福建省泉州市泉港区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题含答案解析

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
故点所在的象限是第四象限．
故选：D．
2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为米，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：用科学记数法表示为，
故选B．
3. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，再由，两式相加进行计算即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
由得，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键．
4. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据平方根解方程，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．据此列式解答即可．
【详解】解：∵分式的值为，
∴且，
解得：，
即的值为．
故选：C．
5. 已知的对角线，交于点，，，，则的周长为（ ）
A. 13B. 11C. 8D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分得出是解题关键．利用平行四边形的性质，对角线互相平分得出，，进而得出的周长．
【详解】解：的对角线，交于点，，，
，，
的周长是：．
故选：C
6. 关于x的方程有增根，则k的值是（ ）
A 0B. 3C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可．
【详解】解：去分母，得，
将增根代入，
得，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
7. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴
∴，
故选：C．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，令和，分别找出函数图象所过象限，能共存者即为正确答案．
【详解】解：当时，过一、二、三象限；图象在一、三象限；
当时，过一、二、四象限；图象在二、四象限，
故选：D．
9. 如图，轴，反比例函数的图象经过线段的中点C，若的面积为6，则k的值是（ ）
A. 12B. 6C. 3D. 1.5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．
根据反比例函数值的几何意义解答即可．
【详解】如图，连接，
∵轴，反比例函数的图象经过线段的中点，若的面积为6，
，
故选：B．
10. 如图，直线 与两坐标轴分别交于 两点，点 是 的中点， 分别是直线 ， 轴上的动点，则 周长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得周长的最小值为的长，然后根据直线的解析式求出点B的坐标，从而可得点C、G的坐标，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得点F的坐标，据此利用两点之间的距离公式即可得出答案．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接、、，
由轴对称性质得：，
周长为，
由两点之间线段最短得：当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为长，
对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
，
点为的中点，
，，
点为点关于的对称点，
，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，即轴，
，
则，
即周长的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、坐标与轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，利用轴对称将周长转化为两定点间的折线段长，利用两点之间线段最短找出最小值是解题关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 当x_____时，分式有意义
【答案】≠3
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．
【详解】根据题意得：x−3≠0，
解得：x≠3．
故答案：≠3．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题目．
12. 若点在x轴上，则a的值为 _____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了x轴上的点的坐标特征，根据x轴上的点的纵坐标为0求解即可．
【详解】∵点在x轴上，
∴，
解得，
故答案为：6．
13. 如图，在中，，由尺规作图的痕迹，则的度数为________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质、解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识．
由作图可知，利用等腰三角形的性质以及平行线的性质求解．
【详解】解：由作图可知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：．
14. 将直线平移，使之经过点，则平移后的函数解析式为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求函数解析式，先设平移后的函数解析式为，再将代入函数解析式，求解即可．
【详解】设平移后的函数解析式为，
把代入函数解析式，得，解得，
∴平移后的函数解析式为，
故答案为：．
15. 已知，则的值是___________
【答案】
【解析】
【分析】将可变形为，即，再代入即可得出答案．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是分式的求值，利用分式的通分运算将已知条件进行变形从而得出是解此题的关键．
16. 中，，、交于点是边上一点，连结，过点作并延长交于点，交于点，已知，，，则下列结论：①；②；③；④中正确的是________．（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】如图所示，过点作于点，由三线合一得到，根据垂直的定义可判定①；根据题意得到，，结合对顶角相等，三角形外角和的性质得到，则，可判定②；根据等面积法可判定③；根据题意得到是等腰直角三角形，，运用勾股定理和平行四边形的性质可判定④；由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵，
∴，
∴，
∵，，即，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，是的外角，
∴，
又，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形是平行四边形，交于点，
∴，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故答案为：①②③ ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识的综合，结合图形，合理作出辅助线是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，涉及负整数指数幂和零指数幂以及求一个数算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算负整数指数幂和零指数幂以及求一个数算术平方根，再进行相加减即可．
【详解】解：原式
．
18. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母，得，
解此方程，得，
经检验，是原分式方程的根．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验．
19. 先化简，再求值：，其中x=3．
【答案】，
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
．
当x=3时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键.
20. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF．
【详解】证明：∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，AB=CD，
∴∠DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中，，
∴△CED△BEF（ASA），
∴CD=BF，
∴AB=BF．
【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
（1）求反比例函数的解析式和A点的坐标；
（2）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）先把B点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把A点坐标代入到反比例函数解析式求出A点坐标即可；
（2）只需要找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入到反比例函数中得：，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入到反比例函数中得：，
∴；
【小问2详解】
解：由函数图象可知当或时一次函数图象在反比例函数图象上方，即一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
22. 某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用300元购进甲种水果，300元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的1.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多10kg．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？
（2）第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为13元/千克，乙种水果的售价为20元/千克，超市购进两种有机水果各多少千克时第二次获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为15元/千克
（2）超市购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时第二次获得最大利润，最大利润是350元
【解析】
【分析】（1）根据题意，先设出甲、乙两种水果的单价，然后根据超市所进甲种水果比所进乙种水果多10kg，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出利润和购买甲种水果数量函数关系式，然后根据甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，可以得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
【小问1详解】
设甲种水果的进价是x元/千克，则乙种水果的进价为1.5x元/千克，根据题意得，
﹣＝10，
解得x＝10，
经检验：x＝10是原分式方程解，
∴1.5x＝15，
答：甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为15元/千克；
【小问2详解】
设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，利润为w元，
由题意可得：w＝（13﹣10）a+（20﹣15）（100﹣a）＝﹣2a+500，
∴w随a的增大而减小，
∵甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，
∴a≥3（100﹣a），
解得a≥75，
∴当a＝75时，w取得最大值，此时w＝350，100﹣a＝25，
答：超市购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时第二次获得最大利润，最大利润是350元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
23. 已知，两地相距，甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，中途加油休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两人离地的距离与甲出发时间的关系式如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲加油前的行驶速度是________，途中休息的时间为________．
（2）求甲加油后与的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求甲出发多少小时两人恰好相距？
【答案】（1），
（2）
（3）小时或小时
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出解析式，行程问题中路程、速度与时间关系的应用，理解题意，从函数图象中获取有关信息是解题的关键．
（1）由图象可知，甲在前1小时走了千米，计算速度即可；由于甲的速度未改变，故加油后需要1小时，结合图象即可求出休息时间；
（2）设甲加油后，将图象上两点和代入即可求出解析式；
（3）先算出乙路程和的关系式，再根据列出方程计算即可．
【小问1详解】
解：甲加油前的行驶速度是，
甲加油后行驶时间为,
∴途中休息的时间为．
故答案为：；；
【小问2详解】
解：设甲加油后，
将和代入，
得：，
解得：．
故．
【小问3详解】
解：设乙路程，
将和代入，
得：，
解得：．
故．
当时，，此时两车相距千米，
故相距时间段为之间．
依题意得，，
解得：或．
答：甲出发小时或小时两车相距．
24. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点D、C，直线经过点和点，直线、相交于点M．
（1）求点M的坐标；
（2）若点P是直线上一点，且满足，求点P的坐标；
（3）在直线上是否存在点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，全等三角形的应用等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）求出直线解析式为，联立，可解得；
（2）求出，根据B，M，P三点构成的三角形与全等，，可知，设，故，从而可得；
（3）求出，，，，故，，可得，分两种情况：当N在左侧时，当在右侧时，求出点N的坐标即可．
【小问1详解】
解：设直线解析式为，
把，代入得：
，解得，
直线解析式为，
联立，解得，
；
【小问2详解】
连接，，，，
，，
，
，
，
，
设，又，，
，
，
解得（舍去）或，
．
【小问3详解】
如图：在中，令得，令得，
，，
，，
，
，
，
①当N在左侧时，
，
，
解得，
在中，令得，
；
②当在右侧时，
，
，
解得，
在中，令得，
；
综上所述，N的坐标为或；
25. 如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点．
（1）如图1，当点F在的延长线上，且，连结与交于点G．
①求证：；
②若，，求的长；
（2）如图2，当点F在线段上，连结与交于点H，若，，试探究，，三条线段之间的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．
（1）①证明，由平行线的判定可得出结论；
②证明四边形为平行四边形，得出，由勾股定理求出，过点E作于N，由勾股定理可得出答案；
（2）证出，以C为顶点作，交的延长线于P，证出，则可得出结论．
【小问1详解】
①证明：，
，
又，
平分，
∴，
，
；
②解：在中，，，
，
如图，过点E作于N，
，，，
，
，，
，
在中，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
又由①得，，
四边形为平行四边形，
，
；
【小问2详解】
解：，
理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
如图2，以C为顶点作，交的延长线于P，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
．