福建省泉州市第六中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题含答案解析

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1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：由题意可知，
时，分式有意义，
解得．
故选：C．
2. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断．
【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，原计算错误，该选项不符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，正确，该选项符合题意；
故选；D．
3. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限内，则点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．根据象限中点的坐标也在进行求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
故点所在的象限是第四象限．
故选D．
4. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
【详解】解：A选项：
∵∠ABD=∠BDC，OA=OC，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴DO=BO，
∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意；
B选项：
在与，
，，
这是SSA模型，不能判定，
因此，也不能用来判定四边形ABCD是平行四边形；
下图给出一个反例，图中，
则满足条件：，，但四边形ABCD不是平行四边形，
故B符合题意；
C选项：
∵ADBC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∵，
∴△OAD≌△OCB，
∴，
∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意；
D选项：
∵∠ABD=∠BDC，
∴ABCD．
又∵，
∴ADCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．假如有个选项不确定，可以先判断其他选项．
5. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对边平行且相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质；熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解决问题的关键．由菱形的性质和平行四边形的性质，容易得出结果．
【详解】A、对角线互相平分菱形和平行四边形都具有；
B、对角线相等，菱形和平行四边形都不具有；
C、对角线互相垂直，菱形具有，平行四边形不具有；
D、对边平行且相等，菱形和平行四边形都具有；
故选：C．
6. 已知关于x的方程的解为，则A处可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解，将代入原方程中解得A的值，然后将分别代入各式中判断是否等于求得的A的值即可．
【详解】解：已知关于x的方程的解为，
则，
那么，
检验：是该分式方程的解，
那么当时，，则A不符合题意，
当时，，则B符合题意，
当时，，则C不符合题意，
当时，，则D不符合题意，
故选：B．
7. 已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：一次函数，随着的增大而减小，
，
又，
，
此一次函数图象过第一，二，四象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质．，图象过第一，三象限；，图象过第二，四象限．，图象与轴正半轴相交；，图象过原点；，图象与轴负半轴相交．
8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
∵，
∴点A在第三象限，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．连接，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，
菱形，
，
菱形的周长为40，
，
，
菱形的面积，
，
故选B．
10. 已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则可能小于0也可能大于0
C. 若，点，在同一象限，则D. 若，点，在不同象限，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据题意，判断和，该反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解；
【详解】A、若，则随的增大而减小，不知道的值在哪个象限，无法判断，故A错误；
B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则可能小于0也可能大于0，故B正确；
C．若，点，在同一象限，则随的增大而减小，所以，故C错误；
D．若，点，在不同象限，则，故D错误；
故选：B
二．填空题（共6小题）
11. 若分式的值为零，则的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是得出且．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时牢记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．由分式的值为0可得出且，解方程即可得出结论．
【详解】解：分式的值为零，
且，
解得：且，
故答案为：1．
12. 直线向上平移3个单位后的函数表达式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移法则：左加右减，上加下减计算即可得解，熟练掌握一次函数的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：直线向上平移3个单位后的函数表达式为，
故答案为：．
13. 如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＜4的解集为___．
【答案】x＜-2
【解析】
【分析】由图象可知在点A的左侧，kx+b＜4，可直接得出不等式的解集．
【详解】解：由图象可知在点A的左侧，kx+b＜4，
所以不等式kx+b＜4的解集为：x＜-2；
故答案为：x＜-2．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，解题关键是树立数形结合思想，通过图象得出不等式的解集．
14. 若关于x的分式方程 有增根，则m的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【详解】解：
方程两边都乘，得，
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
解得：，
当时，，
解得：．
故答案为：．
15. 如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据勾股定理求出是解本题的关键．
根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答．
【详解】解：∵点B的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，，菱形三个顶点分别在矩形的边上，，连接．当的面积为时，的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，延长，过作于，如图所示，根据矩形性质、菱形性质，得到相关角及线段的关系，再由两个三角形全等的判定定理得到，结合已知条件确定，当的面积为时，列式求出，从而得到答案．
【详解】解：连接，延长，过作于，如图所示：
，
在矩形中，，
，
在矩形中，，则，
在菱形中，，则，
，
在菱形中，，
在和中，
，
，
，
，，
，
当的面积为时，，即，解得，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及矩形性质、菱形性质、两个三角形全等的判定与性质、三角形面积等知识，根据题意，准确作出辅助线，数形结合，灵活运用三角形全等的判定与性质得到是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算，根据乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算各项再算加减法即可．
【详解】解：原式
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则对原式进行化简．
先对括号内式子通分计算，再将除法转化为乘法，然后根据分式基本性质约分得到最简分式，最后代入求值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19. 如图，已知函数和的图象交于点P，点P的横坐标为1，
（1）关于x，y的方程组的解是__________；
