2026年七年级数学下册期中真题汇编 专题02+相交线与平行线(原卷版)

这是一份2026年七年级数学下册期中真题汇编 专题02+相交线与平行线(原卷版)，共14页。试卷主要包含了如图，，，则_______，如图等内容，欢迎下载使用。
考点01利用对顶角相等求角
考点02与余角、补角相关的计算
考点03点到直线的距离与垂线段最短
考点04 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别
考点05 求证两直线平行
考点06 平行线的判定和性质多结论题
考点07 平行线的性质在生活中的应用
考点08 平行线的判定和性质综合问题
考点09 根据平行线的判定和性质探究角的关系
考点10 根据平行线的判定和性质解决光线问题
1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线相交于点O，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）数学课堂上，探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为（ ）
A．平角的定义B．同角的余角相等
C．同角的补角相等D．同位角相等
3．（25-26七年级下·全国·期中）如图，直线，相交于点O，，则的度数是__________．
4．（24-25七年级下·江西南昌·月考）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图是实验的示意图，点，，在同一直线上，若，，则_____．
5．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数．
地 城
考点02
与余角、补角相关的计算
6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则_______．
9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则_______．
10．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图．
(1)请写出与的数量关系，并说明理由；
(2)写出的补角和余角；
(3)如果，平分，求度数．
地 城
考点03
点到直线的距离与垂线段最短
11．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（ ）
A．B．C．D．
12．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，已知，为的中点，点在上，且，到的距离为，的面积为，求的长（ ）
A．20B．12C．32D．36
13．（23-24七年级下·广东中山·期中）如图，，，，，那么点B到的距离是____，点C到的距离是____．
14．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____．
15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）．
(1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为
(2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________；
(3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）．
地 城
考点04
对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别
16．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，和是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（ ）
A．B．C．D．
18．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（ ）
A．B．C．D．
19．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图：的同旁内角是______．
20．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线、被直线所截，则图中的内错角是_____
地 城
考点05
求证两直线平行
21．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）根据下面的推理过程，在括号内写明理由．
如图，点A、B、C在同一条直线上，已知平分，，，求证：．
证明：（已知），
（______）
平分，（已知），
（______）
（已知）
（______）
（______）
22．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）完成下列证明，在括号内填写出推理依据
已知：，，求证：．
证明：（______），
又
（______）．
______（______）．
（______）．
又，
．
∴（______）．
23．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分．
(1)若，求的度数；
(2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由．
24．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，与是否平行？请说明理由．
25．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，．求证：．
地 城
考点06
平行线的判定和性质多结论题
26．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，，则下列结论：①；②；③平分；其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
27．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
28．（23-24七年级下·河南周口·期中）如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①③④
29．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________．
30．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，点为上一点，作，连接，若与的角平分线交于点．下列结论：
①；②若，则；③；④．其中一定正确的结论有___________（填写序号即可）．
地 城
考点07
平行线的性质在生活中的应用
31．（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
32．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡
已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（ ）
A．B．C．D．
33．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______．
34．（24-25六年级下·山东泰安·期中）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______．
35．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．
(1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程；
(2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．
地 城
考点08
平行线的判定和性质综合问题
36．（24-25七年级下·四川内江·开学考试）如图，，，．求的度数．
37．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，E为射线上一点，平分，．
(1)求证：．
(2)，求的度数．
38．（24-25七年级下·新疆和田·期中）已知：如图（1）直线、被直线所截，．

(1)求证：；
(2)如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请写出你的结论，并说明理由．
39．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、，在上，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
40．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若平分，平分交于点F，求的值；
(3)如图3：在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若，．求的度数．
地 城
考点09
根据平行线的判定与性质探究角的关系
41．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，则（ ）
A．B．
C．D．
42．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______．
43．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知．
(1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数．
44．（24-25七年级下·四川成都·期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间．
(1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________
(2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由；
②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小．
45．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，
(1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由．
(2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由．
∵，
∴，
∴，，
∵，
即 ；
46．（24-25九年级下·广东中山·期中）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。如图，水面与水杯下沿平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
地 城
考点10
根据平行线判定与性质解决光线问题
47．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心O，其折射光线为，折射光线与交于P点，点F为焦点，若，，则______．
48．（24-25七年级下·全国·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则的度数为______．
49．（24-25七年级下·福建漳州·期中）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，求的度数．
50．（24-25七年级下·河南安阳·月考）在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了；当我们去观赏鱼时，看到的鱼的位置要比鱼的实际位置浅，这就是所谓的“潭清疑水浅”，其实这些都是光的折射现象．如图，水面与容器底部平行，光线从空气中射入水中发生了折射，折射光线与相交于点，点在的延长线上，若，求光线偏折的角度的度数．在解决这道题时，小聪和小明分别用了不同方法，请你给他们的过程补充理由或结果．

因为，
，所以.
