江苏省南通市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省南通市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析），共22页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.02B. 0.03C. 0.07D. 0.08
2. 已知一个圆锥底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
4. 电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（ ）
A. 24B. 36C. 72D. 144
5. 函数，的单调增区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（ ）
A B. C. D.
8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 在空间中，，是不重合直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 曲线恒过定点
B. 若，则的极小值为0
C. 若，则
D. 若，则的最大值大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某小吃店日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：
由表中数据可得回归方程中．试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为______百元．
13. 设随机变量，且，则______；若，则的方差为______．
14. 已知六棱锥的底面是正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的余弦值．
16. 为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表：
（1）能否有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关?
（2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列．
附：
17. 已知函数，，，
（1）设曲线在处切线为，若与曲线相切，求；
（2）设函数，讨论的单调性．
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若为棱的中点，求二面角的正弦值；
（3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值．
19. 箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止．
（1）求2号球为红球的概率（用与表示）；
（2）若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求；
（3）若箱子中白球、黑球个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率．
0
1
2
百元
5
4
2
2
1
男性
女性
喜欢
12
4
不喜欢
6
8
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
2024年南通市高二学年度质量监测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.02B. 0.03C. 0.07D. 0.08
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布的性质求解即可.
【详解】由于随机变量，且，所以,
故选：B
2. 已知一个圆锥底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用弧长等于圆锥底面周长，扇形半径为母线长，联立方程，解出即可．
【详解】设圆锥母线长为l,扇形半径为R,则,，解得l=10.
故选：D.
3. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解.
【详解】由题意，
因为，所以，即.
故选：C.
4. 电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（ ）
A. 24B. 36C. 72D. 144
【答案】D
【解析】
【分析】先把某电视剧和某专题报道排在上午，再结合全排列计算即可.
【详解】因为某电视剧和某专题报道必须在上午播出，所以种排法,
其他4个节目有种排法，
所以不同播出方案的种数为.
故选：D.
5. 函数，的单调增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求导函数，再令导函数大于等于0，即可求出单调增区间.
【详解】因为，所以,
即，.
单调增区间为.
故选：A.
6. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可.
【详解】连接，因为是线段的中点，所以
因为，所以
所以
故选：D
7. 已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简不等式得出函数单调性，再把单调递增转化为导数恒为正即可求出参数最值.
【详解】假设,又因为,可得,
设,,单调递增，
,恒成立,
所以,即可得.
故选：B.
8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可.
【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确；
乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确；
则有，故C正确；
则，故D正确；
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用赋值法判断A,C,D选项，根据二项式展开式判断B选项.
详解】令,可得,A选项正确；
令,可得,
令,可得，
两式相加可得C选项正确；
是的各项系数和，所以，D选项正确；
的展开式的系数是,B选项错误.
故选：ACD.
10. 在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】运用线面平行垂直的性质和判定逐个分析即可.
【详解】对于A, 若，，则或者，故A错误；
对于B,可以用法向量来思考. ，所在的方向取，的法向量，法向量垂直可推出面面垂直.故B正确;
对于C, 若，，，则或者相交，故C错误；
对于D，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则，因为平面，平面，则平面，
因为平面，，则，又因为，则，故D正确．
故选：BD.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 曲线恒过定点
B. 若，则的极小值为0
C. 若，则
D. 若，则的最大值大于
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，求出即可；对于B，结合导数求出的极值即可；对于C，利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可；对于D，结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可.
【详解】对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确；
对于B，当时，，则，
令，解得：，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，所以的极大值为，
故B不正确；
对于C，，当，则，所以在上单调递增，
又，即，则，故C正确；
对于D，当时，由，解得：，
当时，，则在上单调递增，当，，
则在上单调递减，
所以，
令，则，
所以当时，，则在上单调递增，
所以，即的最大值大于，
而，故，即，所以D正确；
故选:ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：
由表中数据可得回归方程中．试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为______百元．
【答案】6
【解析】
【分析】求出样本中心点，代入得到值，再令即可.
【详解】由已知数据，，
因为，则，代入，则，
则，令，则.
故答案为：6
13. 设随机变量，且，则______；若，则的方差为______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】(1)用二项分布的概率公式可解；
(2)用二项分布的方差结论即可解决.
