2025《初中数学•期中压轴易错题26大专题》七年级下册试题（含答案）(北师版)

这是一份2025《初中数学•期中压轴易错题26大专题》七年级下册试题（含答案）(北师版)，共139页。
【北师大版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16305" 【易错篇】 PAGEREF _Tc16305 \h 2
\l "_Tc23307" 【考点1 幂的运算】 PAGEREF _Tc23307 \h 2
\l "_Tc10108" 【考点2 单项式乘单项式】 PAGEREF _Tc10108 \h 2
\l "_Tc28955" 【考点3 单项式乘多项式】 PAGEREF _Tc28955 \h 3
\l "_Tc10267" 【考点4 多项式乘多项式】 PAGEREF _Tc10267 \h 3
\l "_Tc9583" 【考点5 完全平方公式】 PAGEREF _Tc9583 \h 4
\l "_Tc27817" 【考点6 平方差公式】 PAGEREF _Tc27817 \h 4
\l "_Tc9934" 【考点7 对顶角、邻补角、三线八角】 PAGEREF _Tc9934 \h 5
\l "_Tc8343" 【考点8 两条直线垂直】 PAGEREF _Tc8343 \h 6
\l "_Tc29567" 【考点9 平行线的判定与性质】 PAGEREF _Tc29567 \h 7
\l "_Tc20269" 【考点10 平行线之间的距离】 PAGEREF _Tc20269 \h 9
\l "_Tc16227" 【考点11 可能性的大小】 PAGEREF _Tc16227 \h 10
\l "_Tc9138" 【考点12 利用频率估计概率】 PAGEREF _Tc9138 \h 10
\l "_Tc23523" 【考点13 等可能事件的概率】 PAGEREF _Tc23523 \h 11
\l "_Tc14369" 【压轴篇】 PAGEREF _Tc14369 \h 12
\l "_Tc14434" 【考点14 幂的运算的逆用】 PAGEREF _Tc14434 \h 12
\l "_Tc20067" 【考点15 多项式乘积不含某项求字母的值】 PAGEREF _Tc20067 \h 13
\l "_Tc1798" 【考点16 多项式乘多项式与图形面积】 PAGEREF _Tc1798 \h 14
\l "_Tc28761" 【考点17 整式乘法中的规律性问题】 PAGEREF _Tc28761 \h 16
\l "_Tc12574" 【考点18 整式乘法中的恒成立问题】 PAGEREF _Tc12574 \h 18
\l "_Tc5441" 【考点19 相交线中的角度计算】 PAGEREF _Tc5441 \h 18
\l "_Tc24436" 【考点20 平行线中的折叠问题】 PAGEREF _Tc24436 \h 20
\l "_Tc7993" 【考点21 平行线中的拐点问题】 PAGEREF _Tc7993 \h 22
\l "_Tc15931" 【考点22 探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc15931 \h 23
\l "_Tc23026" 【考点23 平行线中的旋转问题】 PAGEREF _Tc23026 \h 25
\l "_Tc8583" 【考点24 平行线中的多结论问题】 PAGEREF _Tc8583 \h 26
\l "_Tc11210" 【考点25 新定义问题】 PAGEREF _Tc11210 \h 28
\l "_Tc5742" 【考点26 阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc5742 \h 30
【易错篇】
【考点1 幂的运算】
【例1】（24-25七年级·四川资阳·期末）计算-452024×1.252023×5的值等于（ ）
A．4B．-4C．5D．-5
【变式1-1】（24-25七年级·吉林白城·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．a5⋅a5=a25B．-5a5b52=-25a10b10
C．x2+x6=x8D．-m7÷-m2=-m5
【变式1-2】（24-25七年级·四川成都·期末）已知4a-3b+1=0，则32×34a÷27b的值为 ．
【变式1-3】（24-25七年级·重庆渝北·期末）若4a=6，8b=16，a，b为整数，则24a-3b= ．
【考点2 单项式乘单项式】
【例2】（24-25七年级·四川遂宁·期末）设xm-1yn+2⋅x5my2=x5y7，则-12mn的值为（ ）
A．-18B．-12C．1D．12
【变式2-1】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：-2a2b3⋅-ab22+-12a2b32⋅4b，其中a=2，b=1．
【变式2-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）若am+1bn+2⋅-a2n-1b2m=-a3b5，则m+n的值为 .
【变式2-3】（24-25七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．

