2026年河北雄安新区高三数学3月高考一模试卷含答案

这是一份2026年河北雄安新区高三数学3月高考一模试卷含答案，共11页。
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 A={x∣−3csA
D. 若 b=2,A=π3,a=3 ,则 △ABC 为直角三角形
10. 已知正数 m,n 满足 m+n=2 ,则以下结论正确的是
A. m−2+n−2 的值无法确定 B. m2+n2≥2
C. 2m+2n≥4
D. 12m+n+4n+2≥32
11. 已知直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，底面 ABC 为等腰直角三角形， AB=BC=2 ，则下列说法正确的是
A. 直三棱柱 ABC−A1B1C1 一定有外接球
B. 当直三棱柱 ABC−A1B1C1 有内切球时, AA1=4
C. 当 AA1=22 时,平面 A1B1C 与平面 AA1C1C 所成角的正切值为 2
D. 当 AA1=22 时,若 AM=433 ,则点 M 在直三棱柱 ABC−A1B1C1 表面上的轨迹长度为 1439π
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 若双曲线 y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的渐近线方程为 y=±2x ,则该双曲线的离心率为_____.
13. 已知函数 fx=2csωx+φω>0,φ∈R 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 ,若函数 fx 的图象向右平移 π3 个单位,纵坐标不变,得到函数 gx 的图象,且 gx 是偶函数，则 φ 的最小值为_____.
14. 某单位举行了一次有奖竞猜活动, 活动内容为主持人准备了 4 个形状、大小相同的小球, 在其中一个里面放获奖信息(主持人知道哪个小球里面有奖)，由参与者首先进行抽取(不打开)， 之后主持人会从剩余的 3 个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球. 已知一名参与者选择了 1 号小球,则在主持人打开 2 号小球的情况下,获奖信息在 4 号小球的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分) 如图,在长方体 ABCD−A′B′C′D′ 中, AD=AA′=12AB=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点. 求:
(1)直线 A′E 与直线 BC′ 所成的角的余弦值；
(2)直线 AB′ 与平面 BFD′ 所成角的正弦值.

16. (本小题满分 15 分)已知某工厂有 A ， B 两个车间生产某种产品，该产品的售价，x(元)与产品月销量 y (万件)间的几组数据如下:
(1)若可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，根据表格数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 y= bx+a;
(2)当该产品的售价为 6 元时,请估计该产品的月销量;
(3)若 A ， B 两个车间的月产量之比为3:2，且这些产品会全部随机发放到该地区的销售网点，现有 3 名顾客每人购买一件该产品，记这三件产品中来自 A 车间的件数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 EX .
附:参考数据: b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2 , a=y−bx,i=15xiyi=125,i=15xi2=55 .
17. (本小题满分 15 分) 已知数列 an 满足 2an=an−1+an+1n≥2,a7−a4=6,a7 是 a4 与 a12 的等比中项.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 bn 对任意的 k∈N∗ ，当 2k−1≤n≤2k−1 时，都有 bk≤an≤bk+1−2 成立，且 b1=3 ， 求 bn 的通项公式；
(3)求 nbn 的前 n 项和 Sn .
18. (本小题满分 17 分)已知点 G0,3 ，直线 l:y=23 ，点 M 到点 G 的距离与到直线 l 的距离之比为 22 ,点 M 的轨迹为曲线 E .
(1)求曲线 E 的方程；
(2)点 A1,2 ，点 P ， Q 是 E 上异于点 A 的两点，且 kAP⋅kAQ=−1 .
①直线 PQ 是否过定点 N ? 如果是,求出此定点; 如果没有,请说明理由;
②过点 A 作 AG⊥PQ 于点 G ，是否存在定点 D ，使得定点 D 到点 G 的距离为定值？如果有,求出定点 D 的坐标; 如果没有,请说明理由.
19. (本小题满分 17 分) 已知函数 fx=ex−1+x2+2,gx=lnx−x+1x .
(1)证明: fx≥x+12−xlnx 恒成立；
(2)若 gx+1+gm−x>0 在(-1，0)上恒成立，求实数 m 的取值范围；
(3)若 fx≥x2+a+1x+b+1≥x2+2x−gx 恒成立，求 a−b 的值.
高三数学参考答案及解析
1. B 因为集合 A={x∣−3sinπ2−A ,即 sinC>csA ,故 C 正确; 若 b=2,A=π3,a=3 ,则利用余弦定理 a2=b2+c2−2bccsA ,可得 3=4+ c2−2×2c×12 ，即 c2−2c+1=0 ，解得 c=1 ，所以 b2=a2+c2 ，所以 △ABC 为直角三角形，故 D 正确. 故选 ACD.