（依据：__________）
读书、写字姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至．
小聪：
解：∵，(已知)
∴.（ ）
∵，(已知)
∴，
∵，(已知)
∴．
∵，（ ）
∴（ ）.
小明：
解：∵，，(已知)
∴．（ ）
∵，(已知)
∴．（ ）
∴（ ）．
专题02 相交线与平行线
10大高频考点概览
考点01利用对顶角相等求角
考点02与余角、补角相关的计算
考点03点到直线的距离与垂线段最短
考点04 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别
考点05 求证两直线平行
考点06 平行线的判定和性质多结论题
考点07 平行线的性质在生活中的应用
考点08 平行线的判定和性质综合问题
考点09 根据平行线的判定和性质探究角的关系
考点10 根据平行线的判定和性质解决光线问题
地 城
考点01
利用对顶角相等求角
1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线相交于点O，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查对顶角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据对顶角相等解答即可．
【详解】解：∵与是对顶角，
∴．
故选：A．
2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）数学课堂上，探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为（ ）
A．平角的定义B．同角的余角相等
C．同角的补角相等D．同位角相等
【答案】C
【分析】本题考查了补角的性质及对顶角相等的推理依据，解题的关键是明确补角定义(和为 的两个角互为补角)，准确识别 和（对顶角）均为 的补角，再依据补角性质确定推理依据．
先根据已知、，结合补角定义，判断 与、 与 分别互为补角( 和 是对顶角)；再逐一分析选项，排除与平角定义、余角性质、同位角性质无关的选项，锁定符合补角性质的答案．
【详解】解：A、平角的定义是 “始边与终边在同一直线且方向相反的角为 ”，本题是通过两个角与 的和为 推导角相等，并非直接应用平角定义，此选项不符合题意；
B、同角的余角相等的前提是 “角的和为 ”，本题中角的和为 ，属于补角关系，与余角无关，此选项不符合题意；
C、同角的补角相等是 “若两个角均为同一个角的补角(和为 ，则这两个角相等”，本题中、，即 和都是 的补角，完全符合该性质，此选项符合题意；
D、同位角相等需满足 “两直线平行被第三条直线所截” 的条件，本题未涉及平行线与同位角，此选项不符合题意；
故选：C．
3．（25-26七年级下·全国·期中）如图，直线，相交于点O，，则的度数是__________．
【答案】/48度
【分析】本题考查了对顶角相等．
直接根据对顶角相等作答即可．
【详解】解：∵直线，相交于点O，，
∴．
故答案为：．
4．（24-25七年级下·江西南昌·月考）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图是实验的示意图，点，，在同一直线上，若，，则_____．
【答案】/30度
【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等可得，进而根据角的和差关系即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
5．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质等知识；根据角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
地 城
考点02
与余角、补角相关的计算
6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查角平分线，角的运算；先求出，再根据角平分线的性质得到，再结合计算即可．
【详解】解：∵
∴，
∵平分，
∴，
∵
∴，
故选：D．
7．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了余角和补角，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．
先根据已知条件求出，再根据和已知条件，求出，从而求出即可．
【详解】解：，，
∴，
，
，
，
，，
，
．
故选：B．
8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则_______．
【答案】
【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算．
先由求出的度数，再由求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则_______．
【答案】
【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．
由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案．
【详解】解：与互为余角，
，
，
，
，
平分，
，
．
故答案为：．
10．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图．
(1)请写出与的数量关系，并说明理由；
(2)写出的补角和余角；
(3)如果，平分，求度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)的补角是，的余角是
(3)
【分析】本题考查余角、补角的定义，角平分线的定义．
（1）根据同角的余角相等即可得出结论；
（2）根据余角和补角的定义，结合图形即可解答；
（3）由（2）知，求出，再根据平分，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴的补角是，的余角是；
（3）解：由（2）知，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
地 城
考点03
点到直线的距离与垂线段最短
11．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键．
【详解】解：∵A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，
∴代表点M到直线l的距离的是线段的长度．
故选：C．
12．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，已知，为的中点，点在上，且，到的距离为，的面积为，求的长（ ）
A．20B．12C．32D．36
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线的距离，过点作于点，根据题意得出，根据的面积为，，得出的面积为，根据三角形的面积公式求得，由为的中点，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点
∵到的距离为，
∴，
∵的面积为，，
∴的面积为，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
故选：C．
13．（23-24七年级下·广东中山·期中）如图，，，，，那么点B到的距离是____，点C到的距离是____．
【答案】 8 4.8
【分析】本题考查了点到直线的距离，理解点到直线的距离的概念是解题的关键．
点到直线的距离即为该点到该直线垂线段的长度，据此求解即可．
【详解】，
点B到的距离等于的长，为8 ．
如下图所示，过点C作于D，则点C到的距离等于的长，
，
，
，
，
点C到的距离等于4.8 ．
故答案为：8；4.8．
14．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小．
【详解】解：在中，，，为边上的高，，如图，过点作于点，
，
，
，
解得：，
垂线段最短，
当点与点重合时，最小，
即最小值为，
故答案为：．
15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）．
