福建省泉州市晋江市2024—2025学年下学期期中考试八年级数学试卷2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题含答案解析

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 若分式有意义，则满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为时，分式有意义，据此解答即可．
【详解】解：若分式有意义，
则，
解得：．
2. 近年来人们越来越关注健康，我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的衣物，每千克衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下，将0.000075用科学记数法表示为（ ）
A. 0.75×10﹣4B. 7.5×10﹣4C. 75×10﹣6D. 7.5×10﹣5
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：将0.000075用科学记数法表示为：7.5×10-5．
故选D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据点关于x轴对称的坐标变换规律，横坐标不变，纵坐标取相反数，确定对称点的坐标，再判断其所在象限．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
【详解】点关于x轴的对称点坐标为，
在平面直角坐标系中，第一象限的点的横、纵坐标均为正数，因此点位于第一象限．
故选：A．
4. 关于一次函数，下列说法错误的是（ ）
A 图象经过第一、二、四象限B. 图象与x轴交于点
C. 当时，D. 函数值y随自变量x的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数解析式中k、b的符号可判断选项A、D；令，求得，则可判断选项B；根据图象的升降可判断C，最后可确定错误的选项．
【详解】解：，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，且函数值y随自变量x的增大而减小；
故A、D两个选项正确；
令，得，
即图象与x轴交于点，
故选项B正确；
由于图象从左往右是下降的，故当时，，
故选项C错误；
故选：C．
5. 关于反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A. 图象位于第一、三象限B. 图象不可能与坐标轴相交
C. 函数值随自变量的增大而减小D. 图象必经过点
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用反比例函数的性质，，当时，每个象限内，y随x增大而减小，结合图象分布以及反比例函数图象上点的坐标特点，分别分析求出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的相关性质是解题关键．
【详解】解：A. 当时，反比例函数图象位于第一、三象限，正确；
B. 因且，图象与坐标轴无交点，正确；
C. 当时，函数在每一象限内随的增大而减小，但选项未限定“每个象限内”，笼统描述整体趋势错误；
D. 代入得，图象经过点，正确．
故选：C．
6. 如图，为反比例函数图像上的一点，轴，的面积为，则水墨蜻蜓在反比例函数图像上的落点的坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，根据的几何含义可得的值，从而根据判断即可，解题的关键是熟练掌握反比例函数中的几何意义．
【详解】解：∵垂直于轴，的面积为，，
∴，
∴，
∵，
∴水墨蜻蜓在反比例函数图象上的落点的坐标可能是，
故选：．
7. “行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段横穿双向车道，其中，米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过的速度是通过的倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为米/秒，则根据题意列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由通过的速度是通过的倍，可得出小刚通过的速度为米//秒，利用时间=路程÷速度，结合小刚共用时10秒通过，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：米，
米．
∵小刚通过的速度为x米//秒，通过的速度是通过的倍，
∴小刚通过的速度为米//秒．
又∵小刚共用时10秒通过，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的分成方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8. 若直线经过点和，且，则的值可以是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征，根据坐标特征列出方程组是解题的关键．根据题意列方程组得到，由于，于是得到，即可得到结论．
【详解】解：依题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
9. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是
A. 3B. 2C. 1D. －1
【答案】B
【解析】
【详解】解：若关于x的方程=0有增根，则x=1为增根．
把方程去分母可得m-1-x=0，把x=1代入可得m-1-1=0，解得m=2．
故选：B．
【点睛】分式方程，本题难度较低，主要考查学生对分式方程知识点的掌握，增根使分式分母为零．
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，且点的坐标为，将直线向上平移个单位，交双曲线于点，交轴于点，且的面积是．给出以下结论：（1）；（2）点的坐标是；（3）；（4）．其中正确的结论有
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】（1）把A（4，a）代入，求得A为（4，2），然后代入求得k=8；
（2）联立方程，解方程组即可求得B（-4，-2）；
（3）根据同底等高的三角形相等，得出S△ABC=S△ABF；
（4）根据S△ABF=S△AOF+S△BOF列出，解得．
【详解】解：（1）直线经过点，
，
，
点在双曲线上，
，故正确；
（2）解得或，
点的坐标是，故正确；
（3）将直线向上平移个单位，交双曲线于点，交轴于点，
，
和是同底等高，
，故错误；
（4），
，
解得，故正确；
故选．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 计算：=_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，先计算负整数指数幂和零指数幂，最后计算加减法即可．