（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米；
（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米．
【考点3 单项式乘多项式】
【例3】（24-25七年级·四川成都·期末）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当BC的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么b：a的值为 ．
【变式3-1】（24-25七年级·广东深圳·期中）若xx+a+3x-2b=x2+5x+4恒成立，则a+b= ．
【变式3-2】（24-25七年级·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“-2x2（3x﹣■+1）＝-6x3+4x2y-2x2”那么“■”中的一项是 ．
【变式3-3】（24-25七年级·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅Wi-Fi密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ．
【考点4 多项式乘多项式】
【例4】（24-25七年级·山西临汾·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+2b的长方形，需要B类卡片（ ）
A．2张B．3张C．4张D．5张
【变式4-1】（24-25七年级·河南省直辖县级单位·期末）有一块长为(m+6)米（m为正数），宽为(m+3)米的长方形土地，若把这块地的长增加1米，宽减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
【变式4-2】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：12b2a-4b-2a+ba-b-2ab+1，且单项式xa+3y与-3xyb是同类项．
【变式4-3】（24-25七年级·福建福州·期末）发现规律：
我们发现，x+px+q=x2+p+qx+pq．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：x+p x+q=x2+px+qx+pq=x2+p+qx+pq．
运用规律
(1)如果x+3x-5=x2+mx+n，那么m的值是_______，n的值是_________；
(2)如果x+ax+b=x2+3x-2．
①求a-3b-3的值；
②求1a2+1b2的值．
【考点5 完全平方公式】
【例5】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）已知a2+b2+c2=2a-4b+6c-14， 则abc的值是（ ）
A．4B．-4C．8D．-8
【变式5-1】（24-25七年级·上海闵行·期中）如果关于x的整式9x2-2m-1x+14是某个整式的平方，那么m的值是 ．
【变式5-2】（24-25七年级·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足x2+y2=4x+2y-4，则x+y= ．
【变式5-3】（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知(x-2023)2+(x-2025)2=24，则(x-2024)2的值是（ ）
A．12B．11C．13D．10
【考点6 平方差公式】
【例6】（24-25七年级·河南新乡·期中）某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1=255，请借鉴该同学的经验，计算：1+121+1221+1241+128+1215= ．
【变式6-1】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．x+yx+y2B．x+yy-x
C．x+y-x-yD．-x+yy-x
【变式6-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）为了美化校园，学校把一个边长为ama>4的正方形跳远沙池的一组对边各增加1m，另一组对边各减少1m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会（ ）
A．变小B．变大C．没有变化D．无法确定
【变式6-3】（24-25七年级·山西临汾·期中）霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔn mǎ）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为2a+bcm，宽为2a-bcm的长方形，中间凿掉一个边长为acm的正方形，且该零件的高为acm．求这个零部件体积．

【考点7 对顶角、邻补角、三线八角】
【例7】（24-25七年级·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，∠1=∠2，∠4y若这两个正方形的面积之和为34，且BE=8，求图中阴影部分的面积．
【变式16-1】（24-25七年级·北京·期中）长方形窗户ABCD（如图1），是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF=a，BE=2b），其中a>b>0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2a至GH．当下面窗户
的遮阳帘水平向左拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
(1)求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）
(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至AG=23AD，下面窗户的遮阳帘拉伸至CP=25BC处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD面积的一半，求ab．
【变式16-2】（24-25七年级·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．
情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；
情境一