(1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为
(2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________；
(3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）．
【答案】(1)见解析
(2)，垂线段最短
(3)和
【分析】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，垂线段最短和余角的定义，正确作出对应的图形是解题的关键；
（1）如图所示，取格点H，连接交于E，则点E和射线即为所求；如图所示，取格点F，连接，则点F和射线即为所求；
（2）点到直线的距离为该点向该直线作垂线，该点与垂足的距离，据此可得第一空答案，根据垂线段最短可得第二、三空的答案；
（3）根据度数之和为90度的两个角互余，结合三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，
∴线段的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是，理由是垂线段最短；
（3）解：∵，
∴，
∴的余角是和．
地 城
考点04
对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别
16．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，和是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可．
【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意，
故选：A．
17．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键．
根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可．
【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角．
故选：D．
18．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了内错角的定义，根据内错角的定义即可求解，掌握内错角的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，的内错角是，
故选：．
19．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图：的同旁内角是______．
【答案】、、、
【分析】本题主要考查了同旁内角的定义．根据同旁内角的定义即两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角进行解答即可．
【详解】解：是同旁内角的有：、、、．
故答案为：、、、．
20．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线、被直线所截，则图中的内错角是_____
【答案】
【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，图中的内错角是，
故答案为：．
地 城
考点05
求证两直线平行
21．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）根据下面的推理过程，在括号内写明理由．
如图，点A、B、C在同一条直线上，已知平分，，，求证：．
证明：（已知），
（______）
平分，（已知），
（______）
（已知）
（______）
（______）
【答案】垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 ．
【分析】本题考查了平行线的判定方法，余角的性质等；结合垂直的定义、角平分线的定义及余角的性质得，由平行线的判定方法，即可得证．
【详解】证明：（已知），
（垂直的定义）,
平分，（已知），
（角平分线的定义）,
（已知）,
（等角的余角相等）,
（内错角相等，两直线平行）,
故答案为：垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 ．
22．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）完成下列证明，在括号内填写出推理依据
已知：，，求证：．
证明：（______），
又
（______）．
______（______）．
（______）．
又，
．
∴（______）．
【答案】对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行．
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可．
【详解】证明：∵（对顶角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵．
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行．
23．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分．
(1)若，求的度数；
(2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由．
【答案】(1)
(2)；理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
（1）先求出，再根据角平分线的定义求解即可；
（2）根据对顶角相等可推得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：；理由如下：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
24．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，与是否平行？请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线的定义、垂直等知识，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
（1）根据角平分线的定义可得，从而可得，由此即可得；
（2）先根据角的和差可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵分别是和的平分线，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
（2）解：，理由如下：
由（1）已得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，余角的性质，角平分线的定义等．根据角平分线的定义以及，可得，再由，可得，即可求证．
【详解】证明：∵平分，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴．
地 城
考点06
平行线的判定和性质多结论题
26．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，，则下列结论：①；②；③平分；其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】B
【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，根据，，得出；；根据，得到；即可判断①；根据，得出，即可判断②；根据已知条件，无法推出的度数，即可判断③；
【详解】解：∵，，
∴；
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，解得：；故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
根据已知条件，无法推出的度数，
∴无法推出平分，故③错误；
故选：B．
27．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.
