上海市杨浦区2026届第二学期高三二模质量调研 数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份上海市杨浦区2026届第二学期高三二模质量调研 数学试卷（原卷版+解析版），共13页。试卷主要包含了 直线等内容，欢迎下载使用。
2026.4
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
1. 设全集，，用列举法表示______.
【答案】
【解析】
【分析】由集合的补集运算结合集合的表示法即可求解.
【详解】由题意得，则.
2. 计算______.
【答案】
【解析】
.
3. 若幂函数的图像经过点，则实数______.
【答案】3
【解析】
代入，即，解得.
4. 在的二项展开式中，常数项的值为______.
【答案】160
【解析】
【分析】利用二项式定理展开式求解即可.
【详解】由二项式定理可知展开式通项为，
令，得，此时.
所以常数值为160.
5. 设正实数满足，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为正实数满足，
可得，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
6. 不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
令，定义域为，
函数和在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
又，则，
所以不等式的解集为.
7. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先由题干条件计算圆锥的高，再求圆锥的母线，进而可求圆锥的侧面积.
【详解】由题得圆锥底面积，体积，解得，
母线长，故圆锥侧面积.
故答案为：.
8. 直线：的一个法向量是，则实数______.
【答案】
【解析】
易知直线：的一个法向量可以表示为，
又直线的一个法向量是，所以两向量共线，
根据向量共线的坐标表示得，解得.
9. 已知随机变量服从二项分布，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】借助二项分布的期望与方差公式计算即可得.
【详解】，则，则.
10. 设集合，，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由知到与距离相等，其轨迹是这两点的垂直平分线, 表示的轨迹是一个单位圆，两者有交点，等价于原点到直线的距离不大于，通过计算可得实数的取值范围.
【详解】集合，由，即到与距离相等，
即的轨迹为与两点连线的垂直平分线，
设，所以，所以，化简得，
若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足；
若，则，即的轨迹为直线，表示的为圆：，
即直线与圆有交点，所以，解得，所以实数的取值范围是.
11. 掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可.
【详解】
以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为.
则，.
由题意得，即，所以，取.
又，则.
易知为锐角，所以，
所以.
故出手角度的最大值为.
12. 记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件利用向量投影、共线性质结合条件①②分析即可得.
【详解】设是这个向量中的任意两个向量，
根据投影的定义，向量在向量方向上的投影为：，
由条件①可知，或，
当时，向量共线，当时，向量垂直；
表示三个单位向量，
当、不同向时，，
则，
则121αi⃗αi⃗+1αj⃗αj⃗≠1，又，
故不符合，
则、同向，则由，可得、、同向，
由其中任意三个向量、、均不能使成立，
则其中任意三个向量、、不同向，即同一方向最多两个不等向量；
故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量，
例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量，
再取，这个不同向量满足条件①②；
若存在第个向量，则必须与另外个向量中的任一共线或垂直，
由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向，
则必须与其中一个向量共线才能符合要求，
但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意，
所以满足条件的的最大值为.
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13.14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 设，下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意；
此时，，得到，故B不符合题意；
此时，得到，故D不符合题意；
对于C，因为在上单调递增，
所以，一定有成立，故C符合题意.
14. 事件、相互独立，若，，则A与同时发生的概率为（ ）.
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据独立事件和对立事件概率公式求解即可.
【详解】事件、相互独立，则事件、也相互独立.
事件发生的概率为.
则A与同时发生的概率为.
15. 已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（ ）.
A. 0是的极大值点，也是的极大值点
B. 0是的极小值点，也是的极小值点
C. 0是的极大值点，也是的极小值点
D. 0是的极小值点，也是的极大值点
【答案】D
【解析】
对A，若取，，两个函数的零点只有，时恒有，且是两个函数的极大值点，故A可能；
对B，若取，，两个函数的零点只有，时，且是两个函数的极小值点，故B可能；
对C，，，两个函数的零点只有，时，且是的极大值点，也是的极小值点，故C可能；
对D， 若是的极小值点，结合且只有是零点，可知对任意，；
又若是的极大值点，结合且只有是零点，可知对任意，；
此时必有，即，与题设时不符，故D不可能.
16. 已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题：
①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”；
②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项；
③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得；
④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是.
