上海市长宁区2025-2026学年第二学期高三数学教学质量调研试卷（含答案）

这是一份上海市长宁区2025-2026学年第二学期高三数学教学质量调研试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中既是奇函数又是增函数的是( )
A. y=x2B. y=x3C. y=2xD. y=lgx
2.对于随机事件A、B，“PA=PA|B”是“A、B互相独立”的( )条件．
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 非充分非必要
3.将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是( )．
A. B.
C. D.
4.已知fx=1−ax+asinx．
①存在a∈0,1，使得函数y=fx在R上严格增；
②对于任意a∈0,1，直线y=1−ax+a与曲线y=fx都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数y=fx的极值点．
对于以上两个结论，下列判断正确的是( )
A. ①正确，②错误；B. ①错误，②正确；
C. ①正确，②正确；D. ①错误，②错误．
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.已知集合A=1,2,3，B=2,+∞，则A∩B= ．
6.已知正实数a、b满足ab=1，则a+4b的最小值等于 ．
7.已知向量a=x,2,3，b=2,y,6，若a⊥b，则实数x+y= ．
8.在1+x6的展开式中，含x3项的系数为 ．
9.函数y=sinx，x∈−π2,3π4的值域为 ．
10.已知随机变量X的分布为
则X的期望为 ．
11.设等比数列an的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=
12.在▵ABC中，D是BC的中点，AD=4，BC=6，则AB⋅AC= ．
13.将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为 (用分数表示)．
14.已知复数z满足：z=1，且z−i≤1，则zi−1的最小值为 ．
15.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点A、B、C、D在同一条直线上，点F在边BE上，点I在边GH上，测得B、C两点间距离为10cm.为了使∠BFC=∠HID，则C、D两点间距离为 cm.(精确到0.1cm)
16.等腰▵ABC的三个顶点均在椭圆Γ:x22026+y2=1上，且A、B、C中有且仅有两个点是椭圆Γ的顶点，则满足条件的▵ABC共有 个.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据(单位：kg)：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86．
(1)求该组数据的极差和第25百分位数；
(2)依据体检数据，求得这10名学生体重y(单位：kg)关于身高x(单位：cm)的回归方程为y=2.3x+b，已知这10名学生身高(单位：cm)的平均数为176.3，求b的值(精确到0.1)
(3)体重(kg)与身高(m)平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下2×2列联表．
求表中m的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值(精确到0.1)．
18.(本小题15分)
如图，P是圆锥顶点，O是底面圆心，点A、B在底面圆周上，OA⊥OB，OA=OB=1．
(1)若圆锥的侧面积为2π，求圆锥的体积；
(2)若直线PA与平面POB所成角为30∘，求二面角P−AB−O的平面角的正切值
19.(本小题15分)
已知fx=lgax(其中a>0，a≠1).
(1)若函数y=fx的图象过点2,−1，求不等式f2x−1>fx+1的解集；
(2)若恰有两个不同的实数x，使得fx，fx−m，f4成等差数列，求实数m的取值范围．
20.(本小题18分)
双曲线Γ:x23−y2b2=1b>0经过点P2,1，不垂直x轴的直线与Γ交于不同于P的A、B两点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N．
(1)求Γ的离心率；
(2)设直线PA与x轴交于点Q，且MQ=2QP，求点A的横坐标；
(3)若M、N关于原点对称，证明：直线AB经过定点．
21.(本小题18分)
设函数y=fx定义域为I，区间D⊆I，记函数y=fx在区间D上的最大值为MfD，最小值为mf(D)．
(1)设fx=ex−ax，D=−1,1，若mfD=f0，求实数a的值；
(2)设fx=x3−3x2，D=t,t+2，若MfD−mfD=4，且−1≤t≤1，求t的值；
(3)已知f0=0，f1=1，且对任意闭区间D⊆0,1，MfD与mf(D)均存在．
求证：“y=fx在区间0,1上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间D1、D2⊆0,1，当MfD1=MfD2，且mfD1=mfD2时，均有D1=D2.”
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.C
5.3
6.4
7.−9
8.20
9.−1,1
10.1
11.63
12.7
13.49
14. 3
15.20.4
16.20
17.解：(1)将数据从小到大排列：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88，
故极差R=88−52=36，
因10×25 0/0=2.5不为整数，故第25百分位数是第三个数为55．
(2)y=52+54+55+56+58+62+68+74+86+8810=65.3，
因回归方程为y=2.3x+b过样本中心点x,y，故65.3=2.3×176.3+b，
得b=65.3−2.3×176.3≈−340.2
(3)由列联表的性质，女生不肥胖人数为168−99=69，女生人数总计200−120=80，
所以m=80−69=11，
男生肥胖的预期值E=120×200−168200=19.2．

