，
，
，
，
，
∴
．
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．（25-26八年级上·福建福州·期中）对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题.
(1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，．
观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论．
(2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下：
已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是．
①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为，
通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________．
②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________．
③当时，该长方形即为正方形，其面积为25．
综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________．
(3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值．
【答案】(1)相等
(2)①；②；③25
(3)
【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的运用，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由小华计算数据即可判断；
（2）①根据图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差可得答案；
②计算出的结果即可得到答案；
③根据，，可得，据此可得答案；
（3）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值，再根据，即可求解最小值．
【详解】（1）解：通过计算得到对应长方形的面积：，，，，．
观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足相等关系时，长方形的面积最大，
故答案为：相等；
（2）解：①∵长方形的一边长是，相邻一边长，
∴阴影部分是一个边长为的正方形，
由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积，
∴，
故答案为：；
②当时，阴影部分是边长为的正方形，
，
故答案为：；
③当时，该长方形即为正方形，其面积为；
∵，，
∴
∴周长是20的长方形的面积的最大值是25，
故答案为：25；
（3）解：，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
，
，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
，
，
当时，该长方形为边长是7的正方形，
边长是和的长方形的最大面积是49，
∴，
∴代数式的最小值．
地 城
考点02
多项式乘法中的规律探究
6．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示：
【观察】①；
②；
③；
……
【归纳】（1）由此可得______；
【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：
（2）计算______；
（3）计算______；
（4）若，求的值．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键；
（1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解；
（2）算式乘，即可利用所得结论计算；
（3）算式改写为，算式再乘，即可利用所得结论计算；
（4）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值．
【详解】解：（1）①；
②；
③；
所以．
故答案为．
（2）
．
故答案为：．
（3）
．
故答案为：．
（4）因为，
所以．
所以．
因为，
当时，
所以，．
所以．
7．（25-26八年级上·四川眉山·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
(1)根据上面的规律，则的展开式 ．
(2)的展开式共有 项，系数和为 ．
(3)运用：今天是星期一，经过天后是星期 ．
(4)直接写出的展开式中第三项的系数 ．
(5)若，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)二
(4)420
(5)2
【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键：
（1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答；
（2）根据给出的等式，得出规律进行作答即可；
（3）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案；
（4）求出的第三项为，令，进行求解即可；
（5）分别令和，进行求解即可．
【详解】（1）解：观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1
；
（2）观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项，
的展开式的系数和为；
的展开式的系数和为；
的展开式的系数和为；
依次类推，的展开式的系数和为；
（3）∵，其展开式的最后一项为1，
∴的余数为1，
∵今天是星期一，
∴经过天后是星期二；
（4）的展开式的第三项为，
的展开式的第三项为；
的展开式的第三项为；
∴的展开式的第三项为，
∴的展开式的第三项为
∴的展开式的第三项的系数为；
（5）∵，
∴当时，，
即：；
当时，，即：，
∴，
∴
8．（25-26七年级上·湖北·期中）观察下列各式：
第一个等式：； 第二个等式：；
第三个等式：；……
(1)根据上述规律，写出下列等式：
①第个等式为：________；
②第个等式为：________；
(2)直接写出下列各式的计算结果：
①________；
②________；
(3)有个长方形，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，……，第个长方形的长与宽分别是，，试求这个长方形的面积之和．
【答案】(1)①；②．
(2)①；②．
(3)．
【分析】本题主要考查分式的裂项相消法以及规律探究，涉及到分式的运算和数列求和．关键在于准确找出分式的裂项规律，并能灵活运用裂项相消法对式子进行化简计算．
（1）通过观察已知的前三个等式，找出等式中分子、分母的变化规律，进而写出第个等式和第个等式．
（2）①根据（1）中得到的规律，将原式中的每一项进行裂项，然后通过相互抵消的方式化简式子，从而得出结果．
②先将原式中的每一项进行变形，找到其裂项规律，再利用裂项相消法进行化简计算．
（3）先求出每个长方形的面积表达式，然后将这个长方形的面积相加，根据（2）中①的方法进行裂项相消，进而求出面积之和．
【详解】（1）解：①通过观察得出规律，
故第个等式为：；
②第个等式为：；
（2）解：①通过（1）中的规律得出，
，
；
②通过观察规律得出，则
，
，
，
，
．
（3）解：第个长方形的面积是，第个长方形的面积是，第个长方形的面积是，……，第个长方形的面积是，则这个长方形的面积之和 ，由（2）②规律可知
，
，
，
，
，
．
综上，答案依次为：（1）①；②．
（2）①；②．
（3）.
