2026年八年级数学下册期中真题汇编 专题04 期中选填压轴题

这是一份2026年八年级数学下册期中真题汇编 专题04 期中选填压轴题，共14页。
考点02最值问题
考点03折叠问题
考点04 多结论问题
考点05 共顶点的等腰（等边）三角形问题
考点06 旋转中的规律性问题
考点07 不等式与一次函数综合
1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则（ ）
A．2B．4C．3D．5
3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则____°；若，，则的长为__________．
4．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积________．
5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，，若点M、N分别在边上，当四边形的周长最小时，的值为________．
地 城
考点02
最值问题
6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
7．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（ ）
A．B．12C．D．
8．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为______，的最小值为______．
9．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，是等边的高，点E、F分别为线段，上的动点，且，若，则的最小值为______．
10．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，为等腰直角三角形，，点P在的延长线上，且，将沿方向平移得到，连接，，则的周长的最小值为_______．
地 城
考点03
折叠问题
11．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
12．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，点D、E分别在、上，且，将沿所在的直线折叠得到（点F在四边形内），连接，则的长为（ ）
A．B．3C．5D．7
13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为______

14．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，使A点落在同一平面内的点F处，若，则_______．
15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是_______________．
地 城
考点04
多结论问题
16．（25-26八年级上·北京·期中）如图，和分别是的内角∠ABC和外角∠CAE的角平分线，，连接．给出下面四个结论：
①； ②；
③； ④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）．
A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，．给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
18．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为______（请填序号）
19．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且，为轴上一动点．连接，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，则下列结论：①；②；③若的面积为3，则点的坐标为或；④若点不在直线、上，面积为，面积为，四边形面积为，则．其中正确的是___________（填写序号）．
20．（24-25八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，、为的角平分线，与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④；⑤若，则，上述结论中，正确结论的序号有__________．
地 城
考点05
共顶点的等腰（等边）三角形问题
21．（25-26八年级上·天津·期中）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
22．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，下列结论：（1）；（2）是等边三角形；（3）平分；（4）；（5），其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
23．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在和中，，，，，则的度数为______．
24．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知线段上一点，分别以和为边作等边和等边，连接和，在和上截取，连接、、．以下说法正确的是___________．（填写正确语句序号）
①平分；②；③；④是等边三角形．
25．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的选项有________（填序号）．
地 城
考点06
旋转中的规律性问题
26．（25-26九年级上·四川德阳·期中）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
27．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图所示，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
28．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，…，按此规律进行下去，若点且等边的高为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
29．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上……按此规律进行下去，点的坐标是__________．
30．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是_____．
地 城
考点07
不等式与一次函数的综合
31．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（ ）
A．B．C．D．
32．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
33．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
34．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程的解是负整数，则满足条件的整数a的值为_______．
35．（25-26八年级上·福建漳州·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的是___________．（填写序号）
①对于函数来说，随的增大而增大；
②函数的图象不经过第一象限；
③；
④．
专题04 期中选填压轴题
7大高频考点概览
考点01求值类问题
考点02最值问题
考点03折叠问题
考点04 多结论问题
考点05 共顶点的等腰（等边）三角形问题
考点06 旋转中的规律性问题
考点07 不等式与一次函数综合
地 城
考点01
求值类问题
1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查四边形的内角和，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长到点，使，连接，则，根据，得到，，证得，从而得到，，再推导，证得，进而得到，故，完成求解．
【详解】解：延长到点，使，连接，则，
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则（ ）
A．2B．4C．3D．5
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟知这些知识是解题的关键．先根据折叠和，证得是等边三角形，再得到是含角的直角三角形，最后根据线段的关系即可求得的长．
【详解】解：由折叠性质得：，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，，
