江苏省南通市2026届高三2.5模数学试卷解析版

这是一份江苏省南通市2026届高三2.5模数学试卷解析版，共37页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合 ，若 中含有 4 个元素，则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】 中含有 4 个元素,则 或 或 个元素,不满足;
时, 中有重复元素不满足, .
2. 已知五个数 的极差为 4,方差为 2,则 的
A. 极差为 4 , 方差为 2 B. 极差为 4 , 方差为 4
C. 极差为 8 , 方差为 4 D. 极差为 8 , 方差为 8
【答案】D
【解析】 极差为 4,方差为 2,则 极差为 8,方差为 .
3.已知复数 满足 ,则
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】令 ,
.
4.已知 ，且 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,
.
5.已知圆锥的体积为 ，侧面积是底面积的 3 倍，则其底面圆的半径为
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥底面半径为 ,高为 ,母线 ,.
6.若直线 是曲线 的一条切线,则
A. -eB. C. e D.
【答案】C
【解析】设切点 ,
切线 ,切线 过 , .
7.已知函数 是奇函数，则 的最大值为
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】 为奇函数,则 ,则 或 ,
又 ,
.
8.已知双曲线 的左、右焦点分别为 为右顶点， 是 上一点. 若 ,则 的离心率为
A. 2 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】 ,
.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知随机变量 ,则
A. B. 是增函数
C. D.
【答案】ABC
【解析】 , 对. 为单调增函数, B 对.
对.
, D 错.
10.数列 的前 项和记为 ,且 ,则
A. B. 为等差数列
C. D. 中有最大项也有最小项
【答案】ABD
【解析】 时, ,
对.
是以 为公差的等差数列, 对.
错.
时, 时,
时不成立, 时, 单调递增且 , D 对.
11.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 是圆 的一条直径，则
A. B. 的面积最大值为
C. 的最小值为 D.
【答案】ABD
【解析】设圆心为 ,则 , .
对 ,
A 对.
对 ,直线 过点 ,且方向向量可取 ,
故其方程可化为 .
于是 .
又 ，所以 .
当 时取等号, 对.
对 ,
故 .
由余弦定理, .
又 ,所以 .
当且仅当 时取等号,此时 . C 错.
对 ,而 .
故 .
又 . 所以 . 对.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 的展开式中， 的系数为________.
【答案】80
【解析】设通项为 . 令 ,得 . 故 ,所以 的系数为 80 .
13.已知 两点在函数 的图象上， 两点在函数 的图象上,且 平行于 轴, 和 平行于 轴. 若线段 的长度是线段 长度的 12 倍，则线段 长度为_______.
【答案】
【解析】设 .
由 平行于 轴,得 .
又 ,所以 .
令 ,则 .
代入得 ,
. 由 ,得 . 故 .
所以 .
14.记 的三个内角 所对的边分别为 ,已知 , ，则 的面积为________.
【答案】
【解析】
,
,即
即
又 中,
.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列 为正项等比数列,公比 ,前 项和为 , .
(1)当 时，记集合 ，求 中元素之和；
(2) 求 的最小值 .
【解析】(1)
由
中元素之和为: .
(2)
,令
(当且仅当 时取 “ ”）
16.已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)讨论函数 的单调性.
【解析】(1) ,令
且当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增
,无极大值.
(2)
当 时, 单调递减;
当 时,
① 当 时， 在 上单调递增
② 当 时，令
且当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增
综上: (i) 当 时, 在 上单调递减; 上单调递增
(ii) 当 时, 在 上单调递减; 上单调递增 .
17.如图，在直四棱柱 中，四边形 是梯形， 为矩形 两条对角线的交点，且 平面 .
(1)证明: ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ；
(3)平面 将该四棱柱分成上、下两部分，求上、下两部分的体积之比.
【解析】
(1)证明:取 的中点 平面 ，
平面 ,平面 平面
四边形 为平行四边形, ,又 , .
(2)如图建系，设
设平面 的一个法向量
或 4
(3)延长 交 于点 ，过 作 于点 ，连接 ，
设 ,
.
18.已知椭圆 的焦距为 ，过点 的直线 与 交于 两点， 为 的中点， 为坐标原点. 设 的斜率为 ，直线 OM 的斜率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为直角三角形，求 的值；
(3)直线 交 轴于点 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ， 探究: 是否为定值?
【解析】(1) 设 ,
即 且 ,结合
椭圆 的方程为: .
(2)直线 方程为: ， ，
若 ,则
符合
若 ,则 在以 为直径的圆: 上
,此时
当 时, ,当 时,
综上: .
(3) ,直线 方程: ,令
为定值.
19.一盒子中共有 5 个大小质地完全相同的小球，其中 3 个红球，2 个黑球. 从盒子中一次随机取出两个球, 如果取出的球是黑球, 则将它放回盒子中; 如果取出的球是红球, 则不放回盒子中, 另补相同数量的黑球放入袋中. 重复进行上述操作 次后,盒子中黑球的个数记为 .
(1)求恰好 2 次操作后，袋中小球的颜色全部相同的概率；
(2)求随机变量 的分布列；
(3)证明: .
【解析】先有 .
(1)两次操作后颜色全部相同，只能全为黑球，即
(2)
故 的分布列为
(3)记初始黑球数 ，设第 次操作取出的红球个数为 ， 当 时,袋中红球数为
又 .
两边取期望,得 .
于是 . 而 .
故 ,即 .2
3
4
5