【详解】解：．
故答案为：5．
12. 当______时，分式的值为零．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零，根据分子的值等于且分母的值不等于解答即可求解，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴且，
解得，
故答案为：．
13. 写出同时满足下列条件的一个一次函数关系式______．
①与轴交点的纵坐标为；②随的增大而减小．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．即一次函数中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，图象与轴的交点在轴的正半轴上；当时，图象与轴的交点在轴的负半轴上．首先设一次函数解析式为，根据题意：①与轴交点的纵坐标为，可得：，再根据题意：随的增大而减小，可得：，写出符合条件的数，并代入一次函数解析式为，即可得出结论．
【详解】解：设一次函数解析式为，
∵与轴交点的纵坐标为，
∴，
又∵随的增大而减小，
∴，
∴取，（不唯一）
∴一次函数解析式为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）
14. 如图，直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标 ．
正比例函数与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，写出已知交点关于原点的对称点的坐标即可 ．
【详解】解：直线与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，
∵一个交点坐标为，
∴另一个交点坐标为，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，待定系数法求反比例函数解析式以及坐标与图形，解题的关键是利用全等三角形的判定及性质确定点C的坐标．过点作轴于点，证明，得从而确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：过点作轴于点，
∵，
∴
∵是等腰直角三角形，，轴，轴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
又∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
故答案为：．
16. 若分式，分式（，为整数且），且分式与分式的和等于，则的值为________________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了分式的运算法则，二元一次方程的特殊解法．
先计算分式与分式的和，再根据得到，根据，为整数分情况讨论即可．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴
∵分式与分式和等于，
∴
整理得
方程两边同时加上49得
∴，
∵，为整数，
∴，或，或，或，
当，时，，
此时；
当，时，，
此时；
当，时，，
此时；
当，时，，
此时；
故答案为：或．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减
【详解】解：原式=
=
=
=
=
【点睛】考查分式的减法，找出最简公分母，再通分是解题的关键.
18. 解分式方程：
【答案】无解
【解析】
【分析】先将原分式方程两边同时乘以最简公分母，则原分式方程可化为整式方程，解出即可．
【详解】解：两边同时乘得，
整理得
检验：时，，∴是原方程的是增根，舍去，
所以原方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19. 先化简，再求值：．其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
20. 如图所示，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P是x轴上的点，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．
（1）由函数解析式，令求得A点坐标，令求得B点坐标；
（2）由，可得，，从而，然后分两种情况讨论，根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
在函数中，令，则，
解得，
∴点A的坐标为，
在函数中，令，则，
∴点B的坐标为，
【小问2详解】
∵，
∴，，
∴，
∴当点P在点A右边时，，
∴．
∴当点P在点A左边时，，
∴．
综上所述，的面积为或．
21. 已知关于分式方程
（1）若分式方程无解，求的值；
（2）若分式方程的解是负数，求的取值范围．
【答案】（1）的值为或或；
（2）且．
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程、根据方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解分为两种情况：分式方程化成的整式方程无解、整式方程的解是分式方程的增根．
首先解分式方程可得：，若整式方程无解，则有，若整式方程的解是分式方程的增根，则有或，可以解得或；
解分式方程可得：，因为分式方程的解是负数，可得：，所以可得：，又因为当时，解出的根是原分式方程的增根，所以的取值范围为且．
【小问1详解】
解: 方程两边同时乘以，
可得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
当整式方程无解时，则，
即 ，
当整式方程的解为分式方程的增根时，
则，
或，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
综上所述，的值为或或；
【小问2详解】
解：由得：
，
，
解得：，
又，
，
且，
的取值范围为且．
22. 如图，直线y1=2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2=﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．
（1）方程组的解是 ；
（2）当与同时成立时，x的取值范围为 ；
（3）求的面积；
（4）在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）8 （4）
【解析】
【分析】（1）由两直线的交点C的坐标，可得方程组的解；
（2）通过函数图象即可得出x的取值范围；
（3）先求出点A和点B的坐标，即可得到的面积；
（4）令，根据与的面积相等，即可求出点P的坐标．
【小问1详解】
解：如图所示：方程组的解为：；
故答案为：；
【小问2详解】
如图所示：当与同时成立时，
x取何值范围是：；
故答案为：；
【小问3详解】
∵令，则，，
∴，．
∴．
∴；
【小问4详解】
令，则，
∴．
