2026年七年级数学下册期中真题汇编 专题04+期中选填压轴题(原卷版)

这是一份2026年七年级数学下册期中真题汇编 专题04+期中选填压轴题(原卷版)，共14页。
考点02多结论问题
考点03定义、命题、定理
考点04 整式的运算与几何图形
考点05 新定义类题
考点06 平行线中的拐点问题
考点07 动点、折叠问题
1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）实数，，满足，，，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26八年级上·江苏南通·期中）设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）．
5．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为______．
6．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则______．
地 城
考点02
多结论问题
7．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
8．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）已知a，b是两个有理数，它们的和，差，积，商分别是，，，．下列五个结论：
①若，互为相反数，则．②若，互为倒数，则．
③若，则．④若，则．
⑤若，，，这四个数中的三个数相同，则，．
其中一定正确的有______．（填序号）
9．（25-26七年级上·福建福州·期中）下述四个结论中：其中正确的是________（填序号）．
①若与是同类项，则；
②若关于x的多项式的运算结果中不含项，则常数项为；
③已知2个多项式分别为：，，无论x取何值，一定都有；
④若，，则的结果只有一种．
10．（24-25八年级下·浙江·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为___________．
∴，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
当时，该长方形为边长是8的正方形，
边长是和的长方形的最大面积是64，
11．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图（1），已知，与的角平分线相交于点F，下列结论：①；②若，则；③如图（2）中，若，，，则；④如图（2）中，若，，，则．其中正确的是______（填正确结论的序号）
12．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，点，在直线上（在的右侧），点在直线上，，为线段上的一点，连接与的角平分线交于点，且点在直线之间，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是___________．

地 城
考点03
整式运算中的规律探究题
13．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
14．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①的计算结果中项的系数为；
②的计算结果中各项系数的绝对值之和为；
③当时，的计算结果为；
④当，除以2025，余数为2023．
其中，正确的是( )
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
15．（25-26八年级上·四川乐山·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有______．
16．（24-25七年级下·广东佛山·月考）观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算：的值是（ ）
A．B．C．D．
17．（24-25八年级上·四川乐山·期末）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①的计算结果中项的系数为；
②的计算结果中各项系数的绝对值之和为；
③当时，的计算结果为；
④当，除以2024，余数为2023．
上述结论正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②③④
18．（25-26九年级上·重庆·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）；
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是___________
地 城
考点04
整式的乘除与几何图形
19．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将正方形纸片和正方形纸片按图放入周长为的长方形中，空白图形、，甲、乙、丙为阴影部分．设正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，且．已知下列选项的值，仍不能求出甲的周长的是（ ）
A．乙的周长与丙的周长和B．的周长与的周长和
C．乙的面积与丙的面积和D．的值
20．（25-26八年级上·北京·期中）如图：
（1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______．
（2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为______．
21．（24-25八年级上·全国·期中）在学习乘法公式时，课本上通过计算图形面积来验证公式的正确性．下列图形中，不能借助图形面积验证乘法公式的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（24-25八年级上·北京·期中）有两个正方形、，将，并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为( )
A．6B．7C．8D．9
23．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（ ）
A．B．
C．D．
24．（23-24七年级下·福建宁德·期末）用边长分别为的两种正方形和，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为，下列关于的大小关系表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
地 城
考点05
新定义类题
25．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（ ）