9．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别为1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表．
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角．
(1)应用规律：①直接写出的展开式，___________；
②先化简，再求值：，其中．
(2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即
若，且，则的值为___________（用表示）．
【答案】(1)①，②，
(2)
【分析】本题考查了整式乘法的应用、有理数的乘方，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键．
（1）①先根据杨辉三角得出的展开式的系数，可得展开式；②先展开，再合并，最后代入求值即可．
（2）根据，可得，结合，可得，进一步求解即可．
【详解】（1）解：①根据题意，的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1，
．
②
，
∵，
原式
．
（2）解：∵，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即，
∴，；
，；
，；
，；
可得，
当时，成立；
假设当时成立，
当时，，
∵，
∴，
因此，当时规律也成立，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（23-24七年级下·重庆·期中）我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题：
(1)多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______；
(2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：

①计算；
②计算；
③请直接写出的值．
【答案】(1)8，7，128
(2)①357；②；③4051
【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法；
（1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可．
（2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解；
②将已知式子裂项为，即可求解；
③根据进行计算即可求解．
【详解】（1）根据“杨辉三角”可知，
第2行，展开后，各项的系数和为，
第3行，展开后，各项的系数和为，
第4行，展开后，各项的系数和为，
第5行，展开后，各项的系数和为，
第6行，展开后，各项的系数和为，
第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为
第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、
各项的系数和为
展开后，各项的系数和为，
∴多项式展开式共有项，第二项的系数为，各项系数和为128；
故答案为：8，7，128．
（2）①由题意得：、、
∴
∴
②由题意得：、、
∴
∴
③
地 城
考点03
乘法公式与几何图形
11．（25-26八年级上·吉林长春·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式．
利用上述公式解决问题：
(1)①若，，则______，
②若，求的值；
(2)如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和．
【答案】(1)
①
②
(2)阴影部分的面积和为
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征并运用整体思想和数形结合思想是解题关键．
（1）①根据，代入求值即可；
②类比①可得，，代入求值即可；
（2）设正方形边长为m，正方形的边长为n，由题意可知，，．两个正方形的面积之和为，空白面积为，求出值后相减即可．
【详解】（1）解：①；
② 类比①可得，
；
（2）解：设正方形边长为m，正方形的边长为n，
由题意可知，，，即，
两个正方形的面积之和为，
空白面积为，
∴阴影部分的面积和为．
12．（25-26七年级上·上海宝山·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．
(1)根据图①写出阴影部分的面积所得的等式：__________，并解决如下问题：若，求的值；
(2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为x、y．若，，请求出图中阴影部分的面积；
(3)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方形，请写出一个等式；
(4)已知，利用（3）中的恒等式求的值．
【答案】(1)，1
(2)阴影部分的面积为8
(3)
(4)9
【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键．
（1）根据图形的面积即可求解；
（2）根据四边形和都是正方形，设，，
根据，即可求解；
（3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解；
（4）根据，结合即可求解．
【详解】（1）解：由图1可知，大正方形面积为或，
，
，
；
（2）由图可知，四边形和都是正方形，
设，，，
，又，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为8；
（3）由图3得，正方体体积表示为，
也可以表示为，
，
即；
（4），
由（3）得，
，
13．（25-26八年级上·广东广州·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，在整式运算中时常利用几何直观的面积法获取结论．
（1）如图1，大正方形是由四个全等的长方形（长为a，宽为）和一个小正方形组成，请用两种不同的方法表示图中阴影部分（小正方形）的面积：①______；②______；请你写出、、之间的等量关系______；
（2）利用图1阴影部分面积得到等量关系，解决下列问题．
【直接应用】若，，则的值是______；
【拓展应用】为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图2所示面积为的长方形空地中（其中）划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求和的长．
【答案】（1）①；②；
（2）[直接应用]21
[拓展应用]，
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用两种方法分别用代数式表示图1的面积即可；
（2）[直接应用]由（1）的结论代入计算即可；
[拓展应用]设、，由图中阴影部分的区域总周长为50m可得，由 长方形空地的面积为，可得，进而求出a、b的值即可．
【详解】（1）解：图1中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，阴影部分也可以看作大正方形面积与四个空白长方形的面积差，即，
所以有
故答案为：①；②；；
（2）[直接应用]
解：由（1）可得，
则，即，
故答案为：21；
[拓展应用]
解：由题意得，、，
设、，
、
图中阴影部分的区域总周长为50m，
，
即，
长方形空地的面积为，
，
解得，，
当时，，当时，，
又，即，
，，
即，．
14．（25-26八年级上·重庆·期中）图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图那样拼成一个正方形．
(1)观察图，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到等量关系为：__________；（填选项）
． ．
． ．
(2)利用（）中的等量关系解决下面的问题：
① ，求；
②如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、正方形，连接．设，若的面积为，长为，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（）用两种不同的方法表示出阴影部分的面积即可求解；
（）①利用（）所得等量关系计算即可求解；②由题意得，即可得，，再利用（）所得等量关系可得，进而根据解答即可求解；
本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算及运用，正确识图是解题的关键．
【详解】（1）解：阴影部分的面积可看作大正方形的面积减去四个长方形的面积，即；
阴影部分是一个边长为的正方形，所以阴影部分的面积又可以表示为，
∴得到等量关系为，
故选：；
（2）解：①∵，，
∴；
②∵四边形为正方形，
∴，
∵，的面积为，
∴，，
∴，
∴
，
∴，
∴
，
答：阴影部分的面积为．
15．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究：
【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
【知识迁移】
（3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______；
【思维创新】
（4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题：
若，，则的值是_______
【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）．
【分析】本题考查的是利用几何图形的面积推导代数公式．
