上海市长宁区2026届第二学期高三二模教学质量调研 数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份上海市长宁区2026届第二学期高三二模教学质量调研 数学试卷（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了 已知复数满足等内容，欢迎下载使用。
2026.4
考生注意：
1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码.
2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分.
3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合，，则______.
2. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________．
3. 已知向量，，若，则实数________.
4. 在的展开式中，含项的系数为______．
5. 函数，的值域为________.
6. 已知随机变量的分布为
则的期望为________.
7. 设等比数列的前项和为，若，，则_______
8. 在中，是的中点，，，则_________.
9. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.
10. 已知复数满足：，且，则的最小值为________.
11. 如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为.为了使，则、两点间距离为_________cm.（精确到）
12. 等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
14. 对于随机事件、，“”是“、互相独立”的（ ）条件.
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 非充分非必要
15. 将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（ ）.
A. B.
C. D.
16. 已知.
①存在，使得函数在上严格增；
②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点.
对于以上两个结论，下列判断正确的是（ ）
A. ①正确，②错误；B. ①错误，②正确；
C. ①正确，②正确；D. ①错误，②错误.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86.
（1）求该组数据的极差和第25百分位数；
（2）依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1）
（3）体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表.
求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）.
18. 如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，.
（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值
19. 已知（其中，）.
（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；
（2）若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围.
20. 双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、.
（1）求的离心率；
（2）设直线与轴交于点，且，求点的横坐标；
（3）若、关于原点对称，证明：直线经过定点.
21. 设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为.
（1）设，，若，求实数的值；
（2）设，，若，且，求的值；
（3）已知，，且对任意闭区间，与均存在.
求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.”
男生
女生
总计
观察值
预期值
观察值
预期值
不肥胖
99
168
肥胖
总计
120
200