A．－4B．4C．－5D．5
26．（25-26七年级上·福建漳州·期中）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（ ）
①若，则；
②对于任意有理数和，恒成立；
③；
④若异号，则或．
A．①③B．①②C．②③D．①④
27．（25-26九年级上·重庆·月考）定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式．
根据上述定义，判断以下结论的正确性：
①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式．
②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式．
③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6．
其中正确的结论个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
28．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）我们定义一种新运算：，若，则_____．
29．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，9就是一个“智慧数”．
（1）若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_____；
（2）在小于100的正整数中，共有_____个“智慧数”．
30．（25-26八年级上·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到____．（用含、的代数式表示）
地 城
考点06
平行线中的拐点问题
31．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
32．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（ ）度．
A．B．C．D．
33．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则；
②如图2，点在之间，当，，则；
③如图2，点在之间，当，，则；
④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．1B．2C．3D．4
34．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为_____．
35．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，，．、的角平分线交于点P，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交射线于点F，连接．已知，则的度数为______________．
36．（22-23七年级下·浙江温州·月考）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则_____．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则________．
地 城
考点07
动点、折叠问题
37．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间___________．
38．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数为___________．
39．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，的值为______．
40．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在长方形中，，为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点与点重合，平分交于点，过点作交于点．
（1）的度数为__________；
（2）连接，若，则的度数为__________．
41．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
42．（22-23七年级下·浙江温州·月考）如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．

（1）若，则_____°．
（2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则_____°．
专题04 期中选填压轴题
7大高频考点概览
考点01幂的运算及逆用
考点02多结论问题
考点03定义、命题、定理
考点04 整式的运算与几何图形
考点05 新定义类题
考点06 平行线中的拐点问题
考点07 动点、折叠问题
地 城
考点01
幂的运算及逆用
1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）实数，，满足，，，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据已知得出，，进而得到，，再代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，由已知得，即得，进而得到，即得到，再利用完全平方公式即可求解，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
两边除以 ，得，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故选：．
3．（25-26八年级上·江苏南通·期中）设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，根据，得出，，再分别代入，整理得，因为，故，则，即可作答．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则
，
∵，
∴，
则，
即代数式的最大值为3，
故选：C．
4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂，熟练掌握并运用实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂是解题的关键．
首先根据任何数的0次幂都是1对a进行计算，再利用平方差公式对b进行化简计算，最后结合实数的奇偶次幂对c进行化简计算，再比较结果即可得到答案．
【详解】解：∵，
，
，
∴，
故答案为：．
5．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为______．
