山东省泰安市2026年中考二模数学试题模拟卷 （有答案和解析）

这是一份山东省泰安市2026年中考二模数学试题模拟卷 （有答案和解析），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共40分）
1．（本题4分）2026的相反数是（ ）
A．2026B．C．D．
2．（本题4分）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（本题4分）2025年，安徽省农业产量再创新高，全年粮食总产量达到亿斤，连续9年稳定在800亿斤以上，居全国第6位．其中数据亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．（本题4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（本题4分）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，I的取值范围是
D．当时，
6．（本题4分）若是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．11B．10C．D．0
7．（本题4分）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（本题4分）我国古代数学名著《九章算术》中记录：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟，译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．设慢马的速度为x里/天，列出方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（本题4分）如图，在矩形中，点E为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（ ）
A．B．2C．4D．
10．（本题4分）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（共20分）
11．（本题4分）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
12．（本题4分）分解因式：___________．
13．（本题4分）“唱游山西”是2026年山西文旅集团打造的深度融合文旅产品，包括“晋揽长城 边塞风情”“穿越黄河 文明探源”“大美太行 红色记忆”三大主题．下面是某旅行社设计的三大主题宣传卡（除正面图案外完全相同）．现将三张卡片放在不透明信封中，甲先从中随机抽取一张，不放回；乙再从中随机抽取一张，则两人抽到的卡片都不是“长城”主题的概率是________．
14．（本题4分）图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°．
15．（本题4分）如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交对角线于点G，作于点M，于点N，则______．
三、解答题（共90分）
16．（本题8分）计算：
(1)；
(2)．
17．（本题8分）解方程、解不等式组：
(1)；
(2)．
18．（本题9分）如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向.（参考数据：，，，）
(1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）；
(2)购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站．
19．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点．点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接．
(1)求k，b的值；
(2)当的面积为时，求点P的坐标；
(3)设的中点为C，点D为x轴正半轴上一点，当以B，C，D为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出点P的坐标．
20．（本题10分）为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析．
数据整理：跳绳个数记为，共分为五组：
A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）．
被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134；
被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136．
数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析：
认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________，________；并补全频数直方图．
(2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数．
(3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由．
21．（本题11分）端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比海鲜粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．根据市场经验：当售价不高于50元/盒时，每天销量稳定在100盒；当售价高于50元/盒时，售价每提高1元，每天少售2盒．
(1)求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)若设海鲜粽每盒售价为元，每天销售海鲜粽的利润为元，求与之间的关系式；
(3)若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出70盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及此时的售价．
22．（本题11分）如图，为的外接圆，点在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
23．（本题12分）已知抛物线（，为常数）过点．
(1)若该抛物线与轴交于点．
①求该抛物线的解析式；
②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；
(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长．
24．（本题12分）如图1，在矩形中，点是的中点，连接交于点．
(1)若，求的长．
(2)如图2，若交于点．
①求证：点是的中点；
②若与交于点，求的长．
平均数
中位数
众数
方差
男同学
134
135
女同学
134
136
参考答案
1．B
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
【详解】解：的相反数是符号相反的．
2．C
【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可．
【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意.
3．D
【分析】对于绝对值大于1的数，根据科学记数法，将数据写成（其中，n为正整数）的形式，确定a与n值即可．
【详解】解：亿．
4．C
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，即选项A错误；
B． ，即选项B错误；
C．，即选项C正确；
D．，即选项D错误．
5．A
【分析】首先求出反比例函数关系式，然后逐项求解判断．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故B正确，不符合题意；
当时，，故D正确，不符合题意；
∵，
∴在第一象限，I随R增大而减小，
∴当时，，故A错误，符合题意；
当时，的取值范围是，故C正确，不符合题意．
6．A
【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再结合韦达定理（根与系数的关系）得到的值，最后代入代数式化简求值．
【详解】解：是方程的实数根，
，
，
是方程的两个实数根，
，
∴
．
7．C
【分析】由直径所对的圆周角是直角可得的度数，由三角形内角和定理可得的度数，由圆内接四边形对角互补可得的度数，据此可得答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴；
∵，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴．
8．B
【分析】根据规定时间相等可得方程．
【详解】解：根据题意，得．
9．A
【分析】过点E作于点G，由线段中点得，根据折叠可得，，从而得出为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得到，在中利用即可解答．
【详解】解：如图，过点E作于点G，

∵四边形为矩形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
根据折叠可得，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
∴，
∴．
10．B
【分析】此题主要考查了的图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a符号，然后根据抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与x轴没有交点，
