江苏省南通市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南通市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试卷（解析版），共14页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.02B. 0.03C. 0.07D. 0.08
【答案】B
【解析】由于随机变量，且，
所以,
故选：B
2. 已知一个圆锥底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆锥母线长为l,扇形半径为R,则,，解得l=10.
故选：D.
3. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】由题意，
因为，所以，即.
故选：C.
4. 电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（ ）
A. 24B. 36C. 72D. 144
【答案】D
【解析】因某电视剧和某专题报道必须在上午播出，所以种排法,
其他4个节目有种排法，
所以不同播出方案的种数为.
故选：D.
5. 函数，的单调增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以,
即，.
单调增区间为.
故选：A.
6. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】连接，因为是线段的中点，所以
因为，所以
所以
故选：D
7. 已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】假设,又因为,
可得,
设,,单调递增，
,恒成立,
所以,即可得.
故选：B.
8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，
，，故A不正确；
乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确；
则有
，故C不正确；
则，故D正确；
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】令,可得,A选项正确；
令,可得,
令,可得，
两式相加可得,C选项正确；
是的各项系数和，所以，D选项正确；
的展开式的系数是,B选项错误.
故选：ACD.
10. 在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】BD
【解析】对于A, 若，，则或者，故A错误；
对于B,可以用法向量来思考. ，所在的方向取，的法向量，法向量垂直可推出面面垂直.故B正确;
对于C, 若，，，则或者相交，故C错误；
对于D，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则，因为平面，平面，则平面，
因为平面，，则，又因为，则，故D正确．
故选：BD.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 曲线恒过定点
B. 若，则的极小值为0
C. 若，则
D. 若，则的最大值大于
【答案】ACD
【解析】对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确；
对于B，当时，，则，
令，解得：，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，所以的极大值为，
故B不正确；
对于C，，当，则，所以在上单调递增，
又，即，则，故C正确；
对于D，当时，由，解得：，
当时，，则在上单调递增，当，，
则在上单调递减，
所以，
令，则，
所以当时，，则在上单调递增，
所以，即最大值大于，
而，故，即，所以D正确；
故选:ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：
由表中数据可得回归方程中．试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为______百元．
【答案】6
【解析】由已知数据，，
因为，则，代入，则，
则，令，则.
故答案为：6
13. 设随机变量，且，则______；若，则的方差为______．
【答案】；
【解析】(1),
则，
则，解得
(2)，由(1)得，则．
，则
故答案为：；．
14. 已知六棱锥的底面是正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，
设底面正六边形的边长为，所以底面外接圆的半径为，
六棱锥的底面积，设六棱锥的高为，
因为，即，所以，．
设外接球的半径为，可得，，得．
所以，
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，解得，
故球的表面积为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的余弦值．
解：（1）由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，
则，
所以，
所以，
所以，即，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，所以，
记直线与所成角为，则
，
故直线与所成角的余弦值为.
16. 为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表：
（1）能否有把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关?
（2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列．
附：
解：（1）由题可得
，
所以没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关；
（2）由题可得男性的人数可能取值为：0，1，2，3
，
，
，
,
所以的分布列为：
17. 已知函数，，，
（1）设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求；
（2）设函数，讨论的单调性．
解：（1），，且，
所以曲线在处的切线为，
则，得，
因为直线与曲线相切，
所以，得（舍），或；
（2）的定义域为，
，
因，令，得或，当时，，
所以当和时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减增，
当时，，所以当和时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减增，
当时，，当时取等号，函数在上单调递增，
综上所述，时，的单调增区间为，，
单调减区间为，
时，的单调增区间为，没有减区间，
时，的单调增区间为，，单调减区间为.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若为棱的中点，求二面角的正弦值；
（3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值．
解：（1）因为，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面.
所以.
（2）如图：
取中点，连接.
因为平面，平面，所以.
在四边形中，，且，
所以四边形为矩形.所以平面.
又在和中，，，.
所以（）.
所以，.
故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
当为中点时，，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设平面的法向量为，
则，取.
所以.
所以二面角的正弦值为：.
（3）设，（） ，则，，.
设平面的法向量为，则
，
取.
则A到平面的距离为：，
到平面的距离为：，
所以
设，则
那么（当且仅当即时取“”）
所以.
19. 箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止．
（1）求2号球为红球的概率（用与表示）；
（2）若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求；
（3）若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率．
解：（1）设事件：第号球为红球，
则
；
（2）根据题意，随机变量的取值为，
从袋中个红球和个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有种情况；
则，，
，，
，，，
所以的分布列为：
因此其数学期望为：
；
（3）解法一：根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球.
问题1：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完，
此时的概率为，
同理可得，最后一球为白球的概率为，
最后一球为黑球的概率为，
将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，
按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查.
问题2：发现最后一球是红的概率为，最后一球是白球的概率为，
最后一球是黑的概率为，所以问题1与问题2等价.
不妨令红球为a，白球为b，黑球为c，d，则全排列作为概率公式分母，即.
记“红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）”为事件A，
现在对事件A进行分析：
第一类：a在首位时，b，c，d全排列，有种可能；
第二类：a在第二位时，b必须在第三或第四位，c，d全排列，有种可能；
共种可能.
所以.
解法二：考虑最后一个球的颜色情况：
①最后一个球是白球：
i)将全部黑球放入白球前面，共1种方法；
ii）再将全部红球一个一个放入，确保最后一个红球后面有黑球和白球：有种方法；
iii)最后将剩余的()个白球放入：有种方法；
所以情况①共有种.
②最后一个球是黑球：
过程类似于情况①，共有种.
综上所述：0
1
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女性
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