2022年山东省泰安市中考数学试卷（Word版，含解析）

2022年山东省泰安市中考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列图形：
   
   其中轴对称图形的个数是

A.  B.  C.  D.

4. 年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约万度的清洁电力．将万度用科学记数法可以表示为

A. 度 B. 度 C. 度 D. 度

5. 如图，，点在直线上，点在直线上，，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，是的直径，，，，则的半径为

A.  B.  C.  D.

7. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是

A. 最高成绩是环 B. 平均成绩是环
C. 这组成绩的众数是环 D. 这组成绩的方差是

8. 如图，四边形中，，，交于点，以点为圆心，为半径，且的圆交于点，则阴影部分的面积为

A.  B.  C.  D.

9. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：

下列结论不正确的是

A. 抛物线的开口向下
B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线与轴的一个交点坐标为
D. 函数的最大值为

10. 我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是

A.  B.
C.  D.

11. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，点为的中点，连接并延长交于点，，下列结论：；；四边形是菱形；，其中正确结论的个数是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 计算：______．
14. 如图，四边形为平行四边形，则点的坐标为______．

15. 如图，在中，，过点、，与交于点，与相切于点，若，则______．
    
    
     

16. 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为______结果精确到．

17. 将从开始的连续自然数按以下规律排列：
    
    若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示，则表示的有序数对是______．
18. 如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，则的长度为______．
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19. 化简：；
    解不等式：．

四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）

20. 年月日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下组满分分，组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
    本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，频数分布直方图中______，所抽取学生成绩的中位数落在______组；
    补全学生成绩频数分布直方图；
    若成绩在分及以上为优秀，学校共有名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
    学校将从获得满分的名同学其中有两名男生，三名女生中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．

21. 如图，点在第一象限，轴，垂足为，，，反比例函数的图象经过的中点，与交于点．
    求值；
    求的面积．

22. 泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了种茶盒，种茶盒，共花费元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了种茶盒，种茶盒，共花费元．求第一次购进的、两种茶每盒的价格．
23. 如图，矩形中，点在上，，与相交于点，与相交于点．
    若平分，求证：；
    找出图中与相似的三角形，并说明理由；
    若，，求的长度．

24. 若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与轴的另一交点为．
    求二次函数的表达式；
    若点在直线上，且在第四象限，过点作轴于点．
    若点在线段上，且，求点的坐标；
    以为对角线作正方形点在右侧，当点在抛物线上时，求点的坐标．

25. 问题探究
    在中，，分别是与的平分线．
    若，，如图，试证明；
    将中的条件“”去掉，其他条件不变，如图，问中的结论是否成立？并说明理由．
    迁移运用
    若四边形是圆的内接四边形，且，，如图，试探究线段，，之间的等量关系，并证明．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：原式
．
故选：．
根据有理数的乘法法则计算即可．
本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与相乘都得是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项；根据同底数幂的除法判断选项；根据完全平方公式判断选项．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：是轴对称图形；
是轴对称图形；
不是轴对称图形；
是轴对称图形；
故选：．
根据图形对称的定义判定就行．
考查轴对称图形的定义，关键要理解轴对称图形的定义．
 

4.【答案】

【解析】解：万，
故选：．
根据万，然后写成科学记数法的形式：，其中，为正整数即可．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握万是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：如图，

，，
，
，，
，
，
．
故选：．
利用等腰三角形的性质得到，利用平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题的关键是注意运用两直线平行，同旁内角互补．
 

6.【答案】

【解析】解：连接并延长交于点，连接，
，
，
，
，
，
是直径，
，
在中，，，
，
的半径为．
故选：．
根据圆周角定理及推论解答即可．
本题主要考查了圆周角定理及推论，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意可知，最高成绩是环，故选项A不合题意；
平均成绩是环，故选项B不合题意；
这组成绩的众数是环，故选项C不合题意；
这组成绩的方差是，故选项D符合题意．
故选：．
根据题意分别求出这组数据的平均数、众数和方差即可判断．
此题主要考查了折线统计图，加权平均数，众数和方差，掌握平均数和方差的计算公式是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，，交于点，
，
，
，
，
过点作交于点，
，，
，，
，
阴影部分的面积，
故选：．
根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．
本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由表格可得，
，
解得，
，
该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意，
当时，，
当时，，故选项C错误，符合题意；
函数的最大值为，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
 