情境二乙同学用1块A木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的数量；
情境二

情境三丙同学声称自己用以上的A，B，C三种木片拼出了一个面积为2a2+7ab+4b2的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．
你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．
【变式16-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），
(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______
(2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；
框1
(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立；
______+______=2a2+2b2
(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知a+b2+a-b2=40，求2a+b的最大值，请认真思考，并完成解答．
【考点17 整式乘法中的规律性问题】
【例17】（24-25七年级·四川眉山·期中）观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1；
(x-1)(x2+x+1)=x3-1；
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1；
…
根据规律计算： 22022-22021+22020-22019+……+24-23+22-2的值是（ ）
A．22023-23B．22023-1C．-22023
【变式17-1】（24-25七年级·广西南宁·期中）阅读：在计算x-1xn+xn-1+xn-2+…+x+1的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【观察】① x-1x+1=_____；
② x-1x2+x+1=_____；
③ x-1x3+x2+x+1=_____；……
(2)【猜想】由此可得：x-1xn+xn-1+xn-2+…+x+1=__________；
(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
【变式17-2】（24-25七年级·广东湛江·期末）观察并验证下列等式：
13+23=(1+2)2=9，
13+23+33=(1+2+3)2=36，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100，
(1)续写等式：13+23+33+43+53=________；（写出最后结果）
(2)我们已经知道1+2+3+⋅⋅⋅+n=12n(n+1)，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+⋅⋅⋅+(n-1)3+n3=________；（结果用因式乘积表示）
(3)利用（2）中得到的结论计算：
33+63+93+⋅⋅⋅+573+603；
【变式17-3】（24-25七年级·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如7×20-6×21=________，11×16-9×18=________，不难发现，结果都是________．
2025年1月
(1)完成上面的填空．
(2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律．
(3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【考点18 整式乘法中的恒成立问题】
【例18】（24-25七年级·上海·期中）m、n为正整数，如果-amn=-amn成立，那么（ ）
A．m必为奇数B．n必为奇数
C．m、n必同为奇数D．m、n必同为偶数
【变式18-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）若不论x为何值时，等式x2x+a+4x-3b=2x2+5x+6恒成立，则a= ，b= ．
【变式18-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）若规定a、b两数之间满足一种运算：记作a,b．即：若ac=b，则a,b=c．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如:因为32=9，所以3，9=2．
（1）计算(4,2)+(4,3)=( )；
（2）在正整数指数幂的范围内，若(42x-4,54k)≥(4,5)恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 ．
【变式18-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F(x，y)=(mx+ny)(3x-y)（其中m，n均为非零常数）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(-1,0)=3m．当F(1,-1)=-8，F(1,2)=13，则F(x,y)= ；当x2≠y2时，F(x，y)=F(y，x)对任意有理数x，y都成立，则m，n满足的关系式是 ．
【考点19 相交线中的角度计算】
【例19】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，直线AB与直线CD交点O，OE⊥DC，OE平分∠AOF．
(1)如图1，求证：OC平分∠BOF；
(2)如图2，OG，OP，OK，在直线AB的下方，若OK平分∠COG，OP平分∠BOG，∠KOP=25°，求∠AOF的度数．
【变式19-1】（24-25七年级·江苏南京·期末）已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC．
(1)如图①，若∠AOB=80°，则∠BOC=______°，∠AOD=______°．
(2)如图②，若∠AOB=140°，求∠AOD的度数；
(3)若∠AOB=n°，直接写出∠AOD的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围．
【变式19-2】（24-25七年级·广东广州·期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE＝23∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数．
【变式19-3】（24-25七年级·云南曲靖·期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；
(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【考点20 平行线中的折叠问题】
【例20】（24-25七年级·浙江台州·期末）如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，将四边形CDGH沿直线GH折叠，点C，D的对应点为C'，D'，将四边形ABFE沿直线EF折叠，点A，B的对应点为A'，B'，设∠EFB=α01，则∠P和∠N的关系为∠N∠P=n-1n+1（用含n的式子表示，题中的角均指大于0°且小于180°的角）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质即可求解；②过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，则PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，结合∠QAP=∠QAB，∠QCP=∠QCD，即可得到结论；③过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，则PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，结合∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，即可得到结论；④过点P作PE∥AB，则PE∥AB∥CD，可得∠APC=360°-∠PAB+∠PCD，过点N作NF∥AM，可得12BAP=180°-∠AMF，即BAP=360°-2∠AMF，结合∠PCN=n∠NCD，∠AMN=1n∠NMD，n>1，可得∠MNC=n-1n+1∠AMF，进而可得结论．
【详解】解：①过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，
∵∠PAB=β，
∴∠APQ=180°-β，
∵∠APC=α，
∴∠CPQ=α-180°+β，
∴∠PCD=180°-∠CPQ=180°-α+180°-β=360°-α-β；①正确；
②点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，则PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APM=180°，∠PCD+∠CPM=180°，
∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，即∠APC=360°-∠PAB+∠PCD，
同理：∠AQC=∠BAQ+∠DCQ，
∵∠QAP=∠QAB，∠QCP=∠QCD，
∴∠BAQ=12∠PAB，∠DCQ=12∠PCD，
∴∠APC=360°-∠PAB+∠PCD=360°-2∠BAQ+∠DCQ=360°-2∠AQC，
∴∠APC=360°-2∠AQC，即∠APC+2∠AQC=360°，②正确；
③过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，则PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APM=180°，∠PCD+∠CPM=180°，
∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，即∠APC=360°-∠PAB+∠PCD，
同理：∠AQC=∠BAQ+∠DCQ，
∵∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，
∴∠BAQ=13∠PAB，∠DCQ=13∠PCD，
∴∠APC=360°-∠PAB+∠PCD=360°-3∠BAQ+∠DCQ=360°-3∠AQC，
∴∠APC=360°-3∠AQC，即∠APC+3∠AQC=360°，③正确；
④过点P作PE∥AB，则PE∥AB∥CD，
∵PE∥AB，
∴∠APE+∠PAB=180°，即∠APE=180°-∠PAB，
∵PE∥CD，
∴∠CPE=180°-∠PCD，
∴∠APC=360°-∠PAB+∠PCD
过点N作NF∥AM，
∵AM∥PC，
∴NF∥PC，
∴∠CNF=∠PCN，
∵NF∥AM，
∴∠FNM=∠AMN，
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMC，
∵AM平分∠BAP，
∴∠BAM=12BAP，
∵∠AMC=180°-∠AMF，
∴12BAP=180°-∠AMF，
∵∠AMN=1n∠NMD，∠AMN+∠NMD=∠AMF
∴∠AMN=1n+1∠AMF，
∴∠FNM=∠AMN=1n+1∠AMF，
∵∠PCN=n∠NCD，∠PCN+∠NCD=∠PCD，
∴∠PCN=nn+1∠PCD，
∴∠CNF=∠PCN=nn+1∠PCD，
∴∠MNC=∠CNF-∠FNM，
∴∠MNC=∠CNF-∠FNM=nn+1∠PCD-1n+1∠AMF，
∵12BAP=180°-∠AMF，
∴BAP=360°-2∠AMF，
∴∠APC=360°-∠PAB+∠PCD=360°-360°-2∠AMF+∠PCD
=2∠AMF-∠PCD，
∵AM∥PC，
∴∠PCD=∠AMF，
∴∠APC=2∠AMF-∠AMF=∠AMF，
∴∠MNC=nn+1∠PCD-1n+1∠AMF=nn+1∠AMF-1n+1∠AMF=n-1n+1∠AMF，
∴∠MNC∠APC=n-1n+1∠AMF∠AMF=n-1n+1，④正确．
综上，正确的有4个，
故选：D．
【变式24-1】（24-25七年级·广东广州·期末）如图，点E在BA延长线上，EC与AD交于点F，且∠E=∠DCE，∠B=∠D，∠EFA是∠FCB的余角的5倍，点M是线段CB上的一动点，点N是线段MB上一点且满足∠MNF=∠MFN，FK平分∠EFM．下列结论：①BE∥CD；②AD∥CB；③FN平分∠AFM；④∠D+∠E=105°；⑤∠KFN=30°．其中结论正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，三角形的内角和定理的应用．
由∠E=∠DCE，可得BE∥CD，故结论①正确；证明∠EAD=∠B，可得AD∥CB，故结论②正确；证明∠AFN=∠MFN，可得FN平分∠AFM，故结论③正确；由∠EFA=∠FCB，结合∠EFA是∠FCB的余角的5倍，可得∠FCB=75°=∠EFA，进一步可得结论④正确；证明∠MFK=12∠EFM=12∠EFA+12∠AFM，∠MFN=12∠AFM，进一步可得结论⑤错误；
【详解】解：∵∠E=∠DCE，
∴BE∥CD，故结论①正确；
∴∠EAD=∠D，
∵∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥CB，故结论②正确；
∴∠AFN=∠FNM，
∵∠MNF=∠MFN，
∴∠AFN=∠MFN，
∴FN平分∠AFM，故结论③正确；
∵AD∥CB，
∴∠EFA=∠FCB，
∵∠EFA是∠FCB的余角的5倍，
∴∠EFA=590°-∠FCB，
∴∠FCB=75°=∠EFA，
∵∠B=∠D，∠B+∠E+∠FCB=180°，
∴∠D+∠E=∠B+∠E=180°-∠FCB=180°-75°=105°，故结论④正确；
∵FK为∠EFM的平分线，
∴∠MFK=12∠EFM=12∠EFA+12∠AFM，
∵FN平分∠AFM，
∴∠MFN=12∠AFM，
∴∠KFN=∠MFK-∠MFN=12∠EFA+12∠AFM-12∠AFM=12∠EFA=37.5°，故结论⑤错误；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：C．
【变式24-2】（24-25七年级·山东威海·期中）如下图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠ADC=∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=12∠CGE．其中正确的结论是（ ）

