江苏省南通市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省南通市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线与平行，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．若方程：表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若空间向量，则下列向量能与构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
5．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是空间三个不共线向量，则“向量共面”是“存在三个均不为零的实数，使得”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
7．在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．0D．
8．已知直线和圆交于两点，设线段的中点为为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（ ）
A．B．3C．D．
10．已知圆与圆，则（ ）
A．圆心距
B．两圆的公共弦所在直线的方程为
C．两圆的公共弦长为
D．直线是两圆的一条公切线
11．在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则（ ）
A．
B．当且仅当为中点时，
C．存在，使得
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．已知向量，，且，则 .
13．过点作圆的切线，则切线长为 .
14．已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为 .
四、解答题
15．已知的三个顶点为.
(1)求边上的中线的长；
(2)求的外接圆方程.
16．如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.
(1)用向量表示；
(2)求；
(3)求向量与夹角的余弦值.
17．（1）过点作直线的垂线，垂足为.
①求点的坐标；
②求以为直径的圆被轴截得的劣弧的长度；
（2）已知点和直线（不同时为零），证明：点到直线的距离.
18．如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且.
(1)证明：；
(2)若平面平面，求的值；
(3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）.
19．已知曲线.
(1)求曲线围成的平面图形的面积；
(2)若是曲线上的两个动点，求的最大值；
(3)是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
1．A
根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角．
【详解】可化为：，
∴直线的斜率为，设直线的倾斜角，则，
∵，∴．
故选：A．
2．D
利用两直线平行的充要条件列式求解即可.
【详解】由直线与平行，
得，所以.
故选：D.
3．B
根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可.
【详解】因为方程：表示圆，
则有，解得：，
故选：B.
4．D
根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得.
【详解】对于A，，向量共面，A不是；
对于B，，向量共面，B不是；
对于C，，向量共面，C不是；
对于D，假设，则，于是，方程组无解，
即向量不共面，能构成空间的一个基底，D是.
故选：D
5．C
设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可.
【详解】设对称点的坐标为，
由题意可得，解得，
所以点关于直线的对称点的坐标为.
故选：C
6．A
利用空间向量共面的基本定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解.
【详解】因为实数均不为零，所以，
此时向量共面，故必要性成立；
因为是空间三个不共线向量，若向量共面，
则存在非零实数、使得，则，
取，即有，故充分性成立；
所以“向量共面”是“存在三个均不为零的实数，使得”的充要条件.
故选：A
7．B
利用正三棱柱的性质计算出，，，再根据夹角公式即可求解.
【详解】由题意，同理可得，
因为平面，平面，所以， 即，
所以
，
所以，
故直线与所成角的余弦值为.
故选：B
8．D
易知直线l过定点，且点在圆内，结合垂直于，可得动点的轨迹方程为，由此容易得出的最大值．
【详解】将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，
直线，易知直线恒过定点
又,所以点在圆内，如图所示：

由于垂直于，则点的轨迹为以为直径的圆，
线段的中点坐标为，，
所以动点的轨迹方程为，
又，，
可得，
即的取值范围为，
所以的最大值为.
故选：D
9．BCD
利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解.
【详解】联立，可得，即两直线交点为.
当时，直线和直线平行，不能围成三角形;
当时，直线和直线平行，不能围成三角形;
当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形;
当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意.
故选：BCD
10．ABD
根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D.
【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径.
对于A：,故A正确；
对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去,
得到,整理化简得,故B正确；
对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误；
对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确.
故选：ABD.
11．ABD
以为原点，建立坐标系，设，根据，求得，由，可判定A正确；由，求得，可判定B正确；由，列方程方程组，可判定C错误；过作，证得即为直线与平面所成角，求得，利用换元法和函数的单调性，可判定D正确.
【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，
设，其中可得，
因为，则，
可得，所以，
对于A，由，
可得，所以A正确；
对于B，由，可得
若，可得，所以，解得，
即分别为的中点，所以B正确；
对于C，由，
若，可得，则存在实数使得，
可得，可得，因为，所以不存在，
所以不存在使得，所以C错误；
对于D，过点作，连接，
在正方体中，可得平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
所以即为直线与平面所成角，
在直角中，由，可得，
所以
在直角中，可得，
令，其中，
可得，且，所以，
由函数在上单调递减，
所以当时，，所以的最大值为，
所以的最大值为，所以D正确.
