2023年山东省泰安市中考数学试卷(含解析)
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一、选择题(本大题共12小题,共48.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. −23的倒数为( )
A. −32 B. −23 C. 32 D. 23
2. 下列运算正确的是( )
A. 2a+3b=5ab B. (a−b)2=a2−b2
C. (ab2)3=a3b5 D. 3a3⋅(−4a2)=−12a5
3. 2023年1月17日,国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果.科学家们通过对月球样品的研究,精确测定了月球的年龄是20.3亿年,数据20.3亿年用科学记数法表示为( )
A. 2.03×108年
B. 2.03×109年
C. 2.03×1010年
D. 20.3×109年
4. 小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线,得到如图四种图形,则既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 把一块直角三角板和一把直尺如图放置,若∠1=35°,则∠2的度数等于( )
A. 65° B. 55° C. 45° D. 60°
6. 为了解学生的身体素质状况,国家每年都会进行中小学生身体素质抽测.在今年的抽测中,某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试,他们的成绩(单位:个)如下:
7,11,10,11,6,14,11,10,11,9.
根据这组数据判断下列结论中错误的是( )
A. 这组数据的众数是11 B. 这组数据的中位数是10
C. 这组数据的平均数是10 D. 这组数据的方差是4.6
7. 如图,AB是⊙O的直径,D,C是⊙O上的点,∠ADC=115°,则∠BAC的度数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
8. 一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,半径为4,连接OB,OC,OA,若∠CAO=40°,∠ACB=70°,则阴影部分的面积是( )
A. 43π
B. 83π
C. 163π
D. 323π
10. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两.根据题意得( )
A. 11x=9y(10y+x)−(8x+y)=13 B. 10y+x=8x+y9x+13=11y
C. 9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13 D. 9x=11y(8x+y)−(10y+x)=13
11. 如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠A=36°.以点B为圆心,任意长为半径作弧,交AB于点F,交BC于点G,分别以点F和点G为圆心,大于12FG的长为半径作弧,两弧相交于点H,作射线BH交AC于点D;分别以点B和点D为圆心,大于12BD的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN交AB于点E,连接DE.下列四个结论:①∠AED=∠ABC;②BC=AE;③ED=12BC;④当AC=2时,AD= 5−1.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上,点A的坐标为(−6,4);Rt△COD中,∠COD=90°,OD=4 3,∠D=30°,连接BC,点M是BC中点,连接AM.将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转,在旋转过程中,线段AM的最小值是( )
A. 3 B. 6 2−4 C. 2 13−2 D. 2
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
13. 已知关于x的一元二次方程x2−4x−a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是______ .
14. 为了测量一个圆形光盘的半径,小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上,并量出AB=4cm,则这张光盘的半径是______ cm.(精确到0.1cm.参考数据: 3≈1.73)
15. 二次函数y=−x2−3x+4的最大值是______ .
16. 在一次综合实践活动中,某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量.如图,在塔前C处,测得该塔顶端B的仰角为50°,后退60m(CD=60m)到D处有一平台,在高2m(DE=2m)的平台上的E处,测得B的仰角为26.6°.则该电视发射塔的高度AB为______ m.(精确到1m.参考数据:tan50°≈1.2,tan26.6°≈0.5)
17. 如图,在△ABC中,AC=BC=16,点D在AB上,点E在BC上,点B关于直线DE的轴对称点为点B′,连接DB′,EB′,分别与AC相交于F点,G点,若AF=8,DF=7,B′F=4,则CG的长度为______ .
18. 已知,△OA1A2,△A3A4A5,△A6A7A8,…都是边长为2的等边三角形,按如图所示摆放.点A2,A3,A5,…都在x轴正半轴上,且A2A3=A5A6=A8A9=…=1,则点A2023的坐标是______ .
三、解答题(本大题共7小题,共54.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19. (本小题8.0分)
(1)化简:(2−x−1x+2)÷x2+10x+25x2−4;
(2)解不等式组:2x+7>3x+13>x−12.
20. (本小题8.0分)
2022年10月16日至10月22日,中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开.为激励青少年争做党的事业接班人,某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛,依据得分情况将获奖结果分为四个等级:A级为特等奖,B级为一等奖,C级为二等奖,D级为优秀奖.并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据相关信息解答下列问题:
(1)本次竞赛共有______ 名选手获奖,扇形统计图中扇形C的圆心角度数是______ 度;
(2)补全条形统计图;
(3)若该党史馆有一个入口,三个出口.请用树状图或列表法,求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率.