（2）求出函数和的图象与x轴围成的几何图形的面积．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，一次函数与方程组，熟练掌握两条直线的交点的横纵坐标为对应的二元一次方程组的解，是解题的关键：
（1）根据点P的横坐标为1，代入中，求出点的纵坐标，即可得出结果；
（2）把点坐标代入，求出的值，求出两直线与轴的交点，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵函数和的图象交于点P，点P的横坐标为1，
∴当时，，
∴，
∴关于x，y的方程组的解是；
【小问2详解】
当时，则：，
∴直线与轴的交点坐标为，
把代入，得：，解得：，
∴，
∴当时，，
∴直线与轴的交点坐标为，
∴函数和的图象与x轴围成的几何图形的面积为：．
20. 某商场以1200元购进一批商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用1200元购进第二批这种商品，但第二批商品单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进5件这种商品，求第一批和第二批商品的购进单价分别是多少元？
【答案】第一批商品单价为40元，第二批商品的单价为48元．
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用．设第一批商品的单价为元，根据结果比第一批少购进5件这种商品列出分式方程得，解方程并检验可得答案．
【详解】解：设第一批商品的单价为元，则第二批商品的单价为元；
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
第一批商品的单价为40元，第二批商品的单价为48元．
21. 如图，在四边形中，，，相交于点，，分别是，的中点，．
（1）求证：；
（2）连接，，当满足什么条件时，四边形是菱形，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）当满足中，时，四边形是菱形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，可得，，证明，得到，推出四边形是平行四边形，得到，结合，分别是，的中点，得到，证明，最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质可得，由，分别四边形是菱形是，的中点，，得到，推出、互相垂直平分，即可得到．
【小问1详解】
证明：，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，分别是，的中点，
，
，，
，
；
【小问2详解】
当满足中，时，四边形是菱形，证明如下：
，，
，即，
，分别是，的中点，
，，
，
又，，
、互相垂直平分，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．
22. 如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明，继而可证明四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角三角形平行四边形是矩形证明即可；
（2）过点O作于点F，根据矩形的性质结合三线合一可得为的中位线，则，由四边形是平行四边形，得到，那么，最后在中由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵O为的中点，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：如图，过点O作于点F，
∵四边形是矩形，
，，，，
，
，
∴为的中位线，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
23. 探究与应用
【探究发现】
某数学小组同学在学习完函数及一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义→图像→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：
点A是数轴上一点，表示的数是2；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，的距离为．随着x的变化，的距离y会如何变化呢？
（1）数学小组通过列表得到以下数据：
其中m= ．
数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？ （填“是”或“不是”）；
（2）请通过描点、连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ；
【应用拓展】
（3）若点，均在该函数图像上，请直接写出a，b满足的数量关系： ；
（4）将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折，得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则k的取值范围为 ．
(备注：直线y = 2即过点且与x轴平行的直线．)
【答案】（1）3，是 （2）见解析
（3）（或）
（4）或
【解析】
【分析】本题主要考查函数的图象和性质：
（1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数；
（2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可；
（3），关于直线对称，据此求解；
（4）作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数图象与直线及平行时的k值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：点B表示的数是，的距离为，
给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，因此y是x的函数，
故答案为：3，是；
【小问2详解】
解：依题意得：
所画函数图象如图所示
函数的性质：①该函数图象关于直线对称；②当时，函数有最小值0；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分）
【小问3详解】
解：由（2）中函数图象可得：，关于直线对称，
，
，
故答案为：；
【小问4详解】
解：翻折后新函数图象如下图所示：
对于一次函数，无论k取何值，当时，值一定为3，
因此一次函数图象过定点，
∵原函数得解析式为：，
∴新函数的解析式为：，
结合函数图象可知，直线解析式中k值为1，直线解析式中k值为，
若一次函数图象与直线平行，则；
若一次函数图象与直线平行，则，
当或时，一次函数与该函数图象只有一个交点，
故答案为：或．
24. 如图1，在和中，，，，连接并延长交边于．
（1）求证：；
（2）如图2，若，求证：四边形正方形；
（3）如图3，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、正方形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明，即可得出；
（2）由平行线的性质得出，由全等三角形的性质得出，求出即可得出四边形是矩形，再由即可得出四边形是正方形；
（3）过点作，交于，证明得出，由勾股定理得出，从而得出，最后由等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形为正方形；
【小问3详解】
解：如图，过点作，交于，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
由（2）知，是直角三角形，
∴，
∴，
在等腰直角中，．
25. （1）如图1，已知，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为，求点A的坐标；
（2）如图2，直线分别交x轴、y轴于点A、B．
①将直线l绕点A逆时针旋转得到直线m，求直线m的函数表达式；
②如图3，点C的坐标为，点D为直线l上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，请求出线段长度的最小值．
【答案】（1）（2）①②
【解析】
【分析】（1）同角的余角相等，求出，利用证明，进而得到，求出点坐标即可；
（2）①过点作于点，过点作轴，交轴于点，作，设，易得，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；②过点作轴，过点作轴，设，易得，求出点坐标，利用勾股定理结合完全平方式的非负性，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
∵点B的坐标为，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①过点作于点，过点作轴，交轴于点，作，
设，则：，
∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同法（1）可得：，
∴，
∴，解得：，
∴，
设直线的解析式为：，则：，解得：，
∴；
②过点作轴，过点作轴，设，则：，
同法可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为：．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键．
0
1
2
3
4
5
4
m
2
1
0
1
2
3