江苏南通市通州区2026届高三下学期期初测试数学试卷-附答案解析

这是一份江苏南通市通州区2026届高三下学期期初测试数学试卷-附答案解析，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=2 3+i，则z=( )
A. 1B. 3C. 2D. 5
2.已知集合M=(−1,3)，N=(0,+∞)，则集合(−1,0]=
A. ∁RM∩NB. M∩∁RNC. ∁R(M∪N)D. ∁R(M∩N)
3.设直线l1，l2的倾斜角分别为θ1，θ2，斜率分别为k1，k2，则“θ1>θ2”是“k1>k2”的
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量a，b满足a⋅b>0，a在b上的投影向量为c，c在a上的投影向量为12a，则a与b的夹角为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
5.已知cs2α+π3=725，则sinα−π6+csα=( )
A. 35B. 45C. ±35D. ±45
6.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x+1)是奇函数，f−12=2，则k=118fk2=
A. −2B. 2C. −4D. 4
7.已知三棱柱ABC−A1B1C1的棱长均为2，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则A1到平面BCC1B1的距离为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
8.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1=2，ea1+a2+a3+a4=a1+a2+a3，则
A. a1a2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与C的一个交点为P，且PF1=2PF2，则( )
A. PF1=4
B. C的离心率为 5
C. C的渐近线方程为y=±12x
D. 分别以PF1，PF2为直径的圆的公共弦长为4 55
10.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且PA=12，PB=23，PA+B=56，则( )
A. A，B是相互独立事件B. 事件A，B互斥
C. PA+B=PBD. PB|A=PA|B
11.已知函数f(x)=csπx⋅sin2πx，则
A. f(x+1)=f(x)B. f(1−x)=f(x)
C. f(x)的值域为−4 39,4 39D. f(x)在−15,15上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若x1,x2,⋅⋅⋅,x3的方差为4，则2x1−2,2x2−2,⋅⋅⋅,2xn−2的方差为 .
13.已知△ABC的面积为1，tanA=12，tanB=−2，则AB= .
14.已知斜率为−1的直线与曲线y=ex−x(x>0)，y=1−x−lnx分别相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则2x1+ex2的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位： ∘C)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶;如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值?
16.(本小题15分)
如图1，在正三角形ABC中，BC=4，D，E分别是AC，AB上的点，CD=BE=1，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥P−BCDE，使得PO= 6.
(1)证明：PO⊥平面BCDE；
(2)求二面角B−PC−D的正弦值．
17.(本小题15分)
已知点A，B，C，D都在抛物线E：x2=4y上，且DC=2AB，线段AB，CD的中点分别为M，N.
(1)证明：直线MN垂直于x轴；
(2)直线AB经过曲线E的焦点F，直线AD与BC相交于点P，求△PAB面积的最小值．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=(x−1)ex−ax2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点x1，x2，且x10.
19.(本小题17分)
设无穷数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=anan+12+k，k∈R，则称数列{an}为“k型”数列．
(1)若数列{an}为“k型”数列，且k=0，求a2，a3，a4的值；
(2)若数列{an}为“k型”数列，且kk2”，则“θ1>θ2”，
若“θ1>θ2”，则“k1>k2”，
当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“k1>k2”，则“θ1与θ2”的大小不能确定，
若“θ1>θ2”，则“k1与k2”的大小也不能确定，
则“θ1>θ2”是“k1>k2”的既不充分也不必要条件．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据向量的数量积及投影向量公式求解即可.
【详解】设向量a与b的夹角为θ.
因为a⋅b>0，所以csθ=a⋅ba⋅b>0.
因为a在b上的投影向量为c，所以c=a⋅bb⋅bb=a⋅bb2b①.
c在a上的投影向量为c⋅aa⋅aa=c⋅aa2a，所以c⋅aa2a=12a，即c⋅a=12a2②.
将①代入②中，a⋅bb2b⋅a=12a2，即a⋅b2b2=a⋅bcsθ2b2=a2cs2θ=12a2，
所以cs2θ=12，因为csθ>0，所以csθ= 22，所以θ=45 ∘.
5.【答案】C
【解析】【分析】利用二倍角公式求得sinα+π6，再利用两角和与差的三角函数公式和辅助角公式化简sinα−π6+csα，可得结果.
【详解】由cs2α+π3=725⇒1−2sin2α+π6=725⇒sin2α+π6=925⇒sinα+π6=±35.
又sinα−π6+csα=sinαcsπ6−csαsinπ6+csα= 32sinα+12csα=sinα+π6.
所以sinα−π6+csα=±35.