21. (本小题8.0分)
如图,一次函数y1=−2x+2的图象与反比例函数y2=kx的图象分别交于点A,点B,与y轴,x轴分别交于点C,点D,作AE⊥y轴,垂足为点E,OE=4.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)在第二象限内,当y1
22. (本小题8.0分)
为进行某项数学综合与实践活动,小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款,否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个,只能按零售价付款,需用3600元;如果多购买60个,则可以按批发价付款,同样需用3600元,若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同,求这个学校九年级学生有多少人?
23. (本小题6.0分)
如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点F是DC边上的一点,连接AF,将△ADF沿直线AF折叠,点D落在点G处,连接AG并延长交DC于点H,连接FG并延长交BC于点M,交AB的延长线于点E,且AC=AE.
(1)求证:四边形DBEF是平行四边形;
(2)求证:FH=ME.
24. (本小题6.0分)
∧如图,△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形EF⊥AD.
(1)当AF=DF时,求∠AED;
(2)求证:△EHG∽△ADG;
(3)求证:AEEH=ACHC.
25. (本小题10.0分)
如图1,二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点A(−4,0),B(−1,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点P在二次函数对称轴上,当△BCP面积为5时,求P坐标;
(3)小明认为,在第三象限抛物线上有一点D,使∠DAB+∠ACB=90°;请判断小明的说法是否正确,如果正确,请求出D的坐标;如果不正确,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:−23的倒数为−32.
故选:A.
根据倒数的定义解答即可,倒数:乘积是1的两数互为倒数.
本题考查了倒数,掌握倒数的定义是解答本题的关键.
2.【答案】D
【解析】解:A、2a与3b不是同类项,没法合并,故选项A不正确;
B、由完全平方公式得(a−b)2=a2−2ab+b2,故选项B不正确;
C、由积的乘方和幂的乘方得,(ab2)3=a3(b2)3=a3b6,故选项C不正确;
D、单项式乘以单项式,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式,故选项D正确.
故选:D.
利用幂的运算,完全平方公式,单项式乘单项式的运算法则,容易选出D选项
此题考查完全平方公式,幂的运算,单项式乘以单项式,较为基础.
3.【答案】B
【解析】解:20.3亿年=2030000000年=2.03×109年,
故选:B.
科学记数法的表现形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值大于等于10时,n是正数,当原数绝对值小于1时n是负数;由此进行求解即可得到答案.
本题主要考查了科学记数法,解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.
4.【答案】D
【解析】解:A、原图既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B、原图是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C、原图是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D、原图既是中心对称图形,又是轴对称图形,故此选项符合题意;
故选:D.
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
5.【答案】B
【解析】解:∵∠A=30°,∠1=35°,
∴∠EDF=65°,
∵DF//EG,
∴∠BEG=65°,
∵∠B=60°,
∴∠2=180°−∠B−∠BEG=180°−60°−65°=55°.
故选:B.
先根据外角的性质求出∠EDF,再根据平行线的性质求出∠BEG,再根据三角形内角和求出∠2即可.
本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质,解题的关键是熟练运用平行线的性质并灵活运用.
6.【答案】B
【解析】解:这组数据中11出现的次数最多,故众数为11,故选项A不符合题意;
把这组数据从小到大排列,排在中间的数分别为10和11,故中位数10+112=10.5,故选项B符合题意;
这组数据的平均数是:110×(7+11+10+11+6+14+11+10+11+9)=10,故选项C不符合题意;
这组数据的方差为:110×[(7−10)2+4×(11−10)2+2×(10−10)2+(6−10)2+(14−10)2+(9−10)2]=4.6,故选项D不符合题意.
故选:B.
分别根据众数、中位数、平均数以及方差的定义解答即可.
本题考查了众数、中位数、平均数以及方差,掌握相关定义是解答本题的关键.
7.【答案】A
【解析】解:如图,连接OC,
∵∠ADC=115°,
∴优弧ABC所对的圆心角为2×115°=230°,
∴∠BOC=230°−180°=50°,
∴∠BAC=12∠BOC=25°,
故选:A.
连接OC,利用圆周角定理及角的和差求得∠BOC的度数,进而求得∠BAC的度数.
本题考查圆周角定理,结合已知条件求得∠BOC的度数是解题的关键.
