期末复习必考解答压轴题十六大题型总结-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）（原卷版+解析版）

这是一份期末复习必考解答压轴题十六大题型总结-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）（原卷版+解析版），共18页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11273" 【题型1 巧用幂的逆向运算】 PAGEREF _Tc11273 \h 1
\l "_Tc21169" 【题型2 利用幂的运算比较大小】 PAGEREF _Tc21169 \h 2
\l "_Tc13024" 【题型3 整式乘法中不含某项问题】 PAGEREF _Tc13024 \h 3
\l "_Tc32466" 【题型4 多项式乘法中的规律性问题】 PAGEREF _Tc32466 \h 5
\l "_Tc23213" 【题型5 巧用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc23213 \h 7
\l "_Tc14456" 【题型6 乘法公式的几何背景】 PAGEREF _Tc14456 \h 9
\l "_Tc31155" 【题型7 相交线中的旋转问题】 PAGEREF _Tc31155 \h 11
\l "_Tc23070" 【题型8 相交线中的角度综合问题】 PAGEREF _Tc23070 \h 13
\l "_Tc28859" 【题型9 平行线中的辅助线构造】 PAGEREF _Tc28859 \h 14
\l "_Tc22712" 【题型10 平行线中的定值问题】 PAGEREF _Tc22712 \h 16
\l "_Tc25330" 【题型11 平行线中的角度综合问题】 PAGEREF _Tc25330 \h 18
\l "_Tc27815" 【题型12 与三角形有关的线段】 PAGEREF _Tc27815 \h 20
\l "_Tc18829" 【题型13 与图形角度有关的计算】 PAGEREF _Tc18829 \h 21
\l "_Tc11063" 【题型14 全等三角形的性质与判定的综合运用】 PAGEREF _Tc11063 \h 23
\l "_Tc10710" 【题型15 设计轴对称图案】 PAGEREF _Tc10710 \h 24
\l "_Tc23825" 【题型16 简单的轴对称图形】 PAGEREF _Tc23825 \h 25
【题型1 巧用幂的逆向运算】
【例1】（24-25七年级·江苏盐城·期中）如果xn=y，那么我们规定x,y=n．例如：因为42=16，所以4,16=2．
(1)2,8=______ ；若5,y=3，则y=______ ；
(2)已知3,15=a，3,6=b，3,s=c，若a+b=c，求s的值；
(3)若2,20=a，5,20=b，令t=3aba+2b，求t的值．
【变式1-1】（24-25七年级·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：a※b=(ab)m+(ba)n（其中m、n为常数），如3※2=(32)m+(23)n．
(1)填空：当m=1，n=2023时，2※(1)=__________；
(2)若1※4=10，2※2=15，求42m+n−1的值．
【变式1-2】（24-25七年级·安徽安庆·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d(n)．由定义可知：10b=n与b=d(n)表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：d(10)=______，d10−2=_______；
“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，dmn=d(m)−d(n)；
(2)根据运算性质，填空：da3d(a)=______．（a为正数）
(3)若d(2)=0.3010，分别计算d(4)，d(5)．
【变式1-3】（24-25七年级·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“⊙”，对于任意的有理数a和b，有a⊙b=am⋅bn，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ap⋅aq=ap+q；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即apq=apq．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题．
(1)已知2⊙3=108，
①求 m， n 的值；
②若a⊙b=32，b⊙a=243，求a⋅b的值．
(2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“⊙”满足a⊙b+c=a⊙b+a⊙c，且存在某个常数k，使得a⊙k−2=a2，求 m，n的值和常数k．
【题型2 利用幂的运算比较大小】
【例2】（24-25七年级·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂am与bn（a，b都是正数，m，n都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论：
①若a=b，m>n，则am>bn．（底数相同，指数大的幂大）
②若a>b，m=n，则am>bn．（指数相同，底数大的幂大）
尝试应用：试比较2100与375的大小．
解：因为2100=2425=1625，
375=3325=2725，……（第1步）
又1645，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较2710与325的大小，因为2710=3310=330，30>25，所以330>325，即2710>325．
(1)比较164，643的大小；
(2)比较2555，3444，4333的大小．
【变式2-3】（24-25七年级·安徽合肥·专题练习）请阅读下列材料：若a3=2，b5=3，比较a，b的大小关系；
解：∵a15=a35=25=32，b15=b53=33=27，且32>27
∴a15>b15
∴a>b
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______．
A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方
(2)已知a3=4，b11=8，试比较a，b的大小．
【题型3 整式乘法中不含某项问题】