∴，，故①正确，②错误；
把点代入，得：
，
∴，即，故③正确；
∵抛物线的顶点在x轴的上方，且开口向上，
∴抛物线与直线没有交点，
∴关于的方程没有实数根，故④错误；
如图，
设过点的直线的解析式为，
∴，解得：，
∴过点的直线的解析式为，
观察图象得：当时，抛物线的图象位于直线的下方，
∴不等式的解集为，
即不等式的解集为，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤，正确个数为3个，
故选：B
11．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
即，
解得．
12．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：．
13．
【分析】画树状图求概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
等可能出现的情况有6种，其中符合条件的情况有2种，
∴两人抽到的卡片都不是“长城”主题的概率是．
14．45
【分析】分别求出等腰三角形和等腰三角形的底角，再通过的内角和求出，最后利用邻补角关系求得的度数．
【详解】解： 八边形为正八边形，
，
，
为等腰三角形，
，
，
为等腰三角形，
，
与交于点，
在中，，，
，
点，， C在同一直线上，
．
15．
【分析】过点Ｄ作于点H，由平行四边形的性质及含角的直角三角形的性质求出、的长，根据勾股定理求出的长，由旋转的性质得出为等边三角形，最后利用面积法即可求的长．
【详解】解：作于点H
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
由旋转的性质可知：
，
是等边三角形，
，，，
即．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)，
(2)不等式组的解集为
【分析】（1）把方程化为，再进一步解方程即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：，
，
，即，
，
∴，；
（2）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为．
18．(1)驿站与驿站之间的距离约为
(2)派送员能在内到达驿站
【分析】（1）过点作于点，于点，结合PQ长度和，可计算出PB的长度，证明四边形是矩形，得的长度，由与，即可求出的长度；
（2）由总路程计算总时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点，
由题意得，，，，
在中，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
答：驿站P与驿站N之间的距离约为．
（2）解：根据题意可得，，
，
∵，
∴派送员能在内到达驿站．
19．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点代入直线可得b，即可求出点，再将点代入反比例函数关系式得出答案；
（2）先表示出点P，Q，即可表示出再根据得出方程，求出解即可；
（3）由（2）知，再分两种情况：当是直角边，点D在x轴正半轴上时，作，作，然后根据“角角边”证明，进而得出，即可得出，求出解；当是斜边，点D在x轴正半轴上时，同理可得，进而得出，即可得出，求出解．
【详解】（1）解：∵直线经过点
∴
解得，
∴直线的关系式为．
∵点在直线上，
∴，
∴点．
∵经过点，
∴；
（2）解：由（1）知反比例函数的关系式为，
∴，
∴．
∵，，
∴，
解得或（舍去），
∴；
（3）解：由（2）知，
如图，当是直角边，点D在x轴正半轴上时，过点C作于点F，过点D作的延长线于点G，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
解得（舍去），
∴；
②如图，当是斜边，点D在x轴正半轴上时，作轴，作于点F，作于点G，
同理可得，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴点．
综上所述，点P的坐标是或．
20．(1)，136，20，见解析
(2)128
(3)女生组更优秀，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得a、b的值，先求出被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比，再根据百分比之和为1可得m的值；
（2）总人数分别乘以男、女生跳绳个数不少于140个的人数所占比例，再求和即可得出答案．
（3）根据众数、中位数及平均数的意义求解即可得出答案．
【详解】（1）解：由男同学跳绳个数在C组的数据可知，C组人数为6人，则被抽取的男同学A组的人数为（人），被抽取的男同学跳绳个数数据的第10、11个数据分别为130、133，则中位数；
被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比为，B组人数所占百分比，即；
被抽取的A组女同学人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为：（人），D组人数为：（人），E组人数为：（人）， 因为C组中136的个数为5，在C组中的个数最多且大于其它组总人数，所以被抽取的女同学跳绳个数的众数．
补全频数分布直方图如下：
（2）解：（人），
答：估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数为128．
（3）解：我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀（答案不唯一，合理均可）．
21．(1)海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元
(2)
(3)最大利润为1750元，此时海鲜粽每盒售价为65元
【分析】（1）设每盒海鲜粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元，根据用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，列出方程，解方程即可；
（2）分为当时及当时，两种情况分类讨论，列出关系式即可；
（3）分两种情况，分别求出一次函数及二次函数的最值，再进行比较即可求出该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润．
【详解】（1）解：设每盒海鲜粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；
（2）解：当时，此时销量固定为100盒．单盒利润为元．
则总利润：
当时，售价比50元提高了元，销量减少盒．此时销量为：（盒）．单盒利润为元．
则总利润：
；
∴与之间的关系式
（3）解：根据题意得：，
解得：，
∴，
当时，，
因为，
所以随的增大而增大．
当时，取得最大值，为：，
当时：
∵
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
当时，y取得最大值，，
∵，
该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润为元，此时海鲜粽每盒售价为65元．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到；
（2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：∵为的直径，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，即，
解得：（负值舍去），
23．(1)①抛物线的解析式为；②；
(2)
【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键．
（1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式；
②根据解析式，计算出，利用函数图象增减性，得出或，列出不等式组，计算即可求解；
（2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：①∵抛物线过点和，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
②抛物线开口向上，
∵已知，在该抛物线上，，
∴， ​
∴或，
又∵．
当时，则，无解；
当时，则，解得，符合条件．
故的取值范围为 ．
（2）解：∵抛物线过点，
，
∴，
∵对于任意实数，都有，即
∴，
∴对任意实数都成立，
，
∴，
，
∴抛物线解析式为，
联立抛物线与直线，
得，
解得，
即抛物线与直线交点的横坐标为和，
．
24．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据矩形的性质得到，由中点定义得，再证明得到，即，从而得解；
（2）①同理可得，又因为四边形是正方形，则，从而得到，则点是的中点；
②由①得四边形是正方形，点是的中点，，根据正方形的性质可得，，再证明得到，从而求出，最后用计算即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵点是的中点，
∴．
∵交于点，
∴，
∴，
∴，即，
解得：；
（2）与①同理可得：，
∴，
又∵在矩形中，，即四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
②由①得四边形是正方形，点是的中点，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．