8.【答案】D
【解析】解:A、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,则a>0,b>0,所以ab>0,则反比例y=abx应该经过第一、三象限,故本选项不可能;
B、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则a<0,b>0,所以ab<0,则反比例y=abx应该经过第二、四象限,故本选项不可能;
C、一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,则a>0,b<0,所以ab<0,则反比例y=abx应该经过第二、四象限,故本选项不可能;
D、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则a<0,b>0,所以ab<0,则反比例y=abx应该经过第二、四象限,故本选项有可能;
故选:D.
根据一次函数图象判定a、b的符号,根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限.
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题.
9.【答案】C
【解析】解:∵OA=OC,∠CAO=40°,
∴∠CAO=∠ACO=40°,
∴∠AOC=180°−∠40°−40°=100°,
∵∠ACB=70°,
∴∠AOB=2∠ACB=140°,
∴∠BOC=360°−100°−140°=120°,
∴阴影部分的面积是120⋅π×42360=163π.
故选:C.
根据∠CAO=40°,∠ACB=70°和圆周角定理,得出圆心角BOC的度数即可得出阴影部分的面积.
本题主要考查三角形内切圆的知识,熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键.
10.【答案】C
【解析】解:∵甲袋中装有黄金9枚,乙袋中装有白银11枚,称重两袋相等,
∴9x=11y;
∵两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两,
∴(10y+x)−(8x+y)=13.
根据题意可列方程组9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13.
故选:C.
根据“甲袋中装有黄金9枚,乙袋中装有白银11枚,称重两袋相等;两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两”,即可列出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
11.【答案】C
【解析】解:由题意可知,BD是∠ABC的平分线,MN是线段BD的中垂线,
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=180°−36°2=72°,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°=∠A,
∴AD=BD,
在△BCD中,∠C=72°,∠CBD=36°,
∴∠BDC=180°−36°−72°=72°=∠C,
∴BD=BC,
∴AD=BD=BC,
∵MN是BD的中垂线,
∴EB=ED,
∴∠BDE=∠ABD=36°=∠CBD,
∴DE//BC,
∴∠AED=∠ABC,
因此①正确,
∴AE=AD=BD=BC,
因此②正确;
由于DE不是△ABC的中位线,
因此③不正确;
∵∠CBD=∠BAC=36°,∠BCD=∠ACB=72°,
∴△BCD∽△ABC,
∴ACBC=BCCD,
即BC2=AC⋅CD,
设BC=x,则CD=2−x,
∴x2=2×(2−x),
解得x=−1− 5(舍去)或x= 5−1,
即BC= 5−1=AD,
因此④正确,
综上所述,正确的结论有①②④,共有3个,
故选:C.
根据角平分线的定义,等腰三角形的判定和性质,可得到△BCD也是含有36°角的等腰三角形,进而得出AD=BD=BC,再根据三角形内角和定理和等腰三角形的判定,进一步得出AE=AD=BD=BC,对①作出判断;在根据平行线的判定方法可得出DE//BC,对①作出判断;由AE≠BE,可得DE不是△ABC的中位线,对③作出判断,最后再根据相似三角形的判定和性质,得出△BCD∽△ABC,进而求出BC,即AD即可对④作出判断.
本题考查角平分线,等腰三角形的判定和性质,三角形内角和定理以及相似三角形的判定和性质,掌握角平分线的定义,等腰三角形的判定和性质,三角形内角和是180°以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提.
12.【答案】A
【解析】 解:取OB中点N,连接MN,AN.
在Rt△OCD中,OD=4 3,∠D=30°,
∴OC=4,
∵M、N分别是BC、OB的中点,
∴MN=12OC=2,
在△ABN中,AB=4,BN=3,
∴AN=5,
在△AMN中,AM>AN−MN;当M运动到AN上时,AM=AN−MN,
∴AM≥AN−MN=5−2=3,
∴线段AM的最小值是3,
故选:A.
由点M是BC中点,想到构造中位线,取OB中点,再利用三角形两边之差的最值模型.
此题方法较多,可以用三角形两边之差的最值模型,也可用瓜豆模型.
13.【答案】a>−4
【解析】解:根据题意得Δ=(−4)2−4×1×(−a)>0,
解得a>−4.
故答案为:a>−4.
根据判别式的意义得到Δ=(−4)2−4×1×(−a)>0,然后解不等式即可.
本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.
