江苏省南通(海安等)高三2.5模数学试卷含解析（word版）

这是一份江苏省南通(海安等)高三2.5模数学试卷含解析（word版），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
2. 已知复数 . 在复平面内, 对应的点所在的象限为
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】B
【解析】 对应的点 位于第二象限.
3. 抛物线 上横坐标为 1 的点到其焦点的距离为 3,则抛物线焦点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,焦点 .
4.若 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 在 单调递增, ,.
5.一个正六棱锥的高为8，底面边长为4，则它的外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】底面边长为 4 的正六边形外接圆半径为 4,设外接球半径为 则 ,表面积 .
6.已知向量 满足 ，则 的夹角为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,则 , 则 ,
.
7.设 是函数 的一个零点,则函数 在区间 内所有极值点之和为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 的一个零点为 ,则 ,
,求 的极值点,令
,则 可取 ,
.
8.设 是定义在 上周期为 1 的函数,在区间 上, 其中集合 ,则方程 在区间 上解的个数为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】.方法一: 如下图共 7 个交点.

方法二: 由题意, .
设
当 时, ,且 ,而 .
所以 时,不可能有 .
时, ,只有 满足 .
所以只需数 ,在各段中的解数. 令 .
又 .
故解的个数为 .
方法三: 由 周期为 1,设 ,得 ,原方
程化为 . 若 与 均为有理数,且 时无理数 不可能等于有理数 ,无解; 时, 成立, 得到解 . 若 ,即 ,转化为 . 令 ,当 时 ,当 时 ,得到 在 单调递增. , 结合 ,得到 ,对应 7 个解 . 当 时, ,舍去. 当 时, ,由 知 为无理数,满足 ,得到 6 个解. 综上,共 个解
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知事件 满足 ,则
A. 事件 相互独立 B. 事件 互斥
C. D.
【答案】AC
【解析】 ,
独立, 对.
不一定为 不一定互斥, B 错.
对.
不一定为 0.3, D 错.
10.设函数 ,若存在唯一的整数 ,使得 ,则实数 的取值可以为
A. B. C. 23 D. 25
【答案】BCD
【解析】 . 当 时, 不成立
. 分离参数,令 ,导函数零点为
① 当 时， . ，
且 . 若存在唯一整数 满足 ,则必有 .
需满足 .
因 ,此时 成立,故 满足条件.
② 当 时， .
. 且 .
若存在唯一整数 满足 ,则必有 .
需满足 .
此时 成立,故 与 均满足条件.
综上, 的取值可为 .
11.设满足以下两个条件的有穷数列 为 阶 “期待数列”;
① ；② .
A. 若等比数列 为 的 “期待数列”,则公比
B. 若等差数列 既是 的 “期待数列” 又是递增数列,则公差
C. 记 阶 “期待数列” 的前 项和为 ,则
D. 若存在 ,使得 阶 “期待数列” 的前 项和 ,则数列 总不能为 阶 “期待数列”
【答案】ACD
【解析】对于 等比数列 为 的 “期待数列”,设公比为 ,显然 (否则 矛盾), A 正确.
对于 等差数列 为 的 “期待数列”,设公差为 ,由 单调递增, ,由 ,
B 错.
对于 ,假设 ,若 ,则 ,
与 矛盾,若 ,同理也矛盾, 假设不成立, , C 正确.
对于 ,若存在 使 ,
,而 ,
不可能同时满足
及 ， 数列 总不能为 阶 “期待数列”, D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知等差数列 ,等比数列 满足 ,且 成等差数列， ， ， 成等比数列，则 ________.
【答案】42
【解析】设 公差为 公比为 成等差数列
,
等比数列 ,
由等比数列性质知 ,代入上式得 ,
由等比数列中 均不为 0 .
13.在 中, 是 的中点,若 ,则 _______.
【答案】
【解析】 ,令 ,则 ,
14.已知椭圆 的右焦点为 ,经过坐标原点 且斜率 的直线 与椭圆 交于 两点,设 的中点为 的中点为 ,以线段 为直径的圆经过点 ，则 的离心率的取值范围________.
【答案】
【解析】取左焦点 分别为 中点, 为 中位线, 同理 为直径过点 ,则
,则 ,令 ,则 ,
,同理 ,
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为 ,对应的内角为 ,被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似,且二者外接圆半径之比为 .
(1)若被挖去的三角形的外接圆面积为 ，求: 的值；
(2)若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求:该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值.
【解析】(1)设挖去的三角形的外接圆半径为 ,
的三边分别为 ,它分别和 为对应边
.
(2)由题意知
设该直角三角尺绕 所在直线旋转一周形成几何图形体积为
同理绕 旋转形成体积为 ,绕 旋转形成体积为
记其绕其一边旋转一周而成几何图形的体积最小值为
由 ,当且仅当 时取 “ ”
此时经检验 符合, .
16.已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)证明:数列 是等比数列;
(2)定义集合 ，记 的元素个数为 ， 求 .
【解析】(1) ①， ②
②-①
,在①中令
成首项为 3,公比为 3 的等比数列.
(2)由(1)知
.
17.已知盒子中共有 个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有 个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出.
(1)求第二次取出的球是黄球的概率；
(2)若 ，且红球和黑球的个数比为1:2，求黄球最先被全部取出(取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黒球)的概率;
(3)记随机变量 为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数， 是 的数学期望,证明: .
【解析】
(1)设第二次取出的球为黄球为事件 .
(2)红球个数为: 个，黑球个数为10个，黄球为5个.
黄球最先被全部取出分为两种情形
(i)最后一次取出红球，之前黄球和黑球中最后一个取出的是黑球
(ii)最后一次取出黑球，之前黄球和红球中最后一个取出的是红球
所求概率 .
(3) 的所有可能取值为
表示最后一个取出的为黄球,再从之前 个位置选取 个位置
安排余下的黄球,
18.设函数 的定义域为 ，且在 上存在导函数 ，若实数 满足对任意的 都有 ,则称函数 具有 “ 性质”.
(1)设 ，判断函数 是否具有 “ 性质”？
(2)已如函数 具有 “ 性质”,且 ,记 ,求证: ;
(3)对任意的 ，都有 ， 判断函数 是否一定具有 “ 性质”? 并证明你的结论.
【解析】(1)
而
,
对 恒成立
具有 性质.
(2) 证:
即证: ①且 ②
在原式中令 ② 得证
再令
①式也得证！ .
(3) 设 ,
其中
且
当 时,在 中奖 替换为 ,
将 替换为 ,可得
③
当 时,由
当 时,由③
在 上单调递增; 上单调递减
对 恒成立
,
具有 “ 性质”.
19.已知 是坐标原点，双曲线 在顶点 ， 直线 过点 交 的右支于 两点,记 的面积分别为 ,且当直线 与 轴垂直时, .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知直线 交 轴于点 ，
(i) 若 , ,求证: 为定值;
(ii) 在 (i) 条件下,若 ,当 时,求 的取值范围.
【解析】方法一:(1)由题意知
(2)(i)设直线 的方程为 ，
为定值.
(ii) 设 ,图中 且由
而
令 .
方法二: (1) 的标准方程为 .
(2)(i)证明:设 ，
联立方程
设 .
令 .
.
同理 .
为定值 .
(ii) 在双曲线右支, . 在 轴异侧.
.
.
令
.
在 上单调递增.
.
.m
梯围
解数
0
1
1
1
2
1
3
;
;
1
4
1
5
1
6
1