∴是直角三角形，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则____°；若，，则的长为__________．
【答案】 45
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理．
连接并延长，作，交的延长线于点F，则，由，得到，由旋转得出，则，，可证明垂直平分，则，，推导出，进而证明，证明出，得，则，求得，由，，求得，，则，利用勾股定理得到，即可求得的值．
【详解】解：如图，连接并延长，作，交的延长线于点F，则，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵将边绕点C旋转至处，
∴，
∴，，
∵经过的中点E，
∴垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：45，．
4．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积________．
【答案】4
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键．
过点作于点，过点作于点，根据角平分线性质定理得，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，再通过证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
，，分别为的角平分线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
的面积，
，
，
为的角平分线，，，
，
，
的面积，
故答案为：4．
5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，，若点M、N分别在边上，当四边形的周长最小时，的值为________．
【答案】
【分析】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题．
作点P关于的对称点，点关于的对称点，连接交于M，交于，此时四边形的周长最小，根据勾股定理得出，过点P作于H，利用等腰三角形的性质确定，得出，再求出，过点作于K，在中，，，则，，在中，由勾股定理得，即可得出结果．
【详解】解：如图，作点P关于的对称点，点关于的对称点，连接交于M，交于，此时四边形的周长最小，
∴，
∵，，
∴，
过点P作于H，
∴，
∴，
∵，，
∴，
过点作于K，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
地 城
考点02
最值问题
6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的应用，最短路径，理解轴对称的性质是解题的关键．连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值，据此回答即可．
【详解】解：连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值，
在等边中，于点D，
，
，
，
E是边的中点，
，
，
．
故选：B．
7．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（ ）
A．B．12C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变换−旋转，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用以及二次函数的性质，表示出点Q的坐标是解题的关键．设，则，证明，由全等三角形的性质可得，，可确定点Q的坐标，然后根据勾股定理得到，即可求得当时，有最小值，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，
作轴于点，如下图，
∵将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，BQ有最小值，最小值为．
故选：A．
8．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为______，的最小值为______．
【答案】
【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，进而勾股定理即可求解；对于，构造等边三角形，进而即可求解．
【详解】如图所示，过作交的于，
∵，，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴
如图所示，作且，连接，，
∵
∴
∴
∴，
当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∵
∴
∵
在中，，
∴
∴，即的最小值为；
如图所示，作关于的对称点，连接,则
∵则
∴，
∵对称，
∴
∴都是等边三角形，
连接，
∵，
∴，则，
又∵
∴
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴
∴当在上时，， 如图所示
此时取得最小值，最小值
故答案为：，．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，是等边的高，点E、F分别为线段，上的动点，且，若，则的最小值为______．
【答案】
【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，构造全等三角形，把两条线段和转化为折线段，从而根据两点间线段最短解决问题．
过作，取，连接、，证明，得，根据两点之间线段最短，可得，由此确定点E的位置，即当B、E、H三点共线时，最小，最小值为．
【详解】解：过A作，取，连接、，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
又∵是高，
∴，，
∴，
又∵，
∴，．则，．
∴，
∴，
当、、三点共线时，最小，最小值为，故最小值为．
故答案为：．
10．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，为等腰直角三角形，，点P在的延长线上，且，将沿方向平移得到，连接，，则的周长的最小值为_______．
【答案】
【分析】作点关于点的对称点，连接，由平移的性质可得：，证明得到，由对称的性质可得：，推出，则，当在同一直线上时，的值最小，为，根据等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理得出，由勾股定理计算出的长即可得到答案．
【详解】解：如图，作点关于点的对称点，连接，
由平移的性质可得：，
，
，
，
∴，
，
∵点关于点的对称点，
∴，
，
当在同一直线上时，的值最小，为，
∵为等腰直角三角形，，
，
，
在中，，
，
∴的最小值为，
∴的周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，平移的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形全等是解此题的关键．
地 城
考点03
折叠问题
11．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F，
则，
由折叠可知，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
即．
故选：D．
12．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，点D、E分别在、上，且，将沿所在的直线折叠得到（点F在四边形内），连接，则的长为（ ）
A．B．3C．5D．7
【答案】D
【分析】先根据“、”判定是等边三角形，得到；由折叠性质，得到、，进而算出；作构造直角三角形，利用“角对的直角边是斜边的一半”求出，再用勾股定理算；计算的长度（减去和）；最后在中，用勾股定理求出．
【详解】解：过点F作于点H，如图所示：
∴，
∴和都是直角三角形，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠性质得：，，，，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：．
故选：D．
【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定、折叠的性质、直角三角形的性质、勾股定理．解题技巧：通过构造直角三角形，将非直角三角形的线段计算转化为直角三角形的边长计算；利用折叠性质转移边和角的关系．解题关键：识别为等边三角形，结合折叠性质推出，进而构造直角三角形求解线段长度．易错点：忽略折叠前后对应边、对应角相等的性质；构造直角三角形时找错角度或线段关系．
13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为______

【答案】/72度