14.【答案】6.9
【解析】解:设光盘的圆心为O,由题意可知:AB,AC切⊙O于C、B,
连接OC,OB,OA,
如图所示:
∵AC,AB分别为圆O的切线,
∴AO为∠CAB的平分线,OC⊥AC,OB⊥AB,又∠CAD=60°,
∴∠OAC=∠OAB=12∠CAB=60°,
在Rt△AOB中,∠OAB=60°,AB=4cm,
∴tan∠OAB=OBAB,
∴OB=tan∠OAB×AB= 3×4=4 3≈6.9(cm),
∴这张光盘的半径为6.9cm.
故答案为:6.9.
设光盘的圆心为O,连接OC,OA,OB,经过圆外一点A的两条直线AC与AB都与圆O相切,根据切线长定理得到AO为两切线的夹角,由∠CAD的度数求出∠OAB的度数为60°,同时由切线的性质得到OB与AB垂直,在直角三角形AOB中,由tan60°等于对边OB与邻边AB之比,将AB及tan60°的值代入,求出OB的长,即为圆的半径.
此题考查了切线的性质,切线长定理,锐角三角函数定义,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
15.【答案】254
【解析】解:y=−x2−3x+4=−(x+32)2+254.
∵a=−1<0,
∴当x=−32时,y取得最大值,最大值=254.
故答案为:254.
将二次函数解析式变形为顶点式,利用二次函数的性质,即可解决最值问题.
本题考查了二次函数的最值,牢记“当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标”是解题的关键.
16.【答案】55
【解析】解:过点E作EF⊥AB,垂足为F,
由题意得:AF=DE=2m,EF=AD,BA⊥DA,
设AC=x m,
∵CD=60m,
∴EF=AD=AC+CD=(x+60)m,
在Rt△ABC中,∠BCA=50°,
∴AB=AC⋅tan50°≈1.2x(m),
在Rt△FBE中,∠BEF=26.6°,
∴BF=EF⋅tan26.6°≈0.5(x+60)m,
∴AB=BF+AF=[2+0.5(x+60)]m,
∴1.2x=2+0.5(x+60),
解得:x=3207,
∴AB=1.2x≈55(m),
∴该电视发射塔的高度AB为约为55m,
故答案为:55.
过点E作EF⊥AB,垂足为F,根据题意可得:AF=DE=2m,EF=AD,BA⊥DA,然后设AC=x m,则EF=AD=(x+60)m,在Rt△ABC中,利用锐角三角函数的定义求出AB的长,再在Rt△FBE中,利用锐角三角函数的定义求出BF的长,从而求出AB的长,最后列出关于x的方程,进行计算即可解答.
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
17.【答案】92
【解析】解:∵△BDE与△B′DE关于DE对称,
∴∠B=∠B′,
又∵∠AFD=∠B′FG,
∴△ADF∽△B′GF,
∴AFB′F=DFGF,
即84=7GF,
∴GF=72,
∴CG=AC−AF−GF
=16−8−72
=92,
故答案为:92.
根据轴对称可得∠B=∠B′,进而得出△ADF∽△B′GF,根据相似三角形的性质可求出FG,进而求出CG.
本题考查相似三角形的判定和性质以及轴对称的性质,掌握轴对称的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提.
18.【答案】(2023, 3)
【解析】解:如图,∵△A1A2O是边长为2正三角形,
∴OB=BA2=1,A1B= 22−12= 3,
∴点A1横坐标为1,点A2横坐标为2,点A3横坐标为3,点A4横坐标为4,…
因此点A2023横坐标为2023,
∵2023÷3=674……1,而674是偶数,
∴点A2023在第一象限,
∴点A2023的纵坐标为 3,
即点A2023(2023, 3),
故答案为:(2023, 3).
根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1,点A2横坐标为2,点A3横坐标为3,点A4横坐标为4,…因此点A2023横坐标为2023,再根据这些正三角形的排列规律得出点A2023在第一象限,求出点A2023的纵坐标为 3,得出答案.
本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性,掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键.
19.【答案】解:(1)原式=2(x+2)−(x−1)x+2⋅(x−2)(x+2)(x+5)2
=2x+4−x+1x+2⋅(x−2)(x+2)(x+5)2
=x+5x+2⋅(x−2)(x+2)(x+5)2
=x−2x+5;
(2)2x+7>3①x+13>x−12②,
解①得:x>−2;
解②得:x<5,
故不等式组的解集为:−2
(2)分别解不等式,进而得出不等式组的解集.
此题主要考查了分式的混合运算以及一元一次不等式组的解法,正确掌握相关运算法则是解题关键.
