2023年山东省泰安六中中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省泰安六中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我国年水资源总量约为亿立方米，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  若的运算结果为整式，则“”中的式子可能为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，若，，以下结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，点，，在半径为的上，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在某个滑雪场滑雪，需要从山脚下处乘缆车上山顶处，缆车索道与水平线所成的测得这座山的高度，则缆车索道的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥体，则该扇形的圆心角得大小为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，轴于点，点坐标为，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设，连接并将它绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则在点从点向点运动的过程中，下列说法错误的是(    )

A.  B. 点始终在直线上
C. 的面积为 D. 的最小值为

12.  如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  已知，，则 ______ ．

14.  如图，和是以点为位似中心的位似图形．若：：，则与的周长比是______．

15.  若关于的方程有增根，则的值为______ ．

16.  如图，等边三角形的边长为，以为圆心、长为半径画弧，点为等边三角形内一点，连接，，若为等腰直角三角形，图中阴影部分的面积是______ ．

17.  如图，抛物线，与轴正半轴交于，两点，与轴负半轴交于点．
；；若点的坐标为，且，则；若抛物线的对称轴是直线，为任意实数，则．
上述结论中，正确的是______ ．

18.  如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组，并求其整数解：；
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目每位学生只能参加一个项目：阅读数学名著；讲述数学故事；制作数学模型；参与数学游戏；挑战数学竞赛为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机抽取了______ 名学生；补全条形统计图要求在条形图上方注明名数；扇形统计图中圆心角 ______ 度；
若该年级有名学生，请你估计该年级参加项目的学生大约有多少名；
在项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有名男生，名女生，则从这名学生中随机抽取名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到名男生的概率．

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于、两点，与反比例函数的图象分别交于、两点．
动点在线段上不与点、重合，过点作轴和轴的垂线，垂足为、当矩形的面积为时，求出点的位置；
在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，销售过程中发现，该商品每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数，部分对应值如下表：

求与的函数关系式．
若该商店销售这种消毒用品每天获得元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．
设该商店销售这种消毒用品每天获利元，问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

23.  本小题分
如图，为的内接三角形，为的内心，交于，交于．
若，，求的长度；
若，求的长度．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上的动点．

求抛物线的解析式；
如图，连接，若平分，求点的坐标；
如图，连接，抛物线的对称轴交于点，连接，点在轴右侧的抛物线上，若，求点的坐标．

25.  本小题分
【基础巩固】
如图，在中，，，求证：．
【尝试应用】
如图，在中，，为边上一点，，求的长．
【尝试应用】
如图，四边形为矩形，连接，将矩形绕点旋转至矩形，使得边经过点，交于点，若，，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选：．
根据无理数定义：无限不循环小数是无理数进行判断即可．
本题考查无理数的识别．熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，，为整数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据俯视图的定义，从上往下看，符合题意．
故选：．
根据三视图的定义解决此题．
本题主要考查三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
B.，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
C.，是整式，故本选项符合题意；
D.，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
故选：．
先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
本题考查了分式的混合运算和整式，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，内错角相等分别求出、，再根据平角的概念计算即可．
本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
根据作图过程可知：
是的垂直平分线，
，故A选项正确，不符合题意；
，
，故B选项正确，不符合题意；

是的垂直平分线，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，故C选项正确，不符合题意；
，
，故D选项错误，符合题意，
故选：．
根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明≌，可得，再根据勾股定理可得的长，进而可以解决问题．
本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，

作直径，连接，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
作直径，连接，勾股定理求得，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据余弦的定义即可求解．
本题考查了求余弦，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，
，
．
故选：．
在中利用“”可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设圆锥的母线长为，
，
，
，
，
，
故选：．
根据圆锥侧面积计算公式进行求解即可．
本题主要考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，熟知圆锥侧面积公式和弧长公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：轴，，
，代入中，
，即，
的面积为，
故选：．
根据轴，求出点的横坐标，代入一次函数表达式中求出点纵坐标，再利用三角形面积公式计算．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形面积，根据函数表达式求出相应点的坐标是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
，
点在线段上，
为中点，
，
将绕顺时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，故选项A不合题意，
，
，
点在直线上，故选项B不合题意；
，
，故选项C不合题意；
点在上移动，
当时，有最小值，
，，
，
，
，
的最小值为，故选项D符合题意，
故选：．
由“”可证≌，可得，，可求，可求，可判断选项，由等腰直角三角形的性质可得，可得点在直线上，可判断选项，由三角形的面积关系可求，可判断选项，当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值为，可判断选项，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，
第次运动到点，第次接着运动到点，，
横坐标为运动次数，经过第次运动后，动点的横坐标是，
纵坐标依次为，，，，每次一轮，
经过第次运动后，动点的纵坐标为：余，
纵坐标为四个数中的第个，是，
经过第次运动后，动点的坐标为：；
故选：．
根据图象可得出：横坐标为运动次数，纵坐标依次为，，，，每次一轮，进而即可求出答案．
此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