∵点P异于点C，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，题目较为基础，注意数形结合思想的应用．
23. 项目化学习
项目主题：探究杠杆平衡条件
项目步骤：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．
试验数据：
问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务：
（1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（3）当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量；
（4）当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？______．（填写“添加”或“减少”）
【答案】（1）见解析 （2）y与x之间的函数关系为反比例函数，系式为
（3）24g （4）添加
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
（1）根据各点在坐标系中分别描出即可得出平滑曲线；
（2）观察可得：，的乘积为定值300，故与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（3）把代入解析式求解，可得答案；
（4）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数应该不断增大．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设，把，代入得：．
∴y与x的函数关系式为：．
【小问3详解】
解：把代入，得．
∴当活动托盘B与点O的距离是12.5cm时，当砝码的质量为24g．
【小问4详解】
解：根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大；
应添加砝码，
故答案为：添加．
24. 某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服套（为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为元．
（1）求与的函数关系式；
（2）该服装店计划投入万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低元（其中），且最多购进套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，请你设计出使该服装店获得最大销售利润的购进方案．
【答案】（1）；（2）套，元；（3）详情见解析
【解析】
【分析】（1）若购进甲款运动服套，则购进乙款运动服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可；
（2）根据题意首先表示出购进甲款运动服的费用为元，购进乙款运动服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲款运动服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可；
（3）根据题意首先列出此时与的函数关系式，其中，据此进一步化简，然后分①当时、②当时、③当时三种情况进一步分析讨论即可.
【详解】（1）∵购进甲款运动服套，∴购进乙款运动服套，
根据题意得，，
化简得：，
即与的函数关系式为：；
（2）由题意得：
购进甲款运动服的费用为元，购进乙款运动服的费用为元，
∴，
解得：，
∴至少要购进甲款运动服套．
又，其中，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最大值，此时最大值为：，
∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是元，
答：至少要购进甲款运动服套，若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是元；
（3）由题意得，，其中，
化简得，，
∵，则：
①当时，，随的增大而减小，
∴当时，有最大值，
则服装店应购进甲款运动服套、乙款运动服套，获利最大；
②当时，，，
则服装店应购进甲款运动服的数量应满足，且为整数时，服装店获利最大；
③当时，，随的增大而增大，
∵，∴当时，有最大利润，
则服装店应购进甲款运动服套、乙款运动服套，获利最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键.
25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）连接和，求的面积；
（4）在轴上找一点，使的值最大，求满足条件的点的坐标及的最大值．
（5）点M是轴上一点，是否存在点M，使点M、O、B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）或
（3）
（4）点坐标，
（5）或或或
【解析】
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象求解即可；
（3）设直线与轴交于点C，则，再根据列式求解即可；
（4）作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于点，则点即为所求．此时．求出直线的关系式为，即可求出满足条件的点的坐标，此时，的最大值为；
（5）求出．设点M的坐标为，则，，当，则，当时，则， 当时，则，三种情况分别解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：将点代入，得：，
∴这个反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
将、代入，得：，
解得，
∴这个一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：由函数图象可得，不等式的解集为或；
【小问3详解】
解；如图，设直线与轴交于点C，
令，则，解得：
∴，
∴
；
【小问4详解】
解：如图2，作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于点，
则点即为所求．此时．
设直线的关系式为．
∴，
解得：，
∴直线的关系式为，
令，则，
∴满足条件的点的坐标，
此时，的最大值为；
【小问5详解】
解：，
．
设点M的坐标为，则，，
当时，则，解得，
∴点M的坐标为或；
当时，则，解得或（舍去），
∴点M的坐标为；
当时，则，解得，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式，等腰三角形的等腰，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
x（cm）
10
15
20
25
30
y（g）
30
20
15
12
10
运动服款式
甲款
乙款
进价（元套）
售价（元套）