【例3】（24-25七年级·福建漳州·期中）小华同学在计算(2x+3)(x−2)=2x2−4x+3x−6=2x2−x−6后，爱思考的他发现：2×(−2)+1×3=−1是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，(x+2)(x−2)(3x+4)=(x2−4)(3x+4) =3x3+4x2−12x−16，x项的系数为−12；用他发现的方法计算：1×(−2)×4+1×2×4+3×2×(−2)=−12，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题．
(1)直接写出(2x+3)(5x−1)相乘，积中x项的系数
(2)若(x+1)2024=a1x2024+a2x2023+a3x2022+⋯+a2024x+a2025，直接写出a2024的值；
(3)若(x+1)(2x−3)(4x+p)的积中不含x项，求p的值；
(4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示，
该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值．
【变式3-1】（24-25七年级·安徽合肥·专题练习）若(2x2−mx+2)(x2+3x−n)的乘积中不含 x2 与 x3 项，求m2−n2的值．
【变式3-2】（24-25七年级·浙江杭州·期中）定义abcd=ad−bc，如1324=1×4−3×2=−2．
(1)若x+1x−1x−1x+1=8，求x的值；
(2)若x+mx−1nxx+1的值与x无关，求3nm值．
【变式3-3】（24-25七年级·北京·期中）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式(a+3)x−6y+5，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴ a+3=0，解a=−3．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式mx−4x+3的值与x的取值无关，则m值为_________．
（2）已知A=(2x+1)(x−2),B=xm−x，且A+2B的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．

【题型4 多项式乘法中的规律性问题】
【例4】（24-25七年级·山东济南·期中）（1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为a, b的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得a+b2=a2+2ab+b2．
若a2+b2=40, ab=12，则该大正方形的边长为___________；
（2）【知识运用】两正方形如图2方式摆放．正方形ABCD边长记为m，正方形CEFG边长记为n，点B, C, G在一条直线上，点M为BG的中点，若m+n=10, mn=15，求图中阴影部分的面积；
（3）【知识拓展】如图3，观察棱长为a+b的大正方体的分割，可得到a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3．
若已知a+b=5, ab=2，则a3+b3=___________．
（4）【民族骄傲】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了a+bn（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应a+b2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
下列说法：正确的有
①a+b6展开式各项系数之和为64；
②a+b7展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项；
③25−5×24+10×23−10×22+5×2−1=1；
④若x2−2x−16=a12x12+a11x11+a10x10+⋯+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a12+a11+a10+⋯+a2 +a1=64；
⑤585−4能被28整除．
【变式4-1】（24-25七年级·四川达州·期中）观察并验证下列等式：
13+23=(1+2)2=9
13+23+33=(1+2+3)2=36
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100
(1)续写等式13+23+33+43+53=__________．
(2)根据上述等式中所体现的规律，猜想结论
13+23+33+⋯+(n−1)3+n3=__________．
(3)利用（2）中的结论计算：
①33+63+93+⋯+543+573
②13+33+53+73+⋯+(2n−1)3
【变式4-2】（24-25七年级·广东茂名·期中）（1）计算并观察下列各式填空：
(x−1)(x+1)= x2−1；
(x−1)(x2+x+1)= x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)= ；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格：
(x−1)（ ）=x6−1；
（3）利用你发现的规律计算：(x−1)(x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ；
（4）利用该规律计算：1+2+22+23+…+22021的值．
【变式4-3】（2025·浙江温州·一模）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：22=1+12+2；第2个等式：32=2+22+3；
第3个等式：42=3+32+4；第4个等式：52=4+42+5；
(1)请用此方法拆分20242．
(2)请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【题型5 巧用乘法公式求值】
【例5】（24-25七年级·广东广州·期末）阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；
条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；
我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
x2+2x+5=x2+2⋅x⋅1+12−12+5=(x+1)2+4，
∵(x+1)2≥0，
∴x2+2x+5≥4（满足条件①）
当x=−1时，x2+2x+5=4（满足条件②）
∴4是x2+2x+5的下确界．
又例如：
x2+2x+5=x2+2⋅x⋅1+12−12+5=x+12+4，
由于|x|≠−1，所以x2+2|x|+5≠4，（不满足条件②）
故4不是x2+2|x|+5的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)求x2−4x+1的下确界．
(2)若代数式2x2+mx+3的下确界是1，求m的值．
