2025-2026学年下学期江西九江高三数学4月二模试卷含答案

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考生注意:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试题卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并收回.
一、单项选择题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={xxb>c B. b>a>c C. a>c>b D. b>c>a
5. 在平行四边形 ABCD 中, E,F 分别是 BC,CD 的中点. 若 AE=mAB+nAF ,则 m−n=
A. −34 B. −14 C. 14 D. 34
6. 已知 a0 是首项为 6 的等差数列. 当且仅当 n=4 时, an 的前 n 项和取得最大值,则公差 d 的取值范围为
A. −3,−2 B. −3,−2 C. −2,−32 D. −2,−32
7. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 及 ⊙O:x2+y2=c2 (其中 c=a2+b2 ), ⊙O 与 C 相交于 A,B,C,D 四点, ⊙O 与 C 的两条渐近线相交于 A′,B′,C′,D′ 四点. 若四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 相似,则 C 的离心率为
A. 5+12 B. 3+22 C. 5+32 D. 2+12
8. 定义在 R 上的函数 fx 满足: ① 对任意 x 都有 fx+1−fx=1 ; ② fx∈Z,f12=0 , 则函数 gx=fx−2x 零点的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题; 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 fx=1−cs3x ,则
A. fx 是偶函数 B. fx 的最小正周期为 π
C. fx 在 0,π 上单调递增 D. fx 的最小值为 0
10. 如图,在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AD=AA1=1,AB=2 ,点 P 是棱 AA1 上的动点 (不含端点),过点 D1,B,P 作长方体的截面,并将长方体分成上

下两部分，体积分别为 V1,V2 ,则
A. 截面是平行四边形
B. 若 A1PPA=23 ,则 V1V2=23
C. 存在点 P ,使得截面为长方形
D. 截面的面积存在最小值 2305
11. 已知有穷数列 an ，每一项均为 0 或 1，且末项为 1 . 若存在正整数 m=a1⋅21+a2⋅22+⋯+ an⋅2n ,则称数列 an 为“ m 数列”. 记“ m 数列”的所有项的和为 Sm ,则
A. 若 an 为“ 20 数列”,则此数列为0,1,0,1
B. 若 an 为 “ m 数列” 且 m=4n+1−2 ,则 Sm=2n
C. 若 an 为 “ m 数列” 且 Sm=2 (其中 m≤30 ),则所有 m 的和为 90
D. 若 an 为“ 2k 数列”,则 k=115k⋅S24=300
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 1+1x1+x6 展开式中 x 的系数为_____.
13. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn+an=3 ,则 an= _____.
14. 在古镇旅游时, 某同学观察到一扇破损木门的外轮廓可近似拟合为抛物线, 工匠采用等腰三角形结构对破损部位进行木板加固处理. 已知等腰三角形的顶点位于木门的中轴线上，腰为 3 m ,底为 3 m ,且其底边恰好经过抛物线的焦点. 若木门水平方向最大宽度为 3.4 m ，则木门的高为_____m.

四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 asinB=bcsA .
(1)求 A ；
(2)若 AB⋅AC=2,a=2 ，求 △ABC 的周长.
16. (本小题满分 15 分)

如图，在圆台 O1O2 中，上、下底面半径分别为 1 和 4,高为 4,轴截面为四边形 ABCD , E 在下底 ⊙O2 上, O2E⊥CD,F 为 O1E 中点.
(1)求证: O1E⊥ 平面 O2CF ；
(2)求平面 BDE 与平面 O2CF 夹角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)
椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 63 ，左，右焦点分别是 F1 ， F2 . 点 A ， B 在椭圆上， AF1=λBF2λ>0 . 当 AF2=BF1 时， AB=4 .
(1)求 C 的方程；
(2)若 AF2⊥BF1 ，求四边形 AF1F2B 的面积.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=ex+ax2−xa∈R .
(1)当 a=1 时,求曲线 y=fx 在 x=1 处的切线方程;
(2)若 fx 在 R 上单调递增，求 a 的值；
(3)若 fx 存在极小值点 x0 且 fx0c C. a>c>b D. b>c>a
解: ∵ 函数 fx=x13 在 R 上单调递增, ∴f2>f13>f0 ,即 a>b>0 ,
又 ∵c=lg213b>c . 故选 A.
5. 在平行四边形 ABCD 中, E,F 分别是 BC,CD 的中点. 若 AE=mAB+nAF ,则 m−n=C
A. −34 B. −14 c. 14 D. 34
解: ∵E 是 BC 的中点, ∴AE=AB+BE=AB+12AD=AB+12AF+FD . 又 ∵F 是 CD 的中点, ∴AE=AB+12AF−12AB=34AB+12AF,∴m=34,n=12,m−n=14 ,故选 C.
6. 已知 an 是首项为 6 的等差数列. 当且仅当 n=4 时, an 的前 n 项和取得最大值,则公差 d 的取值范围为 C
A. −3,−2 B. −3,−2
C. −2,−32 D. −2,−32
解: 依题意得 a4>0,a50,6+4d0 的离心率为 63 ，左，右焦点分别是 F1,F2 . 点 A,B 在椭圆上， AF1=λBF2 λ>0 . 当 AF2=BF1 时, AB=4 .
(1)求 C 的方程；
(2)若 AF2⊥BF1 ，求四边形 AF1F2B 的面积.
解: (1) 当 AF2=BF1 时,由椭圆的定义知 AF1=BF2 , 2 分
又 ∵AF1=λBF2λ>0 ， ∴ 四边形 AF1F2B 为平行四边形， ∴AB=F1F2=2c=4 ， c=2 . 4 分 ∵e=ca=63,∴a=6,b=2 , 5 分
∴C 的方程为 x26+y22=1 . 6 分
(2)延长 AF1 与 C 的另一个交点为 D,∵F1D//BF2 ，由椭圆的对称性可知 F1D=BF2 ，

∴ 四边形 F1DF2B 为平行四边形.
由题意可知 F1−2,0,F22,0 ,直线 AF1 的斜率不为 0,
设 AF1 的方程为 x=ty−2,Ax1,y1,Dx2,y2 ,
联立 x=ty−2,x26+y22=1 ,消去 x 整理得 t2+3y2−4ty−2=0 ,
∴y1+y2=4tt2+3,y1y2=−2t2+3 ,
∴x1+x2=ty1+y2−4=−12t2+3,x1x2=ty1−2ty2−2=t2y1y2−2ty1+y2+4=12−6t2t2+3 .
分
∵BF1//DF2,AF2⊥BF1,∴DF2⊥AF2,DF2⋅AF2=0,2−x12−x2+y1y2=0 ,
即 x1x2−2x1+x2+4+y1y2=0,∴12−6t2t2+3−2−12t2+3+4−2t2+3=0 ,解得 t2=23 . 12 分设点 F2 到直线 AF1 的距离为 d ,四边形 AF1F2B 的面积 S=AF1+BF2⋅d2=AF1+F1D⋅d2 =12AD⋅d=S△AF2D=12F1F2⋅y1−y2=2y1−y2=2y1+y22−4y1y2=24tt2+32−4−2t2+3 =46t2+1t2+3=2413 .
故四边形 AF1F2B 的面积为 2413 . 15 分
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=ex+ax2−xa∈R .
(1)当 a=1 时,求曲线 y=fx 在 x=1 处的切线方程；
(2)若 fx 在 R 上单调递增，求 a 的值；
(3)若 fx 存在极小值点 x0 且 fx00 ， gx 在 R 上单调递增. 5 分
当 xg0=0,fx 单调递增,不符合题意. ····—-57
② a