A．①②B．①②③C．①②④D．②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键．根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④．
【详解】解：∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCB，
∴∠CEG=2∠DCB，故①正确；
∵∠A=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，
∴∠CGE=∠GCB=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC=∠GCD，故②正确；
无法证明CA平分∠BCG，故③错误；
∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+12(∠ABC+∠ACB)=135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB=45°=12∠CGE，故④正确；
所以其中正确的结论为①②④共3个，
故选：C
【变式24-3】（24-25七年级·重庆云阳·期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠FGA=42°；④∠MGK=21°．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得∠D+∠DCG+∠GCK=180°，再根据题目已知∠CKG=∠CGK，得∠D+∠DCG=2∠GKC，又根据AD∥BC，得∠D+∠DCG=2∠AGK，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，

∵EF∥CH，
∴∠EPQ=∠CQP，
∵∠EPQ=∠E+∠EAG，
∴∠CQG=∠E+∠EAG，
∵AD∥BC，
∴∠HCK+∠CQG=180°，
∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③错误；
设∠AGM= α，∠MGK= β，
∴∠AGK= α＋β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK= α＋β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°＋α = β＋α＋β，
∴β =18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．
【考点25 新定义问题】
【例25】（24-25七年级·北京房山·期末）在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数tt>0，使得∠P+t∠Q=180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P=80°，∠Q=20°，有∠P+5∠Q=180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”．

(1)若∠P=90°，在∠1=60°，∠2=45°，∠3=30°中，∠P的“3系数补角”是________；
(2)在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．
①如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG=50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小．
②如图2，连接EF．若H为平面内一动点（点H不在直线AB，CD，EF上），∠EFH与∠FEH两个角的平分线交于点M．若∠BEH=α，∠DFH=β，∠N是∠EMF的“2系数补角”，直接写出∠N的大小的所有情况（用含α和β的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程．
【答案】(1)∠3=30°
(2)①26°；②14α+β-45°或45°-14α+β或45°-14β-α或45°-14α-β
【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论和适当添加辅助线是解题的关键．
（1）设∠P的“3系数补角”是x，根据题意可得90°+3x=180°，解方程即可得到答案；
（2）①设∠BEG=m，∠EGF=n，根据三角形外角的性质和∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案；②分六种情况画出图形分别进行求解即可．
【详解】（1）解：设∠P的“3系数补角”是x，
∵∠P=90°，
∴∠P+3x=180°，
即90°+3x=180°，
解得x=30°，
∴∠P的“3系数补角”是∠3=30°；
故答案为：∠3=30°
（2）①设∠BEG=m，∠EGF=n
如图，设AB与GF相交于点H，