【答案】
【分析】本题考查了整式的乘法，完全平方公式，非负数的性质，熟练掌握利用非负数的性质求值是解题的关键．先将括号内的二次三项式配方，然后用整式乘法化简整理，再对整理后关于z的二次三项式配方，再根据非负数的性质分别求得x，y，z的值，即可进一步求解答案．
【详解】解：原方程可化为，
，
，
，
，，，
，， ，
，，，
．
故答案为：．
6．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则______．
【答案】
【分析】本题考查了幂的运算（积的乘方、同底数幂的乘法与除法），解题关键是将各项底数分解，根据幂的运算法则将等式转化为关于的方程组，求解后计算
将方程左边各分数分解为质数的幂的形式，利用幂的运算法则化简，通过比较指数建立方程组，解出整数a、b、c的值，再计算．
【详解】，
又，
，
，
解得，
．
故答案为．
地 城
考点02
多结论问题
7．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择．
【详解】解：∵平分平分，平分，
∴，
∵，
∴，，，②错误，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∵，
∴与互补，故③正确，
∵，
∴．故④正确．
综上所述：错误的结论是②，共1个．
故选A ．
8．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）已知a，b是两个有理数，它们的和，差，积，商分别是，，，．下列五个结论：
①若，互为相反数，则．②若，互为倒数，则．
③若，则．④若，则．
⑤若，，，这四个数中的三个数相同，则，．
其中一定正确的有______．（填序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查了相反数，倒数、绝对值的定义和平方差公式的运用，熟知相关定义是解题的关键．
对于①，根据相反数的定义列方程求解；对于②，考虑互为倒数的条件，得出a可能为；对于③，由可知a、b同号，故；对于④，由，得；对于⑤，通过分析三个数相同的可能情况，进行判断即可．
【详解】解：①：若和互为相反数，
则
解得，
∴①正确；
②：若和互为倒数，
则
∴，
∵，
∴不一定成立，
∴②错误．
③：若，
则a与b同号，
∴，
∴③正确．
④：若
∴，
∴，
∴④正确．
⑤：若中有三个数相同，
∵，
∴与不可能相等，
∴只能考虑、、相同或、、相同．
当时，解得；
当时，解得，
均与结论不符，
∴⑤错误．
故答案为：①③④．
9．（25-26七年级上·福建福州·期中）下述四个结论中：其中正确的是________（填序号）．
①若与是同类项，则；
②若关于x的多项式的运算结果中不含项，则常数项为；
③已知2个多项式分别为：，，无论x取何值，一定都有；
④若，，则的结果只有一种．
【答案】①②③④
【分析】本题考查同类项的定义、整式的加减运算、绝对值的化简、多项式的大小比较等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
根据同类项中相同字母的指数相同可判断①；通过整式的运算，合并同类项后不含某项求参数，再求常数项可判断②；计算两个多项式的差，根据非负性判断大小关系可判断③；利用绝对值的性质和符号讨论，结合已知条件化简表达式可判断④．
【详解】解：①若与是同类项，则相同字母的指数相同，即，，解得，，即，故正确．
②多项式展开后为，不含项，则，解得，常数项为，故正确．
③计算，由于，故，即恒成立，故正确．
④由，得，，原式化为．令，，，则原式．由于且，的值可能为两正一负或两负一正，代入计算均得0，故结果只有一种，故正确．
综上，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
10．（24-25八年级下·浙江·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为___________．
【答案】32
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值．
【详解】解：依题意有，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
当时，该长方形为边长是8的正方形，
边长是和的长方形的最大面积是64，
∴的最大值为．
故答案为：．
11．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图（1），已知，与的角平分线相交于点F，下列结论：①；②若，则；③如图（2）中，若，，，则；④如图（2）中，若，，，则．其中正确的是______（填正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．分别过、、作，，，再根据平行线的性质可以得到解答．
【详解】解：分别过、、作，，，
，
，
，，
，即，①正确；
，，
，
与的角平分线相交于点F，
，，
，
，，
，②正确；
，，
，
与的角平分线相交于点F，
，，
，，
，，
，
，，
，③错误；
同理可得：若，，，则，故④正确；
故选：①②④．
12．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，点，在直线上（在的右侧），点在直线上，，为线段上的一点，连接与的角平分线交于点，且点在直线之间，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是___________．

【答案】①②③
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得，是解此题的关键．①过点作，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到，，结合①的结论即可证明；③由已知得到，结合①的结论即可证明；④由已知得到，结合①的结论即可证明．
【详解】解：①过点作，如图：
，，
，，
，即，
，故①正确；
②∵，平分，平分，
，，
，
，
即，
，
，
，
，故②正确；
③，
，
；
，故③正确；
④，
，即，
，
，故④不正确．
综上，①②③正确，，
故答案为：①②③．
地 城
考点03
整式运算中的规律探究题
13．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘法规律的应用和有理数的乘方个位数字的周期性，关键是将和式简化并利用余数确定个位．
利用给定的乘法规律，将原算式转化为 ，再通过 的个位数字循环规律（周期为4）求 的个位数，进而得到最终结果的个位数字．
【详解】解：∵ 根据规律，，
∴ ，
令 ，，则：
∵ 的个位数字循环为：2， 4， 8， 6（周期为4），
计算 余 2，
∴ 的个位数字与 相同，为 4，
∴ 的个位数字为 ．
故算式值的个位数字为 3．
故选B.