【分析】本题主要考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质得到，再利用内角和定理即可求出，便可求出答案．
【详解】解：设，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，使A点落在同一平面内的点F处，若，则_______．
【答案】
【分析】本题考查的是折叠的性质与平行线的性质，灵活结合折叠的全等性和平行线的角度关系是解题的关键．根据折叠的全等性得到对应角相等，再结合平行线的同位角相等，利用平角的度数关系，进而求出的度数．
【详解】解：，
，
又由折叠而来，
，
，
即，
．
故答案为：．
15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是_______________．
【答案】或
【分析】本题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质，分类讨论，是解题关键．
分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长．
【详解】解：，，，，
，
由折叠知，，，
当时，，
，
是等边三角形，
，
；
当时，，
在中，
，
，
；
综上所述，的长度为或．
故答案为：或．
地 城
考点04
多结论问题
16．（25-26八年级上·北京·期中）如图，和分别是的内角∠ABC和外角∠CAE的角平分线，，连接．给出下面四个结论：
①； ②；
③； ④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）．
A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵和分别是的内角和外角的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
过点D作于点，于点，于点，如图，
∵和分别是的内角和外角的角平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确，符合题意；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
所以①②③④正确．
故选：D．
17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，．给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和确定对角线的判定定理是解题的关键．利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：与均为等腰直角三角形，，
，，．
，
．
①的结论正确；
在和中，
，
，
．
，
，
②的结论正确；
点是线段的中点，
．
，
，
，
，
③的结论正确；
，，
，
，
．
④结论正确．
综上，①②③④正确．
故选：D．
18．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为______（请填序号）
【答案】①③⑤
【分析】本题考查了三角形的面积和平移的性质，利用线段转化和面积转化，可以求解．
【详解】解：由平移性质可得，，，故①正确，②不正确；
阴影部分的周长为，③正确；
时，四边形的周长为，的周长比四边形的周长少，④不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴边上的高h为，
∴，
∴，
∴，故⑤正确，
故答案为：①③⑤．
19．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且，为轴上一动点．连接，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，则下列结论：①；②；③若的面积为3，则点的坐标为或；④若点不在直线、上，面积为，面积为，四边形面积为，则．其中正确的是___________（填写序号）．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，根据，两点坐标求出，即可判断；如图，延长交于点利用平行线的性质，三角形的外角的性质判断即可；设，则根据三角形的面积公式列出方程，解方程，可得结论；分两种情况判断即可．
【详解】解：，，
，
由平移性质得：，
，故正确；
如图，延长交于点．

∵，
，
，
，
，故正确 ；
∵，，
设，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，
∴到的距离为，
则有，
解得或，
则点或；故正确，
设，
∵四边形面积为，
当时，
面积为，
面积为，
∴，∴结论错误，
故正确的有：，
故选：
20．（24-25八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，、为的角平分线，与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④；⑤若，则，上述结论中，正确结论的序号有__________．
【答案】①③⑤
【分析】根据可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“”证明，，可对③进行判断；根据全等三角形的判定方法可对④进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出，，，利用“”证明，结合，，可对⑤进行判断．
【详解】解：，、为的角平分线，
，，
，
，故①正确；
在和中，，但没有相等的边，则和不一定全等，
，故②错误；
，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，故③正确；
根据题意不能得到，故④错误；
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
又，，
，
，故⑤正确；
综上，正确的结论是①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，等边三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
地 城
考点05
共顶点的等腰（等边）三角形问题
21．（25-26八年级上·天津·期中）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
证明≌，可得①正确；即可求得，可得③正确；再证明≌，可得②④正确和，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判断与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥正确．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，，
故①正确，符合题意；
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
在和中，
，
∴≌，
∴，，，
故②④正确，符合题意；
∵，
∴是等边三角形，
故⑤正确，符合题意；
作于，于，如图所示：
则，
在和中，
，
∴≌，
∴，
又∵于，于，
∴是的平分线，
故⑥正确，符合题意；
正确的有6个．
故选：D．
22．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，下列结论：（1）；（2）是等边三角形；（3）平分；（4）；（5），其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，掌握全等三角形的判定和性质是关键．
根据证明，可判定（1）；证明，，可判定（2）；如图所示，过点作于点，作于点，证明，得，证明，得，可判定（3）；由三角形内角和定理可判定（4）；根据三角形对应点的关系可判定（5）；由此即可求解．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，故（1）正确；
∵，
∴，
∴，且，
∴是等边三角形，故（2）正确；
如图所示，过点作于点，作于点，
在中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴平分，故（3）正确；
在中，，
∴，即，故（4）正确；
∵，
∴，
∴，，
∴点对应点为点，点对应点为点，
∴无法证明与全等，故（5）错误；
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
23．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在和中，，，，，则的度数为______．
【答案】/9度
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，利用全等三角形的对应角相等是解题的关键．如图，延长交于点，先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得：，证明△△，则，由8字形可得，最后由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