20.【答案】200 108
【解析】解:(1)本次竞赛获奖选手共有80÷144°360∘=200(名),
则B等级人数为200×25%=50(名),
∴C等级人数为200−(80+50+10)=60(名),
∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×60200=108°,
故答案为:200、108;
(2)补全图形如下:
(3)将三个出口分别记作A、B、C,列表如下:
A
B
C
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
由表知,共有9种等可能结果,其中小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的有3种结果,
所以小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率为39=13.
(1)由A等级人数及其圆心角度数所占比例求出总人数,总人数乘以B等级人数求得其人数,根据各等级人数之和等于总人数求出C等级人数,最后用360°乘以C等级人数所占比例可得答案;
(2)根据以上所求结果即可补全图形;
(3)列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解即可.
本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.
21.【答案】解:(1)∵一次函数y1=−2x+2的图象与y轴,x轴分别交于点C,点D,
∴点C(0,2),点D(1,0),
∵点E(0,4),即OE=4,
∴OC=CE=2,
∵∠AEC=∠DOC=90°,∠ACE=∠DCO,
∴△AEC≌△DCO(SAS),
∴AE=OD=1,
∴点A(−1,4),
∵点A在反比例函数y2=kx的图象上,
∴k=−1×4=−4,
∴反比例函数的关系式为y2=−4x;
(2)方程组y=−2x+2y=−4x的解为x1=−1y1=4,x2=2y2=−2,
∵点A(−1,4),
∴点B(2,−2),
当y1
(3)由于直线PA⊥AB,可设直线PA的关系式为y=12x+b,
把点A(−1,4)代入得,4=−12+b,
解得b=92,
∴直线PA的关系式为y=12x+92,
当y=0时,x=−9,
∴点P的坐标为(−9,0).
【解析】(1)根据一次函数的关系式可求出与x轴,y轴的交点D、点C的坐标,再利用全等三角形的判断和性质得出AE=OD=1,进而确定点A的坐标,再由反比例函数图象上点的坐标特征确定k的值即可;
(2)求出两个函数图象的交点坐标,再根据图象直观得出答案;
(3)求出直线PA的关系式,再根据关系式求出其与x轴的交点坐标即可.
本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标,掌握反比例函数、一次函数的图象和性质是正确解答的前提,确定点的坐标是解决问题的关键.
22.【答案】解:设这个学校九年级学生有x人,
根据题意得:3600x×50=3600x+60×60,
解得:x=300,
经检验,x=300是所列方程的解,且符合题意.
答:这个学校九年级学生有300人.
【解析】设这个学校九年级学生有x人,利用单价=总价÷速度,结合按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同,可列出关于x的分式方程,解之经检验后,即可得出结论.
本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
23.【答案】证明:(1)∵△ADF沿直线AF折叠,点D落在点G处,
∴△ADF≌△AGF,
∴AD=AG,∠AGF=∠ADF=90°,
∴∠AGE=∠ADC=90°,
在Rt△ADC和Rt△AGE中:
AD=AGAC=AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AGE(HL),
∴∠ACD=∠E,
在矩形ABCD中,对角线互相平分,
∴OA=OB,
∴∠CAB=∠ABD,
又∵DC//AB,
∴∠ACD=∠CAB,
∴∠ABD=∠ACD,
∴∠ABD=∠E,
∴DB//FE,
又∵DF//BE,
∴四边形DBEF是平行四边形.
(2)∵四边形DBEF是平行四边形,
∴DF=EB,
又∵DF=FG,
∴FG=EB,
∵DC//AE,
∴∠HFG=∠E,
在△FGH和△EBM中:
∠FGH=∠EBM=90°FG=EB∠HFG=∠E,
∴△FGH≌△EBM(ASA),
∴FH=ME.
【解析】(1)要证四边形DBEF是平行四边形,因为DF//BE,只要证DB//FE,进而证明∠E=∠ABD即可,需证明△ADC≌△AGE;
(2)只要证明△FGH≌△EBM即可.
此题以矩形为载体,考查了平行四边形的判断,三角形全等的知识,比较综合.