14．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①的计算结果中项的系数为；
②的计算结果中各项系数的绝对值之和为；
③当时，的计算结果为；
④当，除以2025，余数为2023．
其中，正确的是( )
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解．
【详解】解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即，
故结论①正确；
的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为，
故结论②正确；
当时，，
故结论③正确；
当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2025，因此除以2025，余数为，即2024．故④结论错误．
综上所述，①②③结论正确．
15．（25-26八年级上·四川乐山·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有______．
【答案】①②③
【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，根据表中等式的项数和系数的和，找出规律可判断①；利用“杨辉三角”的规律解答可判断②③④，综上即可求解，找出规律是解题的关键．
【详解】解：①∵，展开式有项，系数的和为，
，展开式有项，系数的和为:，
，展开式有项，系数的和为，
，展开式有项，系数的和为，
，展开式有项，系数的和为，
，
∴展开式有项，系数的和为，故①正确；
②∵，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
当代数式的值是时，，
解得，故③正确；
④∵，
∴展开式中除最后一项，均含有因数，都能被整除，展开式的最后一项为，
∴的余数与的余数相同，
∵，
∴的余数为，
∴的余数为，
∴如果今天是星期一，那么天后是星期日，故④错误；
综上，正确的序号有①②③，
故答案为：①②③．
16．（24-25七年级下·广东佛山·月考）观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算：的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解．
【详解】解：由；
；
；
…
观察发现： ，
当，时，得
，
∴，
故选：A．
17．（24-25八年级上·四川乐山·期末）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①的计算结果中项的系数为；
②的计算结果中各项系数的绝对值之和为；
③当时，的计算结果为；
④当，除以2024，余数为2023．
上述结论正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解．
【详解】解：由题意知，
的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即，
故结论①正确；
的计算结果中各项系数的之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为，
故结论②正确；
当时，，
故结论③正确；
当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2024，因此除以2024，余数为，即2023．
故结论④正确；
故选D．
18．（25-26九年级上·重庆·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）；
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是___________
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题．
首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【详解】解：展开式中，
第一项是，
第二项是，
∴含项的系数是，
故答案为：．
地 城
考点04
整式的乘除与几何图形
19．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将正方形纸片和正方形纸片按图放入周长为的长方形中，空白图形、，甲、乙、丙为阴影部分．设正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，且．已知下列选项的值，仍不能求出甲的周长的是（ ）
A．乙的周长与丙的周长和B．的周长与的周长和
C．乙的面积与丙的面积和D．的值
【答案】C
【分析】本题考查了整式加法和乘法的应用，根据题意和图形分别求出甲、乙、丙、、的周长，乙的面积与丙的面积，进而求出乙与丙的周长和，与的周长和，乙与丙的面积和，根据结果逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由题意得，甲的长和宽为：，，
乙的长和宽为：，，
丙的长和宽为：，，
∴甲的周长为：，
乙的周长为：，
丙的周长为：，
的周长为：，
的周长为：，
乙的面积为：，
丙的面积为：，
∴乙的周长与丙的周长和为：，
的周长与的周长和为：，
乙的面积与丙的面积和为：
，
∵甲的周长为，
∴只要确定了的值，就能求出甲的周长，
由上可知，已知选项的值，均能确定的值，已知选项的值，不能确定的值，
∴不能求出甲的周长的是，
故选：．
20．（25-26八年级上·北京·期中）如图：
（1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______．
（2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为______．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键．
（1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解；
（2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解．
【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积，
由图知还可用求面积，
∴=．
故答案是：；
（2）∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为，
故答案为： ．
21．（24-25八年级上·全国·期中）在学习乘法公式时，课本上通过计算图形面积来验证公式的正确性．下列图形中，不能借助图形面积验证乘法公式的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征是解题的关键，根据各图形中各个部分之间的关系，用代数式表示各自的面积即可得出结论．
【详解】A.图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作两个长方形的面积和，即，因此，不符合题意，故该选项错误；
