山东省泰安市2026年数学中考冲刺练习卷（初中数学有答案解析）

这是一份山东省泰安市2026年数学中考冲刺练习卷（初中数学有答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共40分）
1．（本题4分）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（本题4分）银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源．16亿可用科学记数法记为（ ）
A．B．C．D．1600000000
3．（本题4分）某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（）
A．B．
C．D．
4．（本题4分）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．5D．10
6．（本题4分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（本题4分）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（本题4分）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．乙车先到达地B．、两地相距
C．甲车的平均速度为D．在时，乙车追上甲车
9．（本题4分）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（）
A．B．C．D．2
10．（本题4分）若方程的两个根是和，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
二、填空题（共20分）
11．（本题4分）因式分解____________．
12．（本题4分）若式子有意义，则的取值范围是________．
13．（本题4分）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______．
14．（本题4分）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下：
根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______．
15．（本题4分）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________．
三、解答题（共90分）
16．（本题8分）计算与化简：
(1)计算：．
(2)化简：．
17．（本题8分）解方程和不等式组
(1)解方程：；
(2)解不等式组：
18．（本题9分）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式
(2)求的面积；
(3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
19．（本题9分）如图所示，某景区内，游客在山脚平地C处测得悬崖观光电梯顶端A的仰角为，沿登山步道向上走到D处测得电梯顶端A的仰角为．已知山脚到电梯底部的水平距离等于50米，山坡坡度为．
(1)求悬崖观光电梯的高度；
(2)求此人所在位置点的垂直高度（结果保留一位小数，参考数据：）．
20．（本题10分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”、“陶艺”、“园艺”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有_________名学生参与了本次问卷调查；“编程”在扇形统计图中所对应的圆心角是_________度；
(2)请补全条形统计图；
(3)小刚和小明分别从“礼仪”、“陶艺”、“园艺”、“厨艺”这四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
21．（本题11分）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车进行销售．已知购进1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元．A，B两种型号新能源汽车进价与售价如下表所示：
(1)求a，b的值．
(2)若该汽车销售公司一次购进A，B两种型号新能源汽车60辆，其中A型号新能源汽车的数量不少于B型号新能源汽车数量的．问如何进货，才能使销售完所有汽车获得最大利润？最大利润是多少？
22．（本题11分）如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
23．（本题12分）已知二次函数（为常数且）．
(1)当点在该二次函数图象上时，求的值．
(2)已知在该函数图象上．
①若时，有且，求证：．
②若，存在，求的取值范围．
24．（本题12分）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题展开数学实践活动．
(1)如图1，已知等腰绕点逆时针旋转得，连接，．若，，则
是________三角形，请说明理由；
求线段的长度；
(2)如图2，在中，，，，将绕点逆时针旋转α（）得，边所在直线分别交，于，．若是等腰三角形，则________；
(3)如图3，在中，，，，点为的中点，将绕点逆时针旋转（）得，点为上的动点，连接．则的取值范围是________．
等级
低体重
正常
超重
肥胖
人数
6
75
15
4
型号
进价/（万元/辆）
售价/（万元/辆）
A型汽车
a
13
B型汽车
b
30
《山东省泰安市2026年中考冲刺练习卷》参考答案
1．C
【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答．
【详解】解：依题意，，且与是符号不相同，
观察数轴，得，
∴，
则，
∴在和之间，
∴表示1的点可能是，
故选：C
2．B
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为比原整数位数少1的整数进行表示即可．
【详解】解：16亿；
故选B．
3．C
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键．
通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项．
【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A；
由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D；
由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合．
故选：C．
4．D
【分析】先求出甲每小时加工这种零件个，再根据工作效率、工作总量与时间的关系列出方程即可．
【详解】解：由题意，乙每小时加工这种零件个，则甲每小时加工这种零件个，
∵甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，
∴可列方程为．
5．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
设，可证明，则，，那么，再由，即可求解．
【详解】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，
∴两次摸出的都是红球的概率为．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质．
根据圆的内接四边形对角互补可得的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．C
【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可．
【详解】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城，
故选项A、B不符合题意；
甲的速度为：，
乙的速度为：，
故选项C错误，符合题意；
由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车．
故D不符合题意．
故选：C．
9．B
【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，，，
∴（），
∴，．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴是直角三角形，且．
∴．
故选：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键．
10．C
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，．
【详解】解：∵和是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：C
11．
【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：
故答案为：
12．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围．
【详解】解：要使式子有意义，
即，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意得，，，
∴，
∴圆锥侧面展开图的面积为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人，
故答案为：．
15．
【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
由旋转可知，
∴，，，
∴点F、B、C三点共线，
∵ ，
∴ H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
设，
∵，，
∴正方形的边长为3，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程．
16．(1)
(2)
【分析】（）先分别化简二次根式、绝对值、零指数幂，然后计算加减法即可；
（）先通分括号内的式子，同时将括号外除法转化为乘法，然后约分即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
17．(1)
(2)
【分析】（）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
（）根据解一元一次不等式组的步骤，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：，
，
∴或，
解得：；
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：.