（1）第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式；
（2）将，代入计算即可；
（3）根据大正方形面积等于九个小图形的面积和列等式计算即可；
（4）将，代入计算即可．
【详解】（1）解：因为小正方形的边长为：，
所以第一次计算的面积为：，
第二次计算的面积为：，
所以：；
故答案为：，，；
（2）解：
；
（3）解：由图3可得：；
故答案为：；
（4）解：∵，，
∴，
即．
故答案为：．
地 城
考点04
整式乘除中的新定义类题型
16．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”．
(1)求，的“和方差数”．
(2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值．
(3)若，，求，的“和方差数”．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键；
（1）根据新定义计算即可；
（2）根据新定义，可得，即，再将其代入中所求代数式计算即可；
（3）根据题意，可知，再将，代入计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
即：，，
∴；
（3）解：∵，
又，，
∴．
17．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算：．根据上述材料，解决下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)计算；；
(3)将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）．
(4)已知，求复数．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了整式运算的应用，平方差公式的运用，完全平方公式的运用，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据题意化简即可；
（2）利用完全平方公式运算即可；
（3）利用平方差公式和分式的性质运算求解即可；
（4）根据分式方程的运算法则运算求解即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：；1；
（2）解：；
（3）；
（4），
解：，
，
∴．
18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题．
(1)已知，
①求 m， n 的值；
②若，，求的值．
(2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可；
（2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
两式相乘可得：，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵为正整数，为常数，为任意非零有理数，
∴；
综上：．
19．（24-25七年级下·江西九江·期中）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________；
（2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________；
探究问题：
（3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________；
（4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值．
拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________．
【答案】解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键．
解决问题（1）根据题目信息即可求解；
（2）根据即可求解；
探究问题（3）根据即可求解；
（4）根据，即可求解；
拓展结论：根据题意可得即可求解；
【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为；
是“完全数”，理由：因为；
故答案为：；是“完全数”．
（2），
，或，
或，
故答案为：4或；
探究问题：（3），
，，
；
故答案为：．
（4），
由题意得：，
；
拓展结论：，
；
当时，最小，最小值为1．
故答案为：1．
20．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式．
例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式．
根据上述定义，解答下列问题：
(1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）；
① ② ③ ④
(2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值；
(3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值．
【答案】(1)②④
(2)2
(3)
【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义．
（1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件．
（2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k．
（3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值．
【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式．
②交换和后，，是相反数，故是反对称式．
③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式．
④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式．
故答案为②④．
（2）∵，
∴
交换m和n得，
由反对称式的定义可得：
．
整理得： ，
由于且不一定为0，
故，
解得．
（3）交换m和n后可得．
由反对称式的定义可得：
，
又∵，，
∴
∴，
因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式．
此时，由于和奇偶性不同，为奇数，
故．
地 城
考点05
与三角板相关的综合题
21．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）．
【操作探究】
(1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____；
(2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线；
(3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)；猜想，理由见解析
【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
（1）由邻补角和余角的定义即可求解；
（2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得，进而得到，即可说明；
（3）根据，，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即可说明．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴也是的平分线；
（3）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
猜想：，
∵平分，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数；
(2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则 ．
(3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案；
（2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案；
（3）分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别求出旋转的角度，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
恰好平分，
，
；
（2）解：，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：分三种情况讨论：
如图，当平分时，
，
旋转的角度是；
如图，当平分时，
，
旋转的角度是；
如图，当平分时，
，
旋转的角度是；
综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或，
故答案为：或或．
23．（24-25七年级下·山东德州·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动．
(1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；
(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