故选：ABD.
12．/
根据向量平行可知存在实数，使得，结合向量坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，，
若，则存在实数，使得，
可得，解得.
故答案为：.
13．
把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可.
【详解】方程可化为，圆心，半径，
所以切线长为.
故答案为：
14．
确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解.
【详解】因为两条直线和都经过点，
所以，，
所以，分别在直线上，
所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即，
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可.
（2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可.
【详解】（1）由中点坐标公式得的中点，
由两点间距离公式得.
（2）设三角形外接圆方程为，
因为点在所求的圆上，可得，解得，
则外接圆的方程为.
16．(1)
(2)
(3)
（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；
（2）利用向量的模与数量积的关系求解即可；
（3）利用向量的夹角公式计算即可求解.
【详解】（1）
；
（2）
（3）因为，
所以
.
.
由正四面体的棱长为2，可得，
所以.
17．（1）①；②；（2）证明见解析
（1）①求得直线的方程，联立方程求解即可；②求得圆的方程，由勾股定理可得，计算即可求解；
（2）方法一：求得过点和直线垂直的直线方程，联立方程组求得交点坐标，由平面中两点间的距离公式即可得证；方法二：过点分别作轴､轴的垂线，分别与相交于，由等面积法计算即可得证.
【详解】（1）①因为直线的斜率，
所以其垂线的斜率，
所以直线的方程为.
联立，解得.
②因为，
所以以为直径的圆的圆心，半径，
所以圆的方程为.
设圆与轴交于两点，则，
所以，
所以，所以所求弧长为.
（2）法一：设，过点作直线的垂线，垂足为，
则过点和直线垂直的直线方程为.
联立，解得，
所以点的坐标为.
所以
当时，
.
当时，
.
所以点到直线的距离.
法二：过点作，垂足为.
当时，
过点分别作轴､轴的垂线，
分别与相交于.
由，
得，
所以，
因为是斜边上的高，
所以，
即点到直线的距离.
当时，
.
当时，
.
综上，点到直线的距离.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）利用面面垂直的性质可得平面，进而利用线面垂直的性质可得，建立空间直角坐标系，利用向量法可得结论；
（2）求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求的值；
（3）设，求得，利用向量法可求得，进而可求解.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
在矩形中，平面，所以平面.
又因为平面平面，所以.
以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，
则，.
所以，
所以，
所以.
（2）.
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，则
，即，令，得，
所以平面的一个法向量为.
若平面平面，则，
得，解得，
因为，所以.
（3）设，则，所以.
由（2）可知，平面的一个法向量，所以，
得，解得.
所以，所以，
所以.
19．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）曲线既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称.
当时，曲线方程为.
记圆心为，与轴分别交于两点，
则，过点作，
则，
所以，
所以.
所以，
所以，同理.
由对称性可知，曲线围成的平面图形的面积
.
（2）记曲线在第一象限的圆心为，第二象限的圆心为，
第三象限的圆心为､第四象限的圆心为.
情况1：不妨都在第一象限（或坐标轴正半轴），.
情况2：不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时，
（当且仅当四点共线时等号成立），此时最大值为6.
情况不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时，
（当且仅当四点共线时
等号成立），此时最大值为.
综上，根据对称性可知最大值为.
（3）当时，研究直线与曲线在第一象限的公共点.
联立，得（*）.
因为，
所以方程（*）只有一个正根，则直线与曲线在第一象限只有一个公共点.
同理，直线与曲线在第三象限也只有一个公共点.
因此，当时，直线与曲线只有两个公共点.
当时，
一方面，直线与曲线在第二象限的部分至多两个公共点.
另一方面，由，得（*）.
因为，
所以方程（*）无正根，即直线与曲线在第一象限无公共点.
同理，直线与曲线在第三象限无公共点.
所以当时，直线与曲线至多两个公共点.
所以时，直线与曲线至多两个公共点.
由对称性可知，时，直线与曲线也至多两个公共点.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
D
C
A
B
D
BCD
ABD
题号
11









答案
ABD