10. BC A 选项,因为 m,n∈0,+∞,m+n=2 ,所以 m,n∈0,2 ,所以 m−2+n−2=2− m+2−n=4−m+n=4−2=2 , A 错误; B 选项,因为 m+n=2 ,所以 m2+n22≥m+n22=1 ,所以 m2+n2≥2 , B 正确; C 选项, 2m+2n≥22m⋅2n=22m+n=4 ,当且仅当 m=n=1 时,等号成立, C 正确; D 选项,因为 m+n=2 ,所以 12m+n+4n+2=1m+2+4n+2=161m+2+4n+2m+2+n+2= 16n+2m+2+4m+2n+2+5≥162n+2m+2⋅4m+2n+2+5=32 ,当且仅当 m=0,n=2 时取等号,但由题意可知 m>0 ,所以取不到最小值,故 D 错误,故选 BC.
11. ACD 若取点 D 为 AC 的中点, D1 为 A1C1 的中点,连接 DD1 ,则 DD1 的中点为直三棱柱 ABC−A1B1C1 外接球的球心,故 A 正确; 当直三棱柱 ABC− A1B1C1 有内切球时,此时内切球的半径一定是 2+2−222=2−2 ,所以此时 AA1=4−22 ,故 B 错误; 当 AA1=22 时,连接 B1D1 ,因为 AB=BC=2 ,所以 A1B1=B1C1=2 ,又因为 D1 为 A1C1 的中点,所以 B1D1⊥A1C1 ,又因为平面 A1C1CA∩ 平面 A1B1C1=A1C1 ,平面 A1C1CA⊥ 平面 A1B1C1,B1D1⊂ 平面 A1B1C1 ,所以 B1D1⊥ 平面 A1C1CA ,过点 D1 作 D1H⊥A1C ,连接 B1H ,所以 ∠B1HD1 为平面 A1B1C 与平面 AA1C1C 所成角, B1D1=2,D1H=1 ,所以 tan∠B1HD1=B1D1D1H= 2 ，故 C 正确；

因为 AM=433 ，所以点 M 的轨迹为球，该球与直三棱柱 ABC−A1B1C1 表面的交线如图所示，所以轨迹长度为 π3+π12+π2×433+π2×233=1439π ,故 D 正确,故选 ACD.

12.【答案】 62
因为双曲线 y2a2−x2b2=1 的渐近线方程为 y=±2x ,所以 ab=2 ,所以 a2=2b2 ,即 a2=2c2−a2 , 即 3a2=2c2 ,即 ca=62 ,所以该双曲线的离心率为 62 .
13.【答案】 π3
由题意可得,函数 fx 的最小正周期为 π ,所以 π=2πω ,结合 ω>0 ,可得 ω=2 ,所以 fx= 2cs2x+φφ∈R ，又因为将函数 fx 的图象向右平移 π3 个单位，纵坐标不变，得到函数 gx 的图象,所以 gx=2cs2x+φ−2π3 ,因为 gx 为偶函数,所以 φ−2π3=kπk∈Z ,即 φ=2π3+kπk∈Z , 所以 φmin=π3 .
14.【答案】 38
用 Aii=1,2,3,4 表示 i 号小球内有获奖信息,用 Bi 表示主持人打开 i 号小球,
由题知 PB2∣A1=13,PB2∣A2=0,PB2∣A3=12,PB2∣A4=12 ,
又 PA1=PA2=PA3=PA4=14 ,
所以 PB2=i=14PAiPB2∣Ai=14×13+14×0+14×12+14×12=13 ,
所以 PA4∣B2=PA4B2PB2=PA4PB2∣A4PB2=14×1213=38 .
15.(1)取点 M 为 A′B′ 的中点，连接 MB ， MC′ ，
因为长方体 ABCD−A′B′C′D′,E 为 AB 的中点，所以 A′M//BE ，且 A′M=BE ，所以四边形， A′EBM 为平行四边形,所以 A′E//MB ,所以 ∠MBC′ 为直线 A′E 与直线 BC′ 所成的角或其补角, 3 分因为 AD=AA′=12AB=2 ,所以 MB=22,MC′=22,BC′=22 ,
所以 △MBC′ 为等边三角形,所以直线 A′E 与直线 BC′ 所成的角的余弦值为 12 . 6 分 (2)以 DA,DC,DD′ 所在直线分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得 A2,0,0,B2,4,0,B′2,4,2,D′0,0,2,F0,2,0 , 8 分则 AB′=0,4,2,BD′=−2,−4,2,D′F=0,2,−2 , 9 分设平面 BFD′ 的法向量为 n=x,y,z ,则 n⋅BD′=0,n⋅D′F=0, 即 −2x−4y+2z=0,2y−2z=0, 令 z=1 ,
则 n=−1,1,1 . 11 分
设直线 AB′ 与平面 BFD′ 所成角为 θ ,则 sinθ=AB′⋅nAB′n=625×3=155 . 13 分
16.(1)由题意，可得 x=1+2+3+4+55=3,y=10.9+10.2+9+7.8+7.15=9 , 2 分
则 b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=125−5×3×955−5×32=−1 , 4 分
a=y−bx=9−−1×3=12, 6 分
故线性回归方程为 y=−x+12 . 7 分
(2)令 x=6 ，可得 y=−6+12=6 ，所以当该产品的售价为 6 元时，估计该产品的月销量为 6 万件. 9 分
(3)因为 A,B 两个车间月产量之比为3:2，所以每一件产品来自 A 车间的概率为 35,X 服从二项分布 X∼B3,35,X 的可能取值为0,1,2,3,可得 X 的分布列为
13 分
EX=3×35=95. 15 分
17.(1)因为 2an=an−1+an+1n≥2 ，所以数列 an 是等差数列.