∵AB∥CD，∠DFG=50°，
∴∠BHG=∠DFG=50°，
∴∠BEG+∠EGF=∠BHG=50°，
即m+n=50°①，
∵∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，
∴∠EGF+6∠BEG=180°，
即n+6m=180°②
联立①②得，
m+n=50°n+6m=180°
解得m=26°n=24°
即∠BEG是26°；
②∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，
∴∠EMF+2∠N=180°
∴∠N=90°-12∠EMF
如图1，∵∠EFH与∠FEH两个角的平分线交于点M．

∴∠MEF=12∠HEF,∠MFE=12∠HFE，
∵∠EMF=180°-∠MEF-∠MFE=180°-12∠HEF+∠HFE
=180°-12180°-∠H=90°+12∠H，
过点H作HG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥HG
则∠EHG=∠AEH=180°-∠BEH =180°-α
∠FHG=∠CFH=180°-∠DFH=180°-β
∴∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12∠EHG+∠FHG=90°+12180°-α+180°-β=270°-12α+β∴∠N=90°-12∠EMF=90°-12270°-12α+β=14α+β-45°
如图2，

同理可得，∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12α+β，
则∠N=90°-12∠EMF=90°-1290°+12α+β=45°-14α+β
如图3，

∵AB∥CD，
∴∠1=∠DFH=β
∴∠H=∠1-∠BFH=β-α，
∴∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12β-α，
∴∠N=90°-12∠EMF=90°-1290°+12β-α=45°-14β-α
如图4，

同理可得，∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12α-β，
∴∠N=90°-12∠EMF=90°-1290°+12α-β=45°-14α-β
如图5，

同理可得，∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12α-β，
∴∠N=90°-12∠EMF=90°-1290°+12α-β=45°-14α-β
如图6，