延长，交于I，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答.
【详解】解：延长，交于I．
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
∴①错误；②正确，
∵平分，
，
，
，
无法计算和的倍数关系，
∴的值未必为，未必为，
∴无法证明平分，.
∴③，④不一定正确．
故选：．
28．（23-24七年级下·河南周口·期中）如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
先根据可得，从而可得，再根据可得，再根据代入计算，即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断③；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断②和④．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，则结论①正确；
∵，
∴，
∴，则结论③正确；
∵，
∴，，
但不一定等于，也不一定等于，
所以平分，平分都不一定正确，则结论②和④都错误；
综上，正确的是①③．
故选：B．
29．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________．
【答案】②
【分析】延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答．
【详解】解：延长，交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，故①错误；②正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
可见，的值未必为，只要和为即可，
故③④不一定正确．
30．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，点为上一点，作，连接，若与的角平分线交于点．下列结论：
①；②若，则；③；④．其中一定正确的结论有___________（填写序号即可）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定及性质；①由平行线的性质得，结合角平分线的定义即可判断；②过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可判断；③过作，由平行线的性质得，结合角平分线的定义得，即可判断；④由平行线的性质得，由角平分线的定义得，，即可判断；能熟练利用平行线的判定及性质，角平分线的定义进行求解是解题的关键．
【详解】解：①，
，
平分，
，
；
故①正确；
②过作，
，
，
，，
，
，即；
故②正确；
③过作，
，
，
，
，
，
，
，
与的角平分线交于点，
，，
，
，
，
，
故此项错误；
④，
，
与的角平分线交于点，
，，
，
，
故④正确；
故答案为：①②④．
地 城
考点07
平行线的性质在生活中的应用
31．（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
32．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡
已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过作，由平行线的性质得，，可得，即可求解；理解题意，能熟练利用平行线的性质求解是解题的关键．
【详解】解：如图，
过作，
由题意得：，，
，
，
，
，
，
故选：B．
33．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
34．（24-25六年级下·山东泰安·期中）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______．
【答案】/32度
【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意，得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
35．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．
(1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程；
(2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得；
（2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：结论：，
证明：如图，过点F作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过点C作，
∴，
∵，
∴，
根据题意可知，，
∴，
∴．
地 城
考点08
平行线的判定和性质综合问题
36．（24-25七年级下·四川内江·开学考试）如图，，，．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定等知识．根据得到，进而证明，得到，根据平行线性质即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
37．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，E为射线上一点，平分，．
(1)求证：．
(2)，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，一元一次方程等知识，掌握这些知识是解题的关键．
（1）由得，再结合得，由平行线的判定即可证明；
（2）设，则，由平行线的性质求得，，；由平分得，利用建立方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴；
∵，
∴，，；
∵平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
解得：，
即．
38．（24-25七年级下·新疆和田·期中）已知：如图（1）直线、被直线所截，．

(1)求证：；
(2)如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）作，根据平行线的判定与性质可得，同理可得，根据，再根据角平分线的定义可得，，即有，问题随之得解．
【详解】（1）证明：如下图
∵（已知），（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）；
（2），
理由：作．
，
，
同法可证：，
∵，
，
又，，
∴
39．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、，在上，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
（1）根据平行线的判定和性质解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线定义解答即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
又，
，
又平分，
，
，
．
40．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若平分，平分交于点F，求的值；
(3)如图3：在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若，．求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（1）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，求得，，即可得到的度数；
（2）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，得出，，则可得出，同理可得，然后结合角平分线定义即可得出结论；