24.【答案】(1)解:∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠BAC=45°,∠CED=∠CDE=45°,
∴∠CGE=180°−∠ACB−∠CED=90°,
∵CE=CD,
∴EG=DG=12DE,
∵AF=DF,EF⊥AD,
∴AE=DE,
∴EG=12AE,
∴cos∠AED=EGAE=12,
∴∠AED=60°;
(2)证明:由(1)得:∠CEG=90°,
∴CG⊥DE,
∴∠AGD=∠EGH=∠AFH=90°,
∵∠AHF=∠EHG,
∴∠FAH=∠HEG,
∴△EHG∽△ADG;
(3)证明:如图,
作AQ//BC,交EF的延长线于点Q,
∴△CHE∽△AHQ,
∴QHEH=AHHC,∠Q=∠CEF,∠QAE=∠AEB,
∴EQEH=ACHC,
设∠GEH=∠FAH=α,
由(1)知:AC是DE的垂直平分线,
∴AE=AD,
∴∠EAG=∠FAH=α,
∴∠AEB=∠ACB+∠EAG=45°+α,
∵∠CEF=∠CED+∠GEH=45°+α,
∴∠AEB=∠CEF,
∴∠Q=∠QAE,
∴AE=EQ,
∴AEEH=ACHC.
【解析】(1)可推出EG=DG=12DE,DE=AE,进一步得出结果;
(2)可推出∠FAH=∠GEH,∠AGD=∠EGH=90°,从而得出结论;
(3)作AQ//BC,交EF的延长线于点Q,可推出△CHE∽△AHQ,从而QHEH=AHHC,∠Q=∠CEF,∠QAE=∠AEB,
从而得出EQEH=ACHC,设∠GEH=∠FAH=α,可推出∠EAG=∠FAH=α,从而∠AEB=∠ACB+∠EAG=45°+α,∠CEF=∠CED+∠GEH=45°+α,从而得出∠AEB=∠CEF,从而∠Q=∠QAE,从而推出AE=EQ,从而得出AEEH=ACHC.
本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解决问题的关键是推出AC是DE的垂直平分线.
25.【答案】解:(1)由题意得:C(0,4),
设抛物线的解析式为:y=a(x+4)(x+1),
∴4=a⋅4×1,
∴a=1,
∴y=(x+4)(x+1)=x2+5x+4;
(2)如图1,
过点P作PT//BC,交x轴于点T,作BQ⊥PT于Q,
∴∠QTB=∠CBO,∠TQB=∠BOC=90°,
∴△TBQ∽△BCO,
∴TBBC=BQOC,
∴TB⋅OC=BC⋅BQ,
∵B(−1,0),C(0,4),A(−4,0),
∴OC=4,OB=1,直线BC的解析式为:y=4x+4,抛物线的对称轴为:x=−32,
∴kPT=kBC=4,
由S△PBC=5得,
12BC⋅BQ=5,
∴BC⋅BQ=10,
∴4TB=10,
∴TB=52,
∴OA=OB+TB=1+52=72,
∴T(−72,0),
∴直线PT的解析式为y=4x+14,
当x=−32是,y=4×(−32)+14=4,
∴P(−32,4);
(3)如图2,
存在D(−83,−209),使∠DAB+∠ACB=90°,理由如下:
作BF⊥AC于F,设AD与y轴交于点E,
∴∠BFA=∠BFC=90°,
∴∠ACB+∠CBF=90°,
∵∠ACB+∠DAB=90°,
∴∠DAB=∠CBF,
∵∠AOC=90°,OA=OC=4,
∴∠CAO=45°,AC=4 2,
∵AB=3,
∴AF=BF=AB⋅sin45°= 22AB=3 22,
∴CF=AC−AF=4 2−3 22=5 22,
∴tan∠DAB=tan∠CBD=CFBF=53,
∴OEOA=53,
∴OE4=53,
∴OE=203,
∴E(0,−203),
∴直线AD的解析式为:y=−53x−203,
由y=x2+5x+4y=−53x−203得,
x1=−4y1=0(舍去),x2=−83y2=−209,
∴D(−83,−209).
【解析】(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+4)(x+1),代入点C(0,4),进一步得出结果;
(2)过点P作PT//BC,交x轴于点T,作BQ⊥PT于Q,可得△ABQ∽△BCO,从而 BQOC=ABBC,变形得出AB⋅OC=BC⋅BQ,由S△PBC=5得,12BC⋅BQ=5,从而BC⋅BQ=10,从而求得TB,从而得出点T坐标,进而求得PT的解析式,进一步得出结果;
(3)作BF⊥AC于F,设AD与y轴交于点E,可推出∠DAB=∠CBF,解斜三角形ABC,求得AF和CF,根据tan∠DAB=tan∠CBD=CFBF=53,得出OEOA=53,从而求得OE,进而求得AD的解析式,将其和抛物线的解析式联立,从而求的点D坐标.
本题考查了求二次函数的解析式、一次函数的解析式,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识.
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