10.【答案】

【解析】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
一株椽的价钱为文．
依题意得：．
故选：．
设这批椽的数量为株，则一株椽的价钱为文，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：点为的中点，
，
又，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即，故正确；
在平行四边形中，，，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，点为的中点，
，
平行四边形是菱形，故正确；
，
在中，，
，故正确；
在平行四边形中，，
又点为的中点，
，故正确；
正确的结论由个，
故选：．
通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断；根据三角形中线的性质判断．
本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：如图，取的中点，连接，．

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的．
，
，
的最小值为．
故选：．
如图，取的中点，连接，证明，推出，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的利用勾股定理求出，可得结论．
本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

13.【答案】

【解析】解：原式

，
故答案为：．
化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形为平行四边形，且，，
点是点向左平移个单位所得，
，
．
故答案为：．
直接根据平移的性质可解答．
本题考查了平行四边形的性质和平移的性质，属于基础题，解答本题的关键是找出平移的规律．
 

15.【答案】

【解析】解：连接，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：根据图形可知．
，，
在中，，，
．
，，，
，
在中，，，
．
答：的长度约为．
故答案为：．
本题涉及遮阳棚的计算问题，光线是平行光线，所以在直角三角形中，知道一个锐角的度数，一条边的长度，可以运用直角三角形边角的关系解决问题．
考查直角三角形中边角的关系，关键是能正确的选择运用三角函数解决问题．
 

17.【答案】

【解析】解：第行的最后一个数是，第行有个数，
在第行倒数第二个，
第行有：个数，
的有序数对是．
故答案为：．
根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案．
本题考查了规律型：数字的变化类，掌握第行的最后一个数是，第行有个数是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，连接，

四边形为正方形，
，，
点是的中点，
，
由翻折可知：，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得．
则的长度为．
故答案为：．
连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明≌，可得，设，则，，然后根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

19.【答案】解：原式



；
，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化，得：．

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法；
根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化”的步骤解一元一次不等式．
本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则以及解一元一次不等式的基本步骤是解题关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为：名，
组的人数为：名，
，
所抽取学生成绩的中位数是第个和第个成绩的平均数，，
所抽取学生成绩的中位数落在组，
故答案为：，，；
组的人数为：人，
补全学生成绩频数分布直方图如下：

人，
答：估计该校成绩优秀的学生有人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有种，
抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为．
由组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生成绩，即可解决问题；
求出组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；
由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：，，
，
，
由勾股定理得：，
，，
，
是的中点，
，
；
当时，，
，
，


．

【解析】先根据，可得，根据，由此可得的坐标，由是的中点，可得点的坐标，从而得的值；
先求点的坐标，根据面积差可得结论．
本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，中点坐标公式，解题的关键是根据待定系数法求出反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
 

22.【答案】解：设第一次购进种茶的价格为元盒，种茶的价格为元盒，
依题意得：，
解得：．
答：第一次购进种茶的价格为元盒，种茶的价格为元盒．

【解析】设第一次购进种茶的价格为元盒，种茶的价格为元盒，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，

在矩形中，，，，
，，
，
，
又平分，
，
，
，
；
解：与相似的三角形有，，，理由如下：
由可得，，
，
∽，
，，
∽，
，，
∽；
解：∽，
，
，即，
，
∽，
，
，
，
联立，可得负值舍去，
．

【解析】根据矩形的性质和角平分线的定义，求得，从而求证；
根据相似三角形的判定进行分析判断；
利用相似三角形的性质分析求解．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
 

24.【答案】解：二次函数的图象经过点，
，
对称轴为直线，经过，
，
解得，
抛物线的解析式为；

如图中，

设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
，关于直线对称，
，
设，
轴，
，
，
，
，
，
点；

如图中，连接，交于点设，则点，

四边形是正方形，
，，，
轴，
，
，
，
，
点在抛物线上，
，
解得，，
点在第四象限，
舍去，
，
点坐标为．

【解析】利用待定系数法求出，，即可；
求出直线的解析式为，因为，关于直线对称，推出，设，则，，根据，构建方程求解；
如图中，连接，交于点设，则点，利用正方形的性质求出点的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】证明：如图中，

，，
是等边三角形，
，
，分别平分，，
点，分别是，的中点，
，，
；

解：结论成立．
理由：如图中，设交于点，在上取一点，使得，连接．

，
，
，分别平分，，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
，，
≌，
，
；

解：结论：．
理由：如图中，作点关于的对称点，连接，．

四边形是圆内接四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
由可知，
，
．

【解析】证明是等边三角形，可得结论；
结论成立．如图中，设交于点，在上取一点，使得，连接证明≌，推出，再证明≌，推出，可得结论；
结论：如图中，作点关于的对称点，连接，证明满足条件，利用中结论解决问题．
本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．