6.【答案】B
【解析】解：由f(x)是偶函数，得f(−x)=f(x)；
由f(x+1)是奇函数，得f(−x+1)=−f(x+1)。
结合偶函数性质，f(−x+1)=f(x−1)，故f(x−1)=−f(x+1)。
令x→x+1，得f(x)=−f(x+2)；再令x→x+2，得f(x+2)=−f(x+4)，因此f(x)=f(x+4)，即f(x)的周期为4。
由f(x+1)是奇函数，得f(1)=0，
由f(x−1)=−f(x+1)，令x=12，得f−12=−f32；结合偶函数性质f−12=f12=2，故f32=−2。
由f(x+2)=−f(x)，得f(2)=−f(0)，f(4)=f(0)。
f12=2，f(1)=0，f32=−2，f(2)=−f(0)；
f52=f12+2=−f12=−2，f(3)=f(−1)=f(1)=0，f72=f32+2=−f32=2，f(4)=f(0)；
后续值按周期4循环，且f(2)与f(0)的项在求和时相互抵消。
计算前16项中，f(2)与f(0)的项抵消，剩余常数项和为0；最后两项f172=2，f(9)=0，故总和为2。
7.【答案】B
【解析】解：如图，记△ABC的中心为O，连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边的中点．
∵点O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，
∴BC⊥AD，BC⊥A1O.
∵AD∩A1O=O，
∴BC⊥平面ADA1.
∴BC⊥AA1.又AA1 // CC1，
∴CC1⊥BC，
∴四边形BCC1B1为正方形，
∵三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，
∴可求得AD= 3，AO=23AD=2 33，
A1O= AA12−AO2=2 63.
∴VABC−A1B1C1=S△ABC⋅A1O=2 2，
VA1−BCC1B1=VABC−A1B1C1−VA1−ABC=4 23.
设A1到平面BCC1B1的距离为d，
∴VA1−BCC1B1=13⋅SBCC1B1⋅d=13×2×2×d=4 23，解得d= 2，
故选B.
8.【答案】D
【解析】设等比数列{an}的公比为q，由a1=2得：
a2=2q，a3=2q2，a4=2q3，
前3项和S3=a1+a2+a3=2(1+q+q2)，前4项和S4=S3+a4。
根据条件eS4=S3，由对数恒等式得S4=ln S3，因此：
S3+2q3=ln S3⟹2q3=ln S3−S3。
设函数g(t)=ln t−t(t>0)，求导得g′(t)=1t−1，故g(t)在(0,1)递增、(1,+∞)递减，最大值为g(1)=−1，因此2q3⩽−1⟹q3⩽−12，结合S3=2(1+q+q2)>0(二次函数开口向上且判别式Δ=−345，所以7>3 5，
所以15−3 5>8，所以5− 58>13，
所以sinπ5> 33.
由C可得gt在−1,− 33上单调递减，在− 33, 33上单调递增，在 33,1上单调递减，
所以f(x)在−15,15上不单调，故D错误.
12.【答案】16
【解析】【分析】根据方差的线性变化公式，即D(aX+b)=a2D(X)即可求解.
【详解】由题意得Dxi=4,i=1,2,3，则D2xi−2=22Dxi=4×4=16.
13.【答案】 3
【解析】解：由tanA=12，且A∈(0,π2)，
得sinA=1 12+22= 55，csA=2 12+22=2 55，
由tanB=−2，且B∈(π2,π)，
得sinB=2 12+22=2 55，csB=−1 12+22=− 55，
所以sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB
= 55×(− 55)+2 55×2 55=35，
设AB=c，
由正弦定理BCsinA=ACsinB=ABsinC=2R，得BC=csinAsinC，AC=csinBsinC，
由S=12×BC×AC×sinC=1，
得12×csinAsinC×csinBsinC×sinC=1，
化简为12c2⋅sinAsinBsinC=1，
代入sinA= 55，sinB=2 55，sinC=35，
计算得c2=3，即AB= 3.
14.【答案】2ln2+1
【解析】解：由直线斜率为−1，得y2−y1x2−x1=−1，即y2+x2=y1+x1。
代入曲线方程：
y1+x1=(ex1−x1)+x1=ex1，
y2+x2=(1−x2−lnx2)+x2=1−lnx2，
故ex1=1−lnx2。
设t=ex1(t>1,因x1>0)，则x1=lnt。
由t=1−lnx2，得lnx2=1−t，故x2=e1−t。
目标函数2x1+ex2转化为单变量函数：
设h(t)=2lnt+e⋅e1−t=2lnt+e2−t (t>1)，
h′(t)=2t−e2−t=e2t2e2−tet，(t>1)
设g(t)=2e2−tet(t>1)
则g′(t)=t−1et(t>1)，
当t>1时，g′(t)>0，则函数g(t)在(1,+∞)上单调递增，
所以g(t)=0在(1,+∞)上有唯一解t=2，
所以当1