(3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，则与的数量关系是什么？用含α，β的式子表示．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)．理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度以及探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）由得到，再由平角的意义结合得到，再解方程即可；
（2）过点F作，则，那么，，故；
（3）由，则．
【详解】（1）解：因为，
所以．
因为，，
所以，解得．
（2）解：
如图，过点F作．
因为，
所以，
所以，，
所以．
因为，
所以．
（3）解：．理由如下：
因为，
所以，
即，
整理可得．
24．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）实践与探究：
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度；
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数；
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值．
【答案】(1)105
(2)
(3)20或50或80
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解；
（2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答；
（3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图①，过点作，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：105；
（2）解：如图②，过点作，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：①当且在上方，如图，延长交于点，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
②当且在下方，如图，延长交于点，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
③当且在下方，如图，延长交于点，
由题意得，，
由①得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80．
25．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）根据以下素材，探索完成任务
【答案】探究1：；探究2：为定值，，理由见解析；探究3：或或
【分析】探究1：先利用平行线的性质求得，再利用角的差求得；
探究2：先判定为定值，．再说理，先证明，再利用平行线的性质得出，，再利用角的和差证明为定值，定值是即可；
探究3：分“”、“”、“”三种情况，分别求出即可．
【详解】探究1：解：∵，，，
∴，
∴；
探究2：为定值，．
理由如下：
过点O作，
∵，
∴，
∴，，
∴
，
∴为定值，定值是；
探究3：①当时，
点C，B，E，D在同一条直线上，
∴，
∴；
②当时，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
③当时，
∴，
∴，
∴；
综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行．
【点睛】本题考查了根据平行线判定与性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数，平行公理，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等．
地 城
考点06
平行线中的拐点问题
26．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E．
(1)写出的度数______；
(2)试求的度数（用含n的代数式表示）；
(3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)的度数为或
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）根据角平分线的定义，即可得到；
（2）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可；
（3）过点E作，点B在点A的右侧时，若点E在和之间时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在上方或下方时的值即可．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴
故答案为：；
（2）如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）过点E作，点B在点A的右侧时，
若点E在和之间，如图，
∵平分，平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴；
若点E在上方，如图，
同理，，，
则；
若点E在下方，如图，
同理，，，
则，
综上所述，度数为或．
27．（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图1，已知，．
(1)设，，直接写出、之间的数量关系；
(2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数．
【答案】(1)
(2)不发生变化，的度数为；
(3)或
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点作，则有，，再根据直角得到结论；
（2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论；
（3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：不发生变化，，理由为：
由（1）可得，，
、的角平分线交于点，
，，
如图，过点作，
，，
，
，，
；
（3）解：由（2）得，，由（1）得，
，
，
如图，过点作，
，
，
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
，
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
．
综上，的度数为或．
28．（23-24七年级下·江西九江·期中）已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点．
(1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案．
(2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数．
(3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论；
（2）过点作，过点作，利用平行线的性质得到，，进而得到，再利用角平分线的定义得到，再利用平行线的性质和角的和差即可求出的度数；
（3）过点作，利用平行线的性质得到，，利用角的和差得到，进而得到，再结合（1）中的结论即可求出的度数．
【详解】（1）解：如图①，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图②，过点作，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵和的角平分线交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
由（1）中的结论得，，
∴，
整理得，
∴．
29．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数．
(3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得；
（2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得；
（3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图1，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图2，过点作，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由对顶角相等得：，
由（2）可知，
，
所以的度数为．
30．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，．
(1)如图1，若，则_______；
(2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求．
(3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上判定和性质及分类讨论的思想是解题的关键．
（1）设，则，在利用平角的定义求出，再根据平行线的性质得到，建立方程求解即可；
（2）过点作，设，求出，根据已知结合平行线的性质得到，，，进而得到，即可求解；
（3）分当时，当时，当时，当时，四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
（2）解：过点作，
设，
∵，，，
∴，即，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，即，
∴；
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，则，
∴，
∴，即；
如图，当时，则，
∴；
如图，当时，则，
∵，，
∴，即，
解得：，
∴；
当时，则，即，
解得：（不符合实际，舍去）；