B.图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作三个梯形的面积和，即，因此，不符合题意，故该选项错误；
C.图形的面积可以看作一个正方形的面积，即，也可以看作两个正方形和两个长方形的面积和，即，因此，符合题意，故该选项正确；
D. 图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即
，因此，不符合题意，故该选项错误，
故选：C．
22．（24-25八年级上·北京·期中）有两个正方形、，将，并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为( )
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】题考查整式的乘法与图形面积，设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积，整体代入即可得出，即正方形的面积．
【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
由题意得，，，
即，，
，
即正方形的面积为，
故选：B．
23．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．第1幅图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，第2幅图中阴影部分的面积等于梯形的面积，根据这两幅图形中阴影部分面积相等即可得出结论．
【详解】解：第1幅图中阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为，
第2幅图中阴影部分面积等于梯形的面积，即为，
∵这两幅图形中阴影部分面积相等，
∴可以验证的公式是，
故选：B．
24．（23-24七年级下·福建宁德·期末）用边长分别为的两种正方形和，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为，下列关于的大小关系表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的混合运算：利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】解：
；
∵
∴
故选：B．
地 城
考点05
新定义类题
25．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（ ）
A．－4B．4C．－5D．5
【答案】C
【分析】本题考查多项式乘多项式和整式加减，恒等式的问题．先根据中二次项系数为4，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键．
【详解】解： ∵中二次项系数为4，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：C
26．（25-26七年级上·福建漳州·期中）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（ ）
①若，则；
②对于任意有理数和，恒成立；
③；
④若异号，则或．
A．①③B．①②C．②③D．①④
【答案】D
【分析】本题考查新定义运算、整式的混合运算，解题的关键是理解新定义运算．
通过逐一验证每个结论的正确性：结论①由绝对值的非负性推导；结论②通过反例证明不成立；结论③考虑a的符号情况；结论④根据a、b异号时分情况讨论即可．
【详解】解：①若，则，
∵，
∴且，
∴且，
解得，故①正确；
②取，
左边：
，
右边：
，
∴左边≠右边，故②错误；
③
，
当时，，故③错误；
④若a、b异号，设，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
故或，故④正确．
综上所述，①④正确，
故选D．
27．（25-26九年级上·重庆·月考）定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式．
根据上述定义，判断以下结论的正确性：
①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式．
②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式．
③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6．
其中正确的结论个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了整式混合运算——化简求值，理解已知中与是关于x的凤鸣多项式，并准确地进行计算是解题的关键．
①根据已知计算出 的值即可判断；②根据已知计算出 的值即可判断；③根据已知可得，再利用当时，多项式的值是小于的整数，确定出的值即可解答．
【详解】解：①，，


，
与是关于x的凤鸣多项式，故①正确；
②∵，，，
∴，
则
，
∴，不满足定义，
则与C不是关于x的凤鸣多项式，故②错误；
③与是关于x的凤鸣多项式，
，
，
（m是正整数），
，
，
，
∵当时，多项式的值是小于45的整数，
，
，
，
，
，
，，
∴满足条件的所有m的值之和为6，故③正确．
综上，正确的结论有①③，共2个，
故选：C．
28．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）我们定义一种新运算：，若，则_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了新定义，先根据题意得到，再由新定义得到，再把代入中进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
，
故答案为：．
29．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，9就是一个“智慧数”．
（1）若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_____；
（2）在小于100的正整数中，共有_____个“智慧数”．
【答案】 7 49
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据“智慧数”的定义，利用平方差公式推导出智慧数的表达式，进而求解第3个智慧数和小于100的智慧数个数。
【详解】解：设满足条件的两个正整数为 和 ，且 ，
则智慧数为 ．
又 ，代入得智慧数 ，其中 为正整数．
因此，智慧数为从 3 开始的奇正整数．
（1）第 3 个智慧数对应，即 ，
故答案为：7.
（2）根据题意可知，解得，
由于n为正整数，
故n取49，
故答案为：49．
30．（25-26八年级上·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到____．（用含、的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是根据新定义进行转换；
根据幂记号的定义，将已知条件转化为指数形式，再代入求解.