同理可得，∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12β-α，
∴∠N=90°-12∠EMF=90°-1290°+12β-α=45°-14β-α
综上可知，∠N的大小为14α+β-45°或45°-14α+β或45°-14β-α或45°-14α-β
【变式25-1】（24-25七年级·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数a，b，a△b=a2+b-3，例如：2△1=22+1-3，2x△y=2x2+y-3．
(1)设A=x△m-2x（m为常数）
①已知关于x的方程A=m-1x2-6为一元一次方程，求：m的值及方程的解．
②已知A与B为关于x的多项式，B=2△x，n的值满足2n+2-2n+1=8，若A×B中不含一次项，求：3m-n的值．
(2)如果数对a,b满足a△b=2b△2a，我们称数对a,b为“嘉幸数”，已知数对2,m与1,n均为“嘉幸数”，求代数式4m+nm+n-2mn14m+4-m-n+12m2n-8n2+2024的值．
【答案】(1)①m=-2，x=34；②13；
(2)2573．
【分析】（1）①根据规定的新运算可知A=x2+m-2x-3，又因为方程A=m-1x2-6为一元一次方程，可得x2+m-2x-3=m-1x2-6为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知m-1=1、m-2≠0，从而求出m的值，把m的值代入方程中可得方程为-4x-3=-6，解方程即可；
②根据2n+2-2n+1=8可以求出n=2，根据A×B中不含一次项可以求出m的值，把m、n的值代入3m-n计算求值即可；
（2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出m、n的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把m、n的值代入化简后的代数式计算即可．
【详解】（1）①解：A=x△m-2x=x2+m-2x-3，
又∵方程A=m-1x2-6为一元一次方程，
∴x2+m-2x-3=m-1x2-6为一元一次方程，
∴m-1=1m-2≠0，
解得：m=-2，
∴方程为-4x-3=-6，
解得：x=34，
∴m=-2，x=34；
②解：∵ n的值满足2n+2-2n+1=8，
∴2n×22-2n×2=8，
∴2n×22-2=8，
∴2n=4，
解得：n=2，
∵ B=2△x=22+x-3=x+1，A=x△m-2x=x2+m-2x-3，
∴A×B=x+1x2+m-2x-3，
整理得：A×B=x3+m-1x2+m-5x-3，
∵A×B不含一次项，
∴m-5=0，
解得：m=5，
∴3m-n=3×5-2=13；
（2）解：∵数对2,m为“嘉幸数”，
∴2△m=2×2△2m，
整理得：22+m-3=42+2m-3，
解得：m=-12，
∵数对1,n为“嘉幸数”，
∴1△n=1×2△2n，
整理得：12+n-3=22+2n-3，
解得：n=-3，
4m+nm+n-2mn14m+4-m-n+12m2n-8n2+2024
=4m2+8mn+4n2-12m2n-8mn-m-n+12m2n-8n2+2024
=4m2-4n2-m-n+2024
=4m-nm+n-m-n+2024
=m-n4m+4n-1+2024，
当m=-12，n=-3时，
原式=m-n4m+4n-1+2024
=-12--3×4×-12+4×-3-1+2024
=-9×-48-12-1+2024
=-9×-61+2024
=549+2024
=2573．
【点睛】本题主要考查了新运算、一元一次方程的定义、同底数幂的乘法、整式的化简求值、有理数的混合运算．解决本题的关键是理解题目中规定的新运算，根据规定的新运算，把指定的运算转化为一般的运算；理解“嘉幸数”的意义，根据“嘉幸数”列方程求出字母的值．
【变式25-2】（24-25七年级·浙江宁波·期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F(x，y)=(mx+ny)(3x-y)（其中m，n均为非零常数）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(-1,0)=3m．当F(1,-1)=-8，F(1,2)=13，则F(x,y)= ；当x2≠y2时，F(x，y)=F(y，x)对任意有理数x，y都成立，则m，n满足的关系式是 ．
【答案】 9x2+12xy-5y2 3m+n=0
【分析】（1）根据新运算F的定义，得m-n=-2，m+2n=13，故m=3，n=5．那么，F(x，y)=(mx+ny)(3x-y)=(3x+5y)(3x-y)=9x2+12xy-5y2．
（2）由F(x，y)=F(y，x)，得3mx2+(3n-m)xy-ny2=3my2+(3n-m)xy-nx2，故(3m+n)x2=(3m+n)y2．由当x2≠y2时，F(x，y)=F(y，x)对任意有理数x，y都成立，故当x2≠y2时，(3m+n)x2=(3m+n)y2对任意有理数x，y都成立．那么，3m+n=0．
【详解】解：（1）∵F(1,-1)=-8，F(1,2)=13，
∴(m-n)×[3-(-1)]=-8，(m+2n)(3×1-2)=13．
∴m-n=-2，m+2n=13．
∴m=3，n=5．
∴F(x，y)=(mx+ny)(3x-y)=(3x+5y)(3x-y)=9x2-3xy+15xy-5y2=9x2+12xy-5y2．
（2）∵F(x，y)=(mx+ny)(3x-y)，F(y，x)=(my+nx)(3y-x)，
∴F(x，y)=3mx2-mxy+3nxy-ny2=3mx2+(3n-m)xy-ny2．
F(y，x)=3my2-mxy+3nxy-nx2=3my2+(3n-m)xy-nx2．
若当x2≠y2时，F(x，y)=F(y，x)对任意有理数x，y都成立，
∴当x2≠y2时，3mx2+(3n-m)xy-ny2=3my2+(3n-m)xy-nx2对任意有理数x，y都成立．
∴当x2≠y2时，(3m+n)x2=(3m+n)y2对任意有理数x，y都成立．
∴3m+n=0．
故答案为：9x2+12xy-5y2，3m+n=0．
【点睛】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法以及整式的运算．
【变式25-3】（24-25七年级·江苏盐城·期中）定义：若∠α、∠β是同旁内角，并且∠α,∠β满足∠β=∠α+20°，则称∠β是∠α的内联角．
(1)如图1，已知∠β是∠α的内联角．
① 当∠α=60°时，∠β= _____°；
② 当直线l1∥l2时，求∠β的度数．
(2)如图2，已知∠β是∠α的内联角，点O是线段GH上一定点．
①∠DHG是∠BGH的内联角吗？请说明理由；
② 过点O的直线分别交直线CD、AB于点P、Q，若∠α=60°且∠EOP是图中某个角的内联角．请直接写出∠EOP是哪个角的内联角，以及此时∠EOP的度数．
【答案】(1)①80；②100°
(2)①是，理由见解析；②当∠EOP是∠AGH的内联角时，∠EOP=100°；当∠EOP是∠CPO的内联角时，∠EOP=130°；当∠EOP是∠OPD的内联角时，∠EOP=160°
【分析】本题考查同旁内角，平行线的性质，几何图形中角度的计算，三角形的外角，掌握内联角的定义，是解题的关键：
（1）①根据内联角的定义进行求解即可；②根据平行线的性质和内联角的定义，进行求解即可；
（2）①根据邻补角求出∠DHG和∠BGH的度数，再根据内联角的定义进行判断即可；②分三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：①∵∠β是∠α的内联角，
∴∠β=∠α+20°，
∵∠α=60°，
∴∠β=60°+20°=80°；
故答案为：80；
②∵∠β是∠α的内联角，
∴∠β=∠α+20°，
∵l1∥l2，
∴∠α+∠β=180°，
∴∠α+∠α+20°=180°，
∴∠α=80°，
∴∠β=80°+20°=100°；
（2）①是，理由如下：
∵∠β是∠α的内联角，
∴∠β=∠α+20°，
∵∠DHG=180°-α，∠BGH=180°-β，
∴∠BGH=180°-α-20°，
∴∠BGH+20°=180°-α-20°+20°=180°-α=∠DHG，
又∵∠DHG、∠BGH是同旁内角，
∴∠DHG是∠BGH的内联角；
②∵∠β是∠α的内联角，∠α=60°，
∴∠β=∠α+20°=80°，
当直线位于如下图所示位置时：
∴当∠EOP是∠AGH的内联角时，则：∠EOP=∠β+20°=100°，
当∠EOP是∠CPO的内联角时，∠EOP=∠CPO+20°=60°+180°-∠EOP+20°=260°-∠EOP，解得：∠EOP=130°
当直线位于如下图所示位置时：
∵∠AGH=80°,∠CHG=60°，
∴∠BGH=180°-∠AGH=180°-80°=100°，
∠GHD=180°-∠CHG=180°-60°=120°，