设公差为 d ,则 a7−a4=3d=6 ,所以 d=2 , 2 分
由题可知 a4⋅a12=a72 ,即 a1+3da1+11d=a1+6d2 ,解得 a1=3 , 3 分
则数列 an 的通项公式为 an=a1+n−1d=2n+1 . 4 分
(2)由题意可知，当 2k−1≤n≤2k−1 时， bk≤anmin ，则 bk≤a2k−1=2×2k−1+1=2k+1 ，
即 bk≤2k+1 ,① 6 分
当 2k−1≤n≤2k−1 时, anmax≤bk+1−2 ,则 bk+1≥a2k−1+2=22k−1+1+2=2k+1+1 ,
即 bk≥2k+1k≥2 . ② 8 分
由①②可得 bk=2k+1k≥2 ，又 b1=3 满足上式，所以 bn=2n+1,n∈N∗ . 10 分
(3)由(2)知 nbn=n⋅2n+n ，
所以 Sn=1×21+1+2×22+2+⋯+n⋅2n+n=1×21+2×22+⋯+n⋅2n+1+nn2 . 11 分
设 Tn=1×21+2×22+⋯+n⋅2n ,则 2Tn=1×22+2×23+⋯+n⋅2n+1 ,两式作差可得
−Tn=21+22+⋯+2n−n×2n+1=21−2n1−2−n×2n+1=−2+1−n⋅2n+1 ,
所以 Tn=n−1⋅2n+1+2 , 14 分
所以 Sn=n−1⋅2n+1+2+n1+n2 . 15 分
18.(1)设 Mx,y ， d 为点 M 到直线 l 的距离，
由题意可得 MFd=22 ，即 x2+y−3223−y=22 ，即 2x2+y2=6 ，
所以曲线 E 的方程为 y26+x23=1 . 2 分
(2)① 设点 Px1,y1 ， Qx2,y2 ，
当直线 PQ 斜率不为零时,设直线 PQ 的方程为 x=ty+m ,
联立 x=ty+m,y26+x23=1, 整理得 1+2t2y2+4tmy+2m2−6=0 ,
Δ=16m2t2−41+2t22m2−6=86t2−m2+3>0,
可得 y1+y2=−4tm1+2t2,y1y2=2m2−61+2t2 ,
由 kAP⋅kAQ=−1 ,得 y1−2y2−2x1−1x2−1=−1 , 5 分
将 x1=ty1+m,x2=ty2+m 代入,整理可得
t2+1y1y2+tm−t−2y1+y2+m−12+4=0,
即 t2+12m2−61+2t2+tm−t−2−4tm1+2t2+m−12+4=0 ,
整理化简得 2t+3m+12t+m−1=0 , 7 分
因为 A1,2 不在直线 PQ 上,
所以 2t+m−1≠0 ,故 2t+3m+1=0 ,即 m=−2t+13 ,此时满足 Δ>0 恒成立, 9 分
所以直线 PQ 的方程为 x=ty−2t+13 ,即 x=ty−23−13 ,所以直线 PQ 过定点 N−13,23 . 10 分
当直线 PQ 的斜率为零时,易验证直线 PQ 的方程为 y=23 ,过定点 N−13,23 . 12 分
综上,直线 PQ 过定点 N−13,23 . 13 分
②分析可得点 G 的轨迹为以 AN 为直径的圆,线段 AN 的中点坐标为 13,43,AN=423 ,所以点 G 的轨迹方程为 x−132+y−432=89 , 15 分
所以存在定点 D13,43 满足题意. 17 分
19.(1)要证 fx≥x+12−xlnx 恒成立，即证 ex−1+xlnx−2x+1≥0 恒成立， 1 分设 Mx=ex−1+xlnx−2x+1 ,则 M′x=ex−1+lnx−1 ,设 Nx=ex−1+lnx−1 ,则 N′x= ex−1+1x>0 ,所以函数 Nx 在 0,+∞ 上单调递增,又 N1=0 ,所以函数 Mx 在 0,1 上单调递减，在 1,+∞ 上单调递增，所以 Mx≥M1=0 ，故 fx≥x+12−xlnx 恒成立. 4 分
(2)因为 g1x=ln1x−1x+x=−gx ,
所以 gx+1+gm−x>0 ,即 gm−x>−gx+1=g1x+1 , 5 分
因为 gx=lnx−x+1x ,所以 g′x=1x−1−1x2=−x2−x+1x2