其中正确的命题是（ ）
A. ①②③B. ②C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可.
【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立，
对于①，，，
因为，所以，
所以成立，即，
因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误；
对于②，若数列是“1-加速数列”，则，
所以数列是常数列或单调递增数列，
因为，
若，满足题意，即数列是常数列，，
若数列单调递增，则必有，，
即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确；
对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且，
则，
所以，即，
当时，，所以不存在，使得，故③错误；
对于④，若正数列是等比数列，则，
若，则，不等式，等价于，
只要，数列是“-加速数列”；
若，则，不等式，等价于，
只要，数列是“-加速数列”；
所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误；
综上所述：正确的命题是②.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩.该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为.
（1）求第一组的得分的均值与中位数；
（2）若从第一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率；
（3）兴趣小组考察某客观题的得分情况.将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题.据此，填写表格，并判断是否有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关?
附：，，，.
【答案】（1）均值为，中位数为；
（2）
（3）答案见解析，没有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关.
【解析】
【分析】（1）利用平均数和中位数的概念即可求解；
（2）利用古典概型及组合数即可求解概率；
（3）利用独立性检验规则即可求解.
【小问1详解】
第一组共10个数据的均值为：，
第一组共10个数据按从低到高排序：，
中位数为第5、6个数的平均值，即，
所以第一组的得分均值为，中位数为；
【小问2详解】
第一组中，得分在135分以上的共有3人，从10人中任选2人：
总选法数：,
两人都在135分以上的选法数：,
所以2人得分都在135分以上的概率为：；
【小问3详解】
根据题意填写列联表：
零假设：认为答对该题与进入高分组无关，
计算卡方：
根据独立性检验规则，可知没有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关.
18. 如图，在直四棱柱中，，，，，.
（1）设是的中点，求证：平面；
（2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明，得证平面；
（2）过作，则即为所求，利用直角三角形的性质计算出即可.
【小问1详解】
连接，直四棱柱中， ，，
是的中点，，则，所以为平行四边形，
则有，又平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
梯形的面积，
，则，
过作，交于，连接，
直四棱柱中，平面，则为在平面内的射影，
由，有，所以即为所求，
中，，有，又，则，
，所以锐角.
19. 已知函数（常数）.
（1）若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小；
（2）若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数解析式由，求出角A，再由，利用正弦定理求出，可得角B的大小；
（2）由函数图象的变换，求出解析式，由时，求出的取值范围.
【小问1详解】
时，函数，，，
中，，所以，
，由正弦定理可得，，
由，所以.
【小问2详解】
函数（常数），的最小正周期为π，
所以，得，即，
所以，
时，，则有，此时，
当时恒有，则有，解得，
所以的取值范围为.
20. 已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为.
（1）求双曲线的离心率和渐近线的方程；
（2）设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标；
（3）设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程.
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）借助离心率定义与渐近线定义计算即可得；
（2）设，结合中点公式可表示出点坐标，代入双曲线方程计算即可得；
（3）设出直线的方程，联立曲线可得点坐标，联立渐近线方程可得点坐标，利用直线、的关系计算可得点、点坐标，再利用面积公式计算即可得解.
【小问1详解】
由可得，则，则，
故双曲线的离心率，
渐近线的方程为；
【小问2详解】
由，则双曲线方程为，，设，
则线段的中点的坐标为，
有，解得，故点Q的坐标为；
【小问3详解】
由，则双曲线方程为，、，
由题意可得直线斜率存在且不为，
设直线的方程为，则直线的方程为，
，解得或，则，
由在第一象限，则，解得，
，解得，即，
则，即，
，即，
，
即，则，又，故，
即直线的方程为，整理得.
21. 设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”.
（1）若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由；
（2）若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围；
（3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，.
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】利用赋值即可求证；
利用分离变量求值域，即可求得参数范围；
利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证.
【小问1详解】
因为，，
所以，满足值域且，
即与π是构成函数的线性对；
【小问2详解】
由题意，，需满足，
代入 ​整理得： ，
因为，所以要求，
又，故，由等式可得：，
对任意都存在满足条件的，故，
所以的取值范围；
【小问3详解】
由是上的奇函数，可得，；
则，即是线性对，
由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对，
所以有，
因为定义在上，所以通过迭代可得：，
又由题设大前提，的值域，
若值域内存在正数，必存在，使得，
此时，而，显然，
即值域内不存在正数；
若值域内存在负数，必存在，使得，
此时，而，显然，
即值域不存在负数，
因此对任意，，问题得证.高分组
非高分组
总计
某客观题答对
某客观题答错
总计
高分组
非高分组
总计
答对
13
16
29
答错
2
9
11
总计
15
25
40