（3）分别过点作的平行线，则，设，利用（2）中结论，结合平行线的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点作，则，
，，
，，
，，
；
（2）解：如图，过点作，则，
，，
，
同理，
平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：分别过点作的平行线，则，
设，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
由（2）知： ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
．
地 城
考点09
根据平行线的判定与性质探究角的关系
41．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案．
【详解】解：如图，作，

∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
42．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
依据平行线的性质得出，，进而得到，，据此可得．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
43．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知．
(1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）如图，分别过点E，F作，，证明，可得，，证明，可得，从而可得结论；
（2）如图，过点F作，由（2）知，，设，则，证明，，证明，，可得，从而可得答案．
【详解】（1）数量关系为，
证明：如图，分别过点E，F作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
，
；
（2）如图，过点F作，
由（1）知，，
设，则，
平分，GF平分，
，，
，
，，
∴，
．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质探究角度的大小关系是解本题的关键．
44．（24-25七年级下·四川成都·期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间．
(1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________
(2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由；
②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质．
（1）过点作，得到，推出，，得到；
（2）①应用（1）的结论，求出，即可解决问题；
②应用（1）的结论得到，由三角形外角的性质求出，由角平分线定义得到，因此．
【详解】（1）如图1，过点作，
，
．
，，
，
，
，，之间的数量关系为：，
故答案为：；
（2）①如图2，，理由如下：
，，
，
由（1）知：，
；
②如图3，由（1）得：，
平分，
，
，
，
，
平分，
，
．
45．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，
(1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由．
(2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键．
（1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可；
（2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可．
【详解】（1）解：过点作 ，
∵，
∴，
，，
两式相加得∶ ，
即；
（2）解：如图（2），过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
即 ；
如图（3），过点作，设交点为，
，
，
，
，，
，
即；
如图（4），过点作，
，
∴，
，
，
即．
46．（24-25九年级下·广东中山·期中）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。如图，水面与水杯下沿平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，根据，得出，再根据已知条件得出即可求解．
【详解】解：，
，
，，
，
，
故选：C．
地 城
考点10
根据平行线判定与性质解决光线问题
47．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心O，其折射光线为，折射光线与交于P点，点F为焦点，若，，则______．
【答案】/60度
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论．过点作，得，根据平行公理的推论得，得出，最后根据对顶角相等得出．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
48．（24-25七年级下·全国·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则的度数为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，进而可得，再求出的度数即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
故答案为：．
49．（24-25七年级下·福建漳州·期中）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质、角度的计算，由两直线平行，同位角相等得出，再由计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
50．（24-25七年级下·河南安阳·月考）在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了；当我们去观赏鱼时，看到的鱼的位置要比鱼的实际位置浅，这就是所谓的“潭清疑水浅”，其实这些都是光的折射现象．如图，水面与容器底部平行，光线从空气中射入水中发生了折射，折射光线与相交于点，点在的延长线上，若，求光线偏折的角度的度数．在解决这道题时，小聪和小明分别用了不同方法，请你给他们的过程补充理由或结果．
【答案】小聪：两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；
小明：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；
【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，小聪：先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再结合角的和差运算进行计算；小明：先根据两直线平行，内错角相等得出，再运用对顶角相等得，结合角的和差运算进行计算，即可作答．
【详解】解：小聪：∵，(已知)
∴．（两直线平行，同旁内角互补）
∵，(已知)
∴，
∵，(已知)
∴．
∵，（平角的定义）
∴．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；；
小明：∵，，(已知)
∴．（两直线平行，内错角相等）
∵，(已知)
∴．（对顶角相等）
∴．
故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；．

因为，
，所以.
（依据：__________）
读书、写字姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至．
小聪：
解：∵，(已知)
∴.（ ）
∵，(已知)
∴，
∵，(已知)
∴．
∵，（ ）
∴（ ）.
小明：
解：∵，，(已知)
∴．（ ）
∵，(已知)
∴．（ ）
∴（ ）．