【详解】解：由已知，，根据定义得：；
同理，，得 ；
则：，
又∵，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
地 城
考点06
平行线中的拐点问题
31．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
过点作，过点作，则，先求出，同理可得：，得到规律，再代入求值即可．
【详解】解：如图，过点作，过点作．
，
，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
同理可得：，
以此类推：，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故选：C．
32．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（ ）度．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过作，利用两直线平行内错角相等，可推出，同理，然后利用角平分线的定义可推出，同理可求得，，……，进而得到，即可求得答案．
【详解】解：如图，过作，
，
，
，，
，
；
同理，
和的平分线，交点为，
，，
，
同理，
，
……
，
度，
度．
故选：A．
33．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则；
②如图2，点在之间，当，，则；
③如图2，点在之间，当，，则；
④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；④过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论．
【详解】解：①过点P作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；①正确；
②点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，②正确；
③过点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，③正确；
④过点P作，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴
过点N作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，④正确．
综上，正确的有4个，
故选：D．
34．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点作，过点作，
设，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，为的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即
故答案为：．
35．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，，．、的角平分线交于点P，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交射线于点F，连接．已知，则的度数为______________．
【答案】或
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，角的和差计算，难度较大，解题的关键在于分类讨论．
过点作，过点作，先求出，，，，再分类讨论，当点在点的左侧时；当点在点的右侧时，利用平行线性质和角的和差计算求解．
【详解】解：过点作，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵、的角平分线交于点P，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
，
，
∵
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
综上，的读数为或，
故答案为：或．
36．（22-23七年级下·浙江温州·月考）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则_____．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则________．
【答案】 /80度 /20度
【分析】（1）过点作，过点作交于点，根据平行线的判定和性质，求出的度数，利用角平分线的性质，即可得解；
（2）过点作，过点作，过点作交于点，同法（1），利用平行线的判定和性质，进行求解即可．
【详解】解：（1）过点作，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵的延长线恰好是的角平分线，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，
过点作，过点作，过点作交于点，
同（1）法可得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造平行线．
地 城
考点07
动点、折叠问题
37．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间___________．
【答案】5秒或95秒
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用．分①与在的两侧时，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：，，
，，
分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
，，
要使，则，
即，
解得：；
如图②，旋转到与都在的右侧，
，，
要使，则，
即，
解得：；
如图③，旋转到与都在的左侧，
，，
要使，
则，即，
解得：，
此时，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，．
故答案为：秒或秒．
38．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数为___________．
【答案】/72度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．
根据翻折的性质及角的数量关系求出，根据平行线的性质得出同位角相等，再利用翻折的性质进行求解即可．
【详解】解：如图所示，
根据翻折的性质得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据翻折的性质得，
，
故答案为：．
39．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，的值为______．
【答案】或或
【分析】分①当在左边且平分时，②当在右边且平分时，③当在右边且平分时，三类讨论位置，根据平角定义列式即可得到答案．
【详解】解：①当在左边且平分时，
∵，，
∴；
②当在右边且平分时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
③当在右边且平分时，
∵，
∴，
∴，
综上所述的值为或或．
【点睛】本题考查角平分线及角度加减，解题的关键是分类讨论位置．
40．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在长方形中，，为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点与点重合，平分交于点，过点作交于点．
（1）的度数为__________；
（2）连接，若，则的度数为__________．
【答案】
【分析】此题考查了折叠问题及平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质得，根据角平分线定义及平角的定义得；
（2）证明，根据已知得出，，过点作交于点，进而根据平行线的性质，即可求解．
【详解】（1）由折叠的性质知，
平分．
,
（2），
∴
，
．
如图，过点作交于点，则，
．
故答案为：，．
41．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【答案】10或15或25
【分析】易得，，分别判断出，，时的度数，根据的度数，列出方程求得t的值即可．画出相关图形，得到三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行时的情形是解决本题的易错点．
【详解】解：，
，，
设旋转t秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行，
①，如图2：
由题意得：，
，
，
，
解得：；
②，如图3：
由题意得：，
，
，
，
解得：；
③，如图4，
作，
，
，
，
，
，
，
解得：；
④若继续旋转，，如图5，此时超过，这种情况不存在．
综上：t的值为10或15或
故答案为：10或15或
42．（22-23七年级下·浙江温州·月考）如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．

（1）若，则_____°．
（2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则_____°．
【答案】 或36
【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而利用平行线的性质得，然后根据折叠的性质可得，即可得出答案；
（2）根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，分别得出结果．
【详解】解：（1）如图：

∵四边形是长方形，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
故答案为：；
（2）如图：

由折叠得：，
∵，
∴，
∵是的三等分线，
∴分两种情况：
当时，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，
综上所述， 或，
故答案为：或36．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的计算，翻折的变换，熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键．