【详解】(1) ,则，
则，解得
(2) ，由(1)得，则．
，则
故答案为：；．
14. 已知六棱锥的底面是正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，即可求出，进而得到，利用导数即可求解．
【详解】根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，
设底面正六边形的边长为，所以底面外接圆的半径为，
六棱锥的底面积，设六棱锥的高为，
因为，即，所以，．
设外接球的半径为，可得，，得．
所以，
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，解得，
故球的表面积为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再根据线面垂直判定定理证明线面垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【小问1详解】
由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，
则，
所以，
所以，
所以，即，
又因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
记直线与所成角为，则
，
故直线与所成角的余弦值为.
16. 为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表：
（1）能否有把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关?
（2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列．
附：
【答案】（1）没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关
（2）的分布列见解析
【解析】
【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；（2）根据题意求出离散型随机变量可能取值以及对应的概率，列出分布列.
【小问1详解】
由题可得，
所以没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关；
【小问2详解】
由题可得男性的人数可能取值为：0，1，2，3
，
，
，
,
所以的分布列为：
17. 已知函数，，，
（1）设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求；
（2）设函数，讨论的单调性．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求出曲线在处的切线为，与联立方程组，由解得；
（2）先求的定义域，求导数，对进行分类讨论，求解即可.
【小问1详解】
，，且，
所以曲线在处的切线为，
则，得，
因为与相切，
所以，得（舍），或；
【小问2详解】
的定义域为，
，
因为，令，得或，
当时，，
所以当和时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减增，
当时，，
所以当和时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减增，
当时，，当时取等号，函数在上单调递增，
综上所述，时，的单调增区间为，，
单调减区间为，
时，的单调增区间为，没有减区间，
时，的单调增区间为，，单调减区间为.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若为棱的中点，求二面角的正弦值；
（3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得.
（2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函数值.
（3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求它的最小值.
【小问1详解】
因为，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面.
所以.
【小问2详解】
如图：
取中点，连接.
因为平面，平面，所以.
在四边形中，，且，
所以四边形为矩形.所以平面.
又在和中，，，.
所以（）.
所以，.
故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
当为中点时，，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，取.
设平面的法向量为，
则，取
所以.
所以二面角的正弦值为：.
【小问3详解】
设，（） ，则，，.
设平面的法向量为，则
，取
则到平面的距离为：，
到平面的距离为：，
所以
设，则
那么（当且仅当即时取“”）
所以.
【点睛】结论点睛：点为平面外一点，点为平面内一点，平面的法向量为，则点到平面的距离为：.
19. 箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止．
（1）求2号球为红球的概率（用与表示）；
（2）若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求；
（3）若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设事件：第号球为红球，利用全概率公式求；
（2）根据题意，先得出的可能取值为：，结合题意，求出对应的概率，进而可得出分布列，再由期望的计算公式，即可求出结果；
（3）将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考察再进行全排列，利用概率公式求解答案.
【小问1详解】
设事件：第号球为红球，
则
；
【小问2详解】
根据题意，随机变量的取值为，
从袋中个红球和个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有种情况；
则，，
，，
，，，
所以的分布列为：
因此其数学期望为：
；
【小问3详解】
解法一：根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球.
问题1：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完，
此时的概率为，
同理可得，最后一球为白球的概率为，
最后一球为黑球的的概率为，
将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，
按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查.
问题2：发现最后一球是红的概率为，最后一球是白球的概率为，
最后一球是黑的概率为，所以问题1与问题2等价.
不妨令红球为a，白球为b，黑球为c，d，则全排列作为概率公式分母，即.
记“红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）”为事件A，
现在对事件A进行分析：
第一类：a在首位时，b，c，d全排列，有种可能；
第二类：a在第二位时，b必须在第三或第四位，c，d全排列，有种可能；
共种可能.
所以.
解法二：考虑最后一个球的颜色情况：
①最后一个球是白球：
i)将全部黑球放入白球前面，共1种方法；
ii）再将全部红球一个一个放入，确保最后一个红球后面有黑球和白球：有种方法；
iii)最后将剩余的()个白球放入：有种方法；
所以情况①共有种.
②最后一个球是黑球：
过程类似于情况①，共有种.
综上所述：
【点睛】关键点点睛：将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查.
0
1
2
百元
5
4
2
2
1
男性
女性
喜欢
12
4
不喜欢
6
8
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3