18．(1)，；
(2)；
(3)存在，或．
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式；
（）求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可；
（）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案；当时，则，可求出，；设，则，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
把，代入到中得：，解得，
∴一次函数的表达式为，
（2）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵直线经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点的坐标为，，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴与不垂直，
∵与相似，
∴只存在和这两种情况，
当时，则，，
∴，，
∴此时点D为的中点，
∴点D的坐标为；
当时，则，，
∴，，
设，
∴，
解得，
∴，
∴点D的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
19．(1)；
(2)此人所在位置点的垂直高度为米．
【分析】（1）在中，解直角三角形即可求解；
（2）作交延长线于点，作于点，设，则，在和中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
∴；
（2）解：作交延长线于点，作于点，
则四边形是矩形，
在中，，
设，则，
∴，，
在中，，
∴，即，
解得，
答：此人所在位置点的垂直高度为米．
20．(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】（）根据礼仪的人数与所占比例即可求解参与的学生人数；根据编程的人数与总人数可得编程所占比例，根据圆心角的计算方法即可求解；
（）根据算出的园艺、厨艺人数，在条形统计图对应课程位置补画高度匹配的直条；
（）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式即可求解．
【详解】（1）解析： 由扇形图可知，“礼仪”对应圆心角为，条形图中“礼仪”人数为，
因此总参与人数为；
“编程”人数为，对应圆心角为；
（2）厨艺：人 ，
园艺：人 ，
在条形统计图中，对应“园艺”位置补画高度为的长方形，“厨艺”位置补画高度为的长方形即可，
（3）记四门课程分别为（礼仪）、（陶艺）、（园艺）、（厨艺），列表得所有等可能结果：
共有种等可能结果，其中两人选到同一门课程的结果有种，
因此：．
21．(1)a的值为10，b的值为25
(2)购进A型汽车15辆，B型汽车45辆，销售完后获得最大利润，最大利润是270万元
【分析】本题考查了运用二元一次方程组解决实际问题以及设计最优方案．
（1）根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆，销售利润为w．先根据“A型号新能源汽车的数量不少于B型号新能源汽车数量的”，列出不等式，求出m的取值范围，再运用（1）中的结论，结合已知条件，表达销售利润w，根据增减性，求出当时，w取最大值，从而得出最后答案．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得；
答：a的值为10，b的值为25．
（2）解：设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆，销售利润为w．
∵，
∴解得．
由题意，得．
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取最大值，最大值为（万元），
此时．
答：购进A型汽车15辆，B型汽车45辆，销售完后获得最大利润，最大利润是270万元．
22．(1)；
(2)．
【分析】（1）连接，利用切线的性质结合已知判定出，得出，由等弧对等角得，再利用角的等量代换即可解答；
（2）作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用垂径定理、勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：作于点，如图，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
23．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）把点代入二次函数解析式即可解答；
（2）①当时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线，根据题意推出到对称轴的距离比到对称轴的距离小即可解答；
②根据，可得或，代入不等式即可解答．
【详解】（1）解：把代入抛物线解析式，
得，
解得；
（2）①证明：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
，
为到抛物线对称轴直线的距离，
为到抛物线对称轴直线的距离，
，
抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大，
；
②解：
或，
当时，，
，
解得，
解得，
∴不等式组无解；
当时，即，
，
，
解得，
解得，
∴不等式组的解集为，
综上，．
24．(1)
等边
线段的长度为；
(2)或
(3)
【分析】（1）由旋转可得，，根据等边三角形的判定，即可求解；由勾股定理，可得，由旋转可得，，延长交于点，由等边三角形的性质，可得，证明，可得，由三线合一，可得，，根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得，根据勾股定理，可得，即可得线段的长度；
（2）根据勾股定理，可得，由旋转可得，，，，，可得，设，则，按照，​，进行分类讨论，即可求解；
（3）根据题意可得，可得，根据三角形的面积，结合题意可得的最小值和最大值，当，且点在线段上时，、取得最小值，当点与点重合，且点在的延长线上时，、取得最大值，根据线段之间的和差进行计算，可得的最小值和最大值，即可得的取值范围．
【详解】（1）解：​是等边三角形，理由：
由旋转可得，，
∴​是等边三角形．
在等腰中，​，，
∴，
由旋转可得，，
延长交于点，
∵​是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
由旋转可得，，，，，
∴，
设，则，
为等腰三角形分三种情况：
若，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
解得，
∴，
若​，则，
∴，
∴，
连接，则，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
若，则，
又∵，，
∴，
∴，
∴点和点重合，不符合题意，
综上，或．
（3）解：∵，点为的中点，
∴，
∴，
设点到的距离为，
由旋转可得，，，，
∴，，
∴，
∵点为上的动点，
∴的最小值为，的最大值为，
如图，当，且点在线段上时，、取得最小值，
此时，，，
∴的最小值为，
如图，当点与点重合，且点在的延长线上时，、取得最大值，
此时，，，
∴的最大值为，
∴．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
C
C
C
C
B
C
红
黄
红
(红，红)
(红，黄)
黄
(黄，红)
(黄，黄)
小刚小明