若∠EOP是∠BGO的内联角，则
∠EOP=∠BGO+20°=100°+20°=120°，
∵∠EOP=∠GHD+∠OPH=120°+∠OPH>120°，
∴∠EOP=120°（舍去）．
若∠EOP是∠DPO的内联角，则
∠EOP=∠DPO+20°=120°+180°-∠EOP+20°=320°-∠EOP，
得∠EOP=160°，
综上：当∠EOP是∠AGH的内联角时，∠EOP=100°；当∠EOP是∠CPO的内联角时，∠EOP=130°；当∠EOP是∠OPD的内联角时，∠EOP=160°．
【考点26 阅读理解类问题】
【例26】（24-25七年级·北京丰台·期末）阅读下列材料：
如图，点P是线段AB，CD所在直线之间的一点，且AB∥CD，连接PA，AC．
小马同学通过观察，度量，提出猜想：
∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．
接着他时猜想进行了证明，证明思路是：
如图1，过点P作PM∥AB，由AB∥CD，可得PM∥CD．根据平行线的性质，可得∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，从而得证∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．
请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题
(1)如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且AB∥CD，连接PA，PC．用等式表示∠BAP，∠APC，∠PCD之间的数量关系，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，∠BAP和∠PCD的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示∠AMC与∠APC之间的数量关系．
【答案】(1)∠APC=∠BAP-∠PCD，证明见解析
(2)图见详解，∠AMC=12∠APC（或∠APC=2∠AMC）
【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，三角形外角的定义以及性质，对顶角相等等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点P作PN∥AB，由平行线的性质得出∠A=∠APN，由平行线公理可得出PN∥CD，再由平行线的性质得出∠C=∠1，由角的和差关系可得出∠APC=∠APN-∠1，等量代换可得出∠APC=∠A-∠C，即∠APC=∠BAP-∠PCD．
（2）根据题意补全图形即可，根据角平分线的定义可得出∠PAN=12∠BAP，∠FCE=12∠PCD，由三角形外角的定义可得出∠PAN=∠PEN+∠APC，∠FCE=∠AMC+∠CEM，由对顶角相等可得出∠PEN=∠CEM，进而可得出∠APC=∠PAN-∠FCE+∠AMC，等量代换后结合（1）可得出∠APC=12∠APC+∠AMC，进一步即可得出结果．
【详解】（1）解：过点P作PN∥AB，
∴∠A=∠APN
∵AB∥CD，
∴PN∥CD
∴∠C=∠1，
∵∠APC=∠APN-∠1
∴∠APC=∠A-∠C，
即∠APC=∠BAP-∠PCD．
（2）根据题意，补全图形如下：
∵NM平分∠BAP，FM平分∠PCD，
∴∠PAN=12∠BAP，∠FCE=12∠PCD，
∵∠PAN=∠PEN+∠APC，∠FCE=∠AMC+∠CEM， 且∠PEN=∠CEM
∴∠PAN-∠APC=∠FCE-∠AMC，
∴∠APC=∠PAN-∠FCE+∠AMC，
∴∠APC=12∠BAP-12∠PCD+∠AMC=12∠BAP-∠PCD+∠AMC，
由（1）知∠APC=∠BAP-∠PCD，
∴∠APC=12∠APC+∠AMC，
即∠AMC=12∠APC
【变式26-1】（24-25七年级·上海闵行·期中）阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．
比如47×43，它们乘积的前两位是4×4+1=20，它们乘积的后两位是7×3=21，所以47×43=2021；
再如62×68，它们乘积的前两位是6×6+1=42，它们乘积的后两位是2×8=16，所以62×68=4216；
又如21×29，2×2+1=6，不足两位，就将6写在百位：1×9=9，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以21×29=609
该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；
设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数），则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10a+10-b．
两数相乘可得：
(10a+b)[10a+(10-b)]
=100a2+10a(10-b)+10ab+b(10-b)
=100a2+100a-10ab+10ab+b(10-b)
=100a2+100a+b(10-b)
=100a(a+1)+b(10-b).
（注：其中aa+1表示计算结果的前两位，b10-b表示计算结果的后两位．）
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．
如44×73、77×28、55×64等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以44×73为例写出你的计算步骤；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为___________．
设另一个因数的十位数字是b，则该数可以表示为___________．（a、b表示1~9的正整数）
（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：100aa+1+b10-b的运算式：____________________
【答案】（1）4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）11a，9b+10；（3）（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【分析】（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则 可得出（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
规律：先将和为10的数的十位数字加1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，由此可得出结论；
（2）根据两位数的表示方法即可得出结论．
（3）根据（1）即可得出结论．
【详解】（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
规律：先将和为10的数的十位数字加1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，∴4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a=11a．
设另一个因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+（10-b）=9b+10．
故答案为11a，9b+10．
（3）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
故答案为（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和数字的计算规律，寻找计算规律是前提，并加以运用和推广是关键，考查了数学的类比思想，整式的运算是解题的基础．
【变式26-2】（24-25七年级·山东济南·期末）【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因为n+m+p=p+n+m=m+p+n，所以m+n+p是对称式．而交换式子m-n中字母m，n的位置，得到代数式n-m，因为m-n≠n-m，所以m-n不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)下列代数式中是对称式的有_____(填序号)
①2m⋅2n⋅2p
②-2mn
③-2m-2n
④m-n2
(2)若关于m，n的代数式km-n2+km2-n2为对称式，则k的值为_____；
(3)在(2)的条件下，已知上述对称式km-n2+km2-n2=-10，且mn=1，求m-n2的值．
【答案】(1)①②④
(2)-1
(3)4
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是理解对称式的含义，掌握乘法公式．
（1）根据对称式的定义对各个式进行判断即可；
（2）根据对称式的定义，交换m，n的位置，得到kn-m2+kn2-m2，由题意得km-n2+km2-n2=kn-m2+kn2-m2，整理得k+1=0，求出k即可；
（3）把（2）中所求k的值代入km-n2+km2-n2=-10，求出m2+n2的值，再利用完全平方公式进行解答即可．
【详解】（1）：解：①∵2m⋅2n⋅2p=2p⋅2n⋅2m=2p+m+n，
∴①是对称式；
②∵[-2m]n=[-2n]m=-2mn，
∴②是对称式；
③∵-2m-2n≠-2n-2m，
∴③不是对称式；
④∵m-n2=n-m2，
∴④是对称式，
故答案为：①②④；
（2）解：∵关于m，n的代数式km-n2+km2-n2为对称式，
∴ km-n2+km2-n2=kn-m2+kn2-m2，
km-n2-kn-m2+km2-kn2+m2-n2=0，
k(m2-n2)+(m2-n2)=0，
k+1(m2-n2)=0，
∴k+1=0，
即k=-1；
（3）解：∵k=-1，
∴ -m-n2-m2-n2=-10，
-m2+2mn-n2-m2-n2=-10，
-2m2-2n2+2mn=-10，
-2(m2+n2)=-10-2mn，
2(m2+n2)=10+2mn，
m2+n2=5+mn=6，
∴ m-n2
=m2+n2-2mn
=6-2×1
=6-2
=4．
【变式26-3】（24-25七年级·山西临汾·期中）阅读下列材料，并完成相应任务．
如图1，物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角．在反射现象中，反射角等于入射角．因为法线ON垂直于反射面，且反射角r=入射角i，所以∠1=∠2(依据)．利用这个规律，人们制造了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，AB，CD是平面镜，m是射入潜望镜的光线，n是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，在反射现象中，蕴含了丰富的数学道理．