，
，，
原式．
故答案为：．
先因式分解得出，再把，代入即可得出答案．
本题考查了利用平方差公式分解因式和求代数式的值，掌握整体代入的方法是解题的关键．
 

14.【答案】： 

【解析】解：和是以点为位似中心的位似图形．
和的位似比为：，
：：，
：：，
与的周长比是：．
故答案为：：．
先根据位似的性质得到和的位似比为：，再利用比例性质得到：：，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
方程有增根，
，
，
把代入中得：
，
解得：，
故答案为：．
根据题意可得，然后把代入整式方程中，进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：为等腰直角三角形，，
，
是等边三角形，
，
，
≌，
的面积的面积，
的面积，的面积，
的面积的面积的面积，
扇形的面积，
阴影的面积扇形的面积的面积的面积．
故答案为：．
由条件可以证明≌，由扇形面积计算公式，求出扇形的面积，求出的面积，的面积，得到的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，等腰直角三角形，关键是求出的面积，并掌握扇形面积的计算公式．
 

17.【答案】 

【解析】解：函数图象开口向下，
，
函数对称轴在轴左侧，
，
则，
函数图象与轴相交于负半轴，
，
，
故正确；
该函数图象与轴有个交点，
，
故不正确；
，
，
，
，
当时，，
把代入得：，
即，
把点代入得：，
，
整理得：，
，
，
故正确；
把代入得：，
抛物线的对称轴是直线，函数图象开口向下，
该函数的顶点坐标为，
即该函数最大值为，
当时，，
，
整理得：，即，
故正确；
综上：正确的有．
故答案为：．
根据函数的开口，判断的符号，根据对称轴，判断的符号，根据图象与轴交点，判断的符号，即可判断；根据该函数图象与轴的交点个数，即可判断；根据可得，则当时，，把和分别代入，消去，即可判断；根据函数开口向下，对称轴为直线，可知函数的最大值为对应的函数值，则当时，函数值不大于对应的函数值，即可判断．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和系数的关系是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图在的下方作等边，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
点在射线上运动点是定点，是定值，
当时，的值最小，最小值．
故答案为：．
如图在的下方作等边，作射线证明≌，推出，推出，推出点在射线上运动，当时，的值最小．
本题主要看考查垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集为，
该不等式组的整数解为，，；





，
当时，原式． 

【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后即可写出其整数解；
先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可，
本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：名，
故答案为；
阅读数学名著名，
制作数学模型名，
补全统计图如下：

，
故答案为：；
项目的学生：名；

共有种等可能的情况，其中抽到名男生的情况数为种，
．
根据讲述数学故事的名数是名，所占的比例是，据此即可求得此次调查的学生人数；用总人数乘以项所占百分比即可得阅读数学名著的人数，再用总人数减去、、、的人数即可得的人数，从而画出条形统计图；将乘以所占百分比即可得解；
利用总人数乘以对应的百分比即可求得；
根据题意画出树状图即可得解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及利用树状图求概率率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】解：设点，
则，，
则，即，
解得：或，
即点或；

存在，理由：
一次函数与轴和轴分别交于、两点，
点，点，
，
，，

或，
点，点，
，
设点，
以、、为顶点的三角形与相似，且，
，
，
，或，
点或． 

【解析】由，即，即可求解；
以、、为顶点的三角形与相似，且，则，即可求解．
本题是反比例函数综合题题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

22.【答案】解：设与的函数关系式为，，
将，代入得，
解得，
，
与的函数关系式为；
由题意知，利润，
令，
则，
解得或不合题意，舍去，
每件消毒用品的售价为元；
由知，
，
当时，随着的增大而增大，
当时，，此时利润最大，
当每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】待定系数法求解即可；
由题意知，利润，令，则，计算求解满足要求的值即可；
根据二次函数的性质以及的取值范围进行求解即可．
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

23.【答案】解：连接，，

为的内心，
，，
，
，
，，
，
，
，，
∽．
，
即，
解得：．
；
过点作于，

，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
． 

【解析】先根据三角形的内心以及圆周角定理证明，可得的长，然后证明∽，由相似三角形的性质可求得的长，于是可得到的长；
过点作于，根据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质即可求解．
本题是圆的综合题，主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质和判定以及直角三角形的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线过点，点，
，
解得：，
；

如图，过作轴交于，交轴于，过作轴于，如图所示：

设的解析式为，代入，
，
解得：，
直线的解析式为，
，，，
在中，根据勾股定理，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
整理得：，舍，，
当时，，
；

过作于，过作于，延长交于，如图所示：

，
对称轴为直线，
设直线的解析式为，代入，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
于，
，，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
．
，
设的直线为，把代入得：
直线的解析式为，
令，
解得，舍去，
． 

【解析】用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
过作轴交于，交轴于，过作轴于，求出直线的解析式为，求出，证明，设，则，证明∽，得出，求出，根据，得出，求出的值，即可得出点的坐标；
过作于，过作于，延长交于，求出直线的解析式为，证明∽，得出，求出，得出，求出直线的解析式为，令，求出的值，即可得出点的坐标．
本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法．
 

25.【答案】证明：如图，过作于，交于，

，
又，
．
又，
，
．
；
解：如图，延长到，使，

，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
解：如图延长到使，连接，

，
，
将矩形绕点旋转至矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
的值为． 

【解析】过作于，交于，利用三线合一的性质，通过证明来证明；
如图，延长到，使，根据垂直的定义得到，求得，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
如图延长到使，连接，根据旋转的性质得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题是相似形的综合题，考查了相似三角形判定和性质，旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形 的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．