18.解：(1)设圆锥的底面半径为r，母线为l，r=1，
圆锥的侧面积s=πrl=πl=2π，所以l=2，
则圆锥的高ℎ= l2−r2= 3，
则圆锥的体积V=13πr2ℎ=13π⋅ 3= 33π；
(2)因为PO⊥平面OAB，OA⊂平面OAB，
所以PO⊥OA，又因为OA⊥OB，PO∩OB=O，PO,OB⊂平面POB，
所以OA⊥平面POB，则PA与平面POB所成角为∠APO，所以∠APO=30∘，
又因为OA=1，所以PO= 3，取AB的中点M，连结OM，PM，
因为OA=OB，PA=PB，
所以OM⊥AB，PM⊥AB，∠PMO为二面角P−AB−O的平面角，
因为OA=OB=1，OA⊥OB，
所以OM=12AB= 22，tan∠PMO=POOM= 6，
所以二面角P−AB−O的平面角的正切值为 6．

19.解：(1)将2,−1代入fx=lgax，可得lga2=−1，得a=12，
故fx=lg12x，该对数函数为定义在0,+∞上的减函数，
故由f2x−1>fx+1可得00g0=m2>0，解得−102m+42>mgm=m2−m2m+4+m2>0，不等式无解，
综上可得实数m的取值范围为−1,0

20.解：(1)将P(2,1)代入双曲线方程x23−y2b2=1b>0可得：43−1b2=1⇒b2=3，
因为双曲线中a2=3，所以c2=a2+b2=6，
即离心率：e=ca= 6 3= 2；
(2)
设A(x1,y1)，直线PA方程为y−1=y1−1x1−2(x−2)，
令x=0，得y=−2y1+2x1−2+1=x1−2y1x1−2，即可知M0,x1−2y1x1−2，
令y=0，得−1=y1−1x1−2(x−2)⇒x=2−x1−2y1−1=2y1−x1y1−1，即可知Q2y1−x1y1−1,0，
由MQ=2QP，可得：2y1−x1y1−1,−x1−2y1x1−2=22−2y1−x1y1−1,1，
则由纵坐标对应相等可得−x1−2y1x1−2=2⇒y1=3x1−42，
由(1)知双曲线化简为x2−y2=3，代入得x12−3x1−422=3⇒5x12−24x1+28=0，
解得x1=145或x1=2(因为此时与点P重合故舍去)，即x1=145；
(3)设M0,m，由M,N关于原点对称得N0,−m，
计算得直线PA,PB的斜率可得kPA=1+m2,kPB=1−m2,
所以有kPA+kPB=1−m2+1+m2=1，
设直线AB:y=kx+s，联立x2−y2=3，
可得：x2−kx+s2=3⇒1−k2x2−2ksx−s2−3=0，
设AxA,yA,BxB,yB，
由韦达定理得xA+xB=2ks1−k2,xAxB=−s2+31−k2，
由kPA+kPB=1,可得：yA−1xA−2+yB−1xB−2=1⇒kxA+s−1xA−2+kxB+s−1xB−2=1，
整理得：kxA+s−1xB−2+kxB+s−1xA−2=xA−2xB−2，
所以2kxAxB+s−1−2kxA+xB−4s−1=xAxB−2xA+xB+4，
所以2k−1xAxB+s+1−2kxA+xB−4s=0，
代入韦达定理可得：2k−1−s2+31−k2+s+1−2k2ks1−k2−4s=0，
所以−2k−1s2+3+s+1−2k2ks−4s1−k2=0，
所以−2ks2−6k+s2+3+2ks2+2ks−4k2s−4s+4k2s=0，
所以−6k+s2+3+2ks−4s=0，
所以2ks−3+s−3s−1=0⇒s−32k+s−1=0，则s=3或s=1−2k，
当s=1−2k时，直线AB:y=kx+1−2k=kx−2+1恒过点P(2,1)，不符合题意，
故s=3，此时直线AB:y=kx+3恒过点(0,3)．

21.解：(1)由题意知函数fx=ex−ax，在区间−1,1上的最小值为f0，
由题意得f′x=ex−a，x∈−1,1
①当a≤1e时，f′x=ex−a>0恒成立，
y=fx在区间−1,1上单调递增，无最小值，不满足题意；
②当1e