综上，当四边形的一边与平行时，的度数为或或．
地 城
考点07
平行线中的动点问题
31．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点从点A出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，且点，点同时出发，设运动时间为秒．
(1)和位置关系是____________；________；_______；（用含的式子表示）
(2)在点，点运动过程中，连接，，若，求出点的坐标；
(3)在点，点运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或．理由见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形、平行线的判定与性质、三角形的面积、一元一次方程的应用等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键．
（1）根据、、即可得到得和位置关系；由两点间距离即可求出、即可；
（2）设时间经过t秒，，则、，得到，由，，再根据列方程求得t的值，进而确定点P的坐标；
（3）分情况讨论：当点在点C的下方时和当点在点C的上方时两种情况，分别运用平行线的判定与性质即可解答．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴与x轴重合，，
∴；
根据题意得：，．
故答案为：，，．
（2）解：设时间经过t秒，，则、，
，
∴，
，
∴，，
∵
∴，解得：，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
（3）解：或，理由如下：
①当点Q在点C的下方时，如图：过Q点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
②当点Q在点C的上方时；如图：过Q点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
∴．
综上所述，或．
32．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，．
(1) ．
(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒．
①当时，请求出的度数；
②当时，请求出的值．
【答案】(1)
(2)①或；②或
【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解；
（2）①当时，分两种情况，当在和之间，当在和之间，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知可计算出的度数；
②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：过点P作，则，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①当在和之间时，如图2，
∵，，
∴，
∴射线运动的时间秒，
∴射线旋转的角度，
又∵，
∴；
当在和之间时，如图3所示，
∵，，
∴，
∴射线ME运动的时间秒，
∴射线旋转的角度，
又∵，
∴；
∴的度数为或；
②当，即时，若，如图，
则，即，
解得：，不合题意，舍去；

当时，若，如图，
则，即，
解得：；

当时，若，如图，
则，即，
解得：；

当时，不存在互相平行的情况；
综上，当时，t的值是或．
33．（23-24七年级下·广东广州·期中）一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵． 结合广州的规划目标和照明现状历史文化底蕴和现代化大都会地位，自2011年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节． 广州采用"政府搭台、企业唱戏"的市场 化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事． 2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和“智造未来”． 为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯射线自逆时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至 便立即回转．若灯转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒． 假定广场两侧的灯带是平行的，即，且．
(1)当时，灯射线经过多少秒，第一次照射到灯；
(2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的；
(3)两灯以（2）中的速度同时转动，如图2，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点．
①______________（用含的代数式表示）；
②作，请求出与的数量关系．
【答案】(1)20
(2)
(3)①或；②或
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定：
（1）根据平行线的性质求出，据此可得答案；
（2）分当时，当时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可；
（3）①分当时，当时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可；②根据①所求，分当时，当时，两种情况分别求出与即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵灯转动的速度是/秒，
∴灯射线经过秒，第一次照射到灯；
（2）解：如图所示，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图所示，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，；
（3）解：①如图所示，当时，过点C作，则，
∴，
∴；
如图所示，当时，
同理可得；
综上所述，或，
故答案为：或；
②如图所示，当时，
由（3）①得，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当时，
由（3）①得，
∴，
∵，
∴；
综上所述，或．
34．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分；
(1)求的度数；
(2)如图2，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时的值．
【答案】(1)
(2)①5或35 ②或或
【分析】（1）首先求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出，继而可得结果；
（2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t的方程，解之即可；②表示出，，分三种情况（如解析所示），画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
，
，
．
（2）解：①如图，当在上方时，，
，
，
，
，
．
如图，当在下方时，，
，
∵，
∴，
此时旋转了，
∴，
．
在旋转过程中，若边，的值为5或35．
②如图，延长，与交于H，由题意得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
解得：；
如图，延长，与交于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上：t的值为或或．
【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
35．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
AI
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值．
【答案】(1)
(2)①或；②或
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题．
（1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题．
（2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题．
②分两种情形：当当转到之前时，构建方程即可解决问题．当落在射线上时返回，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；

当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；第一行
第二行

各项系数和为
第三行

各项系数和为
第四行

各项系数和为
……
……
……
……
运用一副三角尺探究两条直线的平行关系
素材
在一副三角板与中，，，．
问题解决
探究图
探究1
将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线，之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）．
如图1，求的度数；
探究2
如图2，将三角板固定点摆放，当边与三角板的边相交于点时，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；
探究3
如图3，将三角板固定点（点在的延长线上），在两条平行线之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出符合条件的的值．