(3)求代数式x2+2y2+2xy−2x−4y+10的下确界．
【变式5-1】（24-25七年级·陕西西安·阶段练习）（1）问题探究：已知a+b=3，ab=2，可利用完全平方公式得：a2+b2=______．
（2）自主推导：(a+b+c)2=______．
根据上面的公式计算：已知a+b+c=6，ab+bc+ac=11，求a2+b2+c2=______ ．
（3）问题解决：已知a+b+c=0，a2+b2+c2=6，求a4+b4+c4的值．
【变式5-2】（24-25七年级·浙江舟山·期末）我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成：
(1)算法赏析：若x满足1−xx−5=2，求1−x2+x−52的值．
解：设(1−x)=a,(x−5)=b,则1−xx−5=ab=2, a+b=(1−x)+(x−5)=−4
∴1−x2+x−52=a2+
请继续完成计算．
(2)算法体验：若x满足30−xx−20=−580，求30−x2+x−202的值；
(3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积
【变式5-3】（24-25七年级·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．

(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足2−xx−5=1，可设2−x=a，x−5=b，则ab=1，a+b=−3．则a2+b2=______．
(3)若x满足x−105−x=3，则x−102+5−x2的值为______；
(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为3a+ba+b的大长方形，则x+y+z=______；
(5)如图3，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是24，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
【题型6 乘法公式的几何背景】
【例6】（24-25七年级·吉林·阶段练习）【观察】如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出a+b2，a−b2，ab之间的等量关系____________________________；
【应用】若m+n=6，mn=5，则m−n=_______________；
【拓展】如图③，正方形ABCD的边长为x，AE=5，CG=15，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．
【变式6-1】（24-25七年级·河南郑州·开学考试）如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．
(1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________；
(2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________；
(3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________．
(4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题：
①已知4m2−n2=12，2m+n=4，则2m−n的值为___________．
②直接写出下面算式的计算结果：1−1221−1321−1421−152⋯1−120232．
【变式6-2】（24-25七年级·浙江·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
(1)用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
(2)若a+b=16，ab=40，求S1+S2的值；
(3)当S1+S2=76时，求出图3中阴影部分的面积S3．
【变式6-3】（24-25七年级·山西太原·阶段练习）【知识生成】
我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
(1)根据图1，可以得到等式：a+b2=a2+2ab+b2，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）：
A．分类讨论 B．转化 C．由特殊到一般 D．数形结合
(2)根据图2，可以得到等式：______；
(3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______；
②已知a+b+c=9，ab+bc+ac=26．利用①中所得到的等式，直接写出代数式a2+b2+c2的值为______；
(4)画出一个几何图形，使它的面积能表示2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2．
【知识迁移】
(5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______；
②已知a+b=5，ab=6，利用①中所得的等式，直接写出代数式a3+b3的值为______．
(6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
【题型7 相交线中的旋转问题】
【例7】（24-25七年级·全国·单元测试）如图，O，D两点在直线AB上，在AB的同侧作直角三角形DOE和射线OC，使∠DOE=90°,∠BOC=30°．
(1)分别求∠BOC的余角和补角的度数；
(2)将△DOE绕点O按每秒5°的速度逆时针方向旋转．
①在旋转一周的过程中，第几秒时，直线OE恰好平分∠BOC，则此时直线OD是否平分∠AOC？请说明理由
②在旋转一周的过程中，满足OE在∠AOC的内部，请探究此时∠AOD与∠COE之间的数量关系，请说明理由．
【变式7-1】（24-25七年级·浙江温州·期末）“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架OP垂直于海平面，叶片OA，OB，OC可绕着轴心O旋转，且∠AOB=∠BOC=∠AOC．
(1)如图2，当OA⊥OP时，求∠BOP的度数．
(2)叶片从图3位置（OA与OP重合）开始绕点O顺时针旋转，若旋转后∠AOP与∠BOP互补，则旋转的最小角度是多少度？
【变式7-2】（24-25七年级·贵州贵阳·期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上．
(1)若按图1的方式摆放，且∠AOC=52°，射线OE平分∠BOC，则∠COE=________．
(2)如图2，∠EOB=60°，将三角尺COD绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOC=α，0°