任务：
(1)上述材料中的“依据”指的是______；如图2，若入射光线m与反射光线n平行，则AB与CD的位置关系是______．
(2)改变两面平面镜AB，CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．如图3，将平面镜AB与CD在B处相接，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且∠1=48°，求∠6的度数．
【答案】(1)等角的余角相等；AB∥CD
(2)∠6=96°
【分析】（1）根据余角的性质解答即可；求出∠5=∠6，根据平行线的判定得出即可．
（2）根据平行线的性质得出∠6=180°-∠5，即可求解．
【详解】（1）(1)等角的余角相等；AB∥CD．
由材料可知∠1=∠2，∠4=∠3，
∵m∥n，
∴∠5=∠6，
∴180°-∠1+∠2=180°-∠4+∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB∥CD．
故答案为：等角的余角相等；AB∥CD
（2）解：依题意，得∠2=∠1=48°，
∴∠5=180°-∠1-∠2=84°．
∵ m∥n，
∴∠6=180°-∠5=96°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
抛掷次数m
500
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
“正面向上”的次数n
265
512
793
1034
1306
1558
2083
2598
“正面向上”的频率nm（精确到0.001）
0.530
0.512
0.529
0.517
0.522
0.519
0.521
(_______)(_______)=2a2+3ab+b2
抛掷次数m
500
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
“正面向上”的次数n
265
512
793
1034
1306
1558
2083
2598
“正面向上”的频率nm（精确到0.001）
0.530
0.512
0.529
0.517
0.522
0.519
0.521
(_______)(_______)=2a2+3ab+b2