同理得：，
，
，
即，
，，
△△，
，
，
，
△中，，
．
故答案为：．
24．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知线段上一点，分别以和为边作等边和等边，连接和，在和上截取，连接、、．以下说法正确的是___________．（填写正确语句序号）
①平分；②；③；④是等边三角形．
【答案】①②④
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等．
通过等边三角形的性质得出角的关系、边的关系，进而证明三角形全等，再据此对每个说法进行判断．
【详解】解：①：和都是等边三角形，
，
，
平分，①正确；
②：，
（同位角相等，两直线平行），②正确；
③：和都是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
，
在和中，，
，则，．
，
，
是等边三角形，④正确；
而与不一定相等，③错误．
综上，正确的是①②④．
故答案为：①②④．
25．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的选项有________（填序号）．
【答案】①②④
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确；
设交于点，因为，所以，可判断②正确；
作于点，于点，由得，则，即可证明平分，可判断④正确；
假设，则，所以，由，，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
故①正确；
设交于点，
∴，
故②正确；
作于点I，于点J，如下图：
∵，
∴，
∴，
∴点在的平分线上，
∴平分，
故④正确；
假设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，与已知条件相矛盾，
∴，
故③错误，
∴①②④这3个结论正确，
故答案为：①②④．
地 城
考点06
旋转中的规律性问题
26．（25-26九年级上·四川德阳·期中）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，关于原点对称的点的坐标中；根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第次旋转结束时，点A对应点与点关于点对称，进而可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，
∴，
∴第2025次旋转结束时，点A的对应点与点关于点对称，
∴点A对应点的坐标为．
故选：D．
27．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图所示，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．首先求出的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
【详解】解：第一次，
第二次，
第三次，
第四次，
第五次，
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵，
的纵坐标与相同为2，横坐标为，
∴，
故选：B．
28．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，…，按此规律进行下去，若点且等边的高为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标．
【详解】解：∵是等边三角形，，将等边绕点A旋转，得到，
∴，
，
，
，
，
，
，
则，
同理可得，，
……，，
即．
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，找到规律是解题的关键．
29．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上……按此规律进行下去，点的坐标是__________．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、、…，在x轴上，，根据这个规律可以求得点的坐标．
【详解】解：由图象知点、、、…，在x轴上，
∵，
∴，
∴，，，…，
即点、、、…，中相邻两点间的距离均为6，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
30．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是_____．
【答案】
【分析】此题主要考查了坐标与图形变化—旋转，点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键．
根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案．
【详解】解：点的坐标为，
，
将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；
，
同理，
如此下去，得到线段，，，
，
由题意可得出线段每旋转次旋转一周，
∵，
点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在直线上，
可设，，
，
，解得，
点的坐标是．
故答案为：．
地 城
考点07
不等式与一次函数的综合
31．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数与不等式解答即可．
【详解】解：函数和的图象交于点，
且不等式恰好有3个非负整数解，
可得：,且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式，关键是根据一次函数与不等式的关系解答．
32．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线与直线交于点，确定，点横坐标为2，利用数形结合思想解答即可．
本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键．
【详解】解：直线与直线交于点，
解得，
点横坐标为2，
∵，
∴关于的不等式的解集是，
故选：D．
33．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质及坐标与图形性质．作轴于点E，根据全等三角形的性质得到，再根据已知条件求出x的取值范围．
【详解】解：如图，作轴于点E，则，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵、、，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
34．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程的解是负整数，则满足条件的整数a的值为_______．
【答案】9
【分析】本题考查了求不等式组的解集、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
首先解不等式组，根据有三个整数解的条件，确定a的取值范围为，且a为整数，即a可能为7、8、9，然后解分式方程，得到y关于a的表达式，根据分式方程的解为负整数且分母不为零的条件，分情况讨论即可得出答案．
【详解】解：解不等式组得，，
∵不等式组有三个整数解，
∴，
解得，
∵是整数，
∴，
去分母，得，
整理得，
解得，
当时，，方程的解为正整数，不符合题意；
当时，无意义，不符合题意；
当时，，方程的解为负整数，符合题意；
故满足条件的整数a的值为9．
故答案为：9．
35．（25-26八年级上·福建漳州·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的是___________．（填写序号）
①对于函数来说，随的增大而增大；
②函数的图象不经过第一象限；
③；
④．
【答案】②③④
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质．熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
根据一次函数的图像与性质，对每个结论逐一进行分析即可．
【详解】解：对于，观察图像可知，从左到右呈下降趋势，可知，
随的增大而减小，故①错误；
由可知，，
由可知，，
对于函数，，，函数图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故②正确；
一次函数与的图像交点的横坐标为3，
当时，，化简得，
将代入，得到
，
故③正确；
由得图像可知，当时，，
此时，即，